下面是范文網(wǎng)小編收集的正弦定理證明3篇(正弦定理怎樣證明),供大家參閱。
正弦定理證明1
一、正弦定理的幾種證明方法 1.利用三角形的高證明正弦定理 (1) 當(dāng) ? ABC 是銳角三角形時(shí), 設(shè)邊 AB 上的高是 CD, 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義, C 有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。
由此,得asin Aasin A ??bsin B , ?同理可得csinC?bsin B,Aba B故有bsin Bcsin C .從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.D(2)當(dāng) ? ABC 是鈍角三角形時(shí),過(guò)點(diǎn) C 作 AB 邊上的高,交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D, 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC ,CD ? b sin A 。由此, 得asin A ?bsin ?ABC , ?同理可得csin C .csinC?bsin ?ABCb A a B D C故有asin Absin ?ABC?由(1)(2)可知,在 ? ABC 中,asin A?bsin B?csin C成立.從而得到:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等,即asin A ?bsin B?csin C .2.利用三角形面積證明正弦定理? 已知 △ ABC, 設(shè) BC = a, CA = b,AB = c, 作 AD⊥BC, 垂足為 D.? 則 Rt△ ADB AD A 中, sin B ? ,?∴AD=AB· sinB=csinB.? AB 1 1 1 1 ∴S△ ABC= a ? AD ? ac sin B .?同理,可證 S△ ABC= ab sin C ? bc sin A .? 2 2 2 2 1 1 1 C ∴ S△ ABC= ab sin C ? bc sin A ? ac sin B .?∴absinc=bcsinA=acsinB,? D 2 2 2 sin C sin A sin B a b c ? ? ? ? 在等式兩端同除以 ABC,可得 .?即 . c a b sin A sin B sin C 3.向量法證明正弦定理 (1)△ ABC 為銳角三角形,過(guò)點(diǎn) A 作單位向量 j 垂直于 AC ,則 j 與BAB 的夾角為AB ,?90° -A,j 與 CB 的夾角為 90° -C.?由向量的加法原則可得? AC ? CB ?為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)j 的數(shù)量積運(yùn)算,得到 j ? ( AC ? CB) ? j ? AB 由分配律可得 AC ? ∴|j|j ? CB ? j ? AB .?j ABAC Cos90° +|j| CB Cos(90° -C)=|j| AB Cos(90° -A).?a c ? .? sin A sin C∴asinC=csinA.?∴C另外,過(guò)點(diǎn) C 作與 CB 垂直的單位向量 j,則 j 與 AC 的夾角為 90° +C,j 與 AB 的夾 角為 90° +B,可得c b ? .? sin C sin B(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為 j 與 為 90° -C,j 與AC 的夾角AB 的夾角為 90° -B)?∴a b c ? ? .? sin A sin B sin C(2)△ ABC 為鈍角三角形,不妨設(shè) A>90° ,過(guò)點(diǎn) A 作與 與AC 垂直的單位向量 j,則 jCjAB 的夾角為 A-90° ,j 與 CB 的夾角為 90° -C.?AB ,得 j·AC ?+j· CB =j·AB ,?A由 AC ? CB ?即 a· Cos(90° -C)=c· Cos(A-90° ),?∴asinC=csinA.?∴ 另外,過(guò)點(diǎn) C 作與 CB 垂直的單位向量 j,則 j 與 角為?90° +B.同理,可得 4.外接圓證明正弦定理a c ? sin A sin CABAC 的夾角為 90° +C,j 與 AB 夾a b c b c ? ? ? .? ∴ sin B sin C simA sin B sin C在△ ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ ABC 的外接圓,O 為圓心, 連結(jié) BO 并延長(zhǎng)交圓于 B′,設(shè) BB′=2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所 對(duì)的圓周角相等可以得到 c c ? 2 R .? ∠BAB′=90° ,∠C =∠B′,∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ? .?∴ 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2 R .?∴ ? ? ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 這就是說(shuō),對(duì)于任意的三角形,我們得到等式?第 2 頁(yè) 共 2 頁(yè)a b c ? ? .? sin A sin B sin C法一(平面幾何):在△ABC 中,已知 AC ? b, BC ? a, 及?C ,求 c。過(guò) A 作 AD ? BC于D,是AD=AC sin C ? BC sin C ,CD ? AC cos ? b cos c,BAC在 Rt ?ABD 中, AB ? AD ? BD ? (b sin c) ? (a ? b cos c) ? a ? b ? 2ab cos c ,2 2 2 2 2 2 2法二(平面向量) :??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? AB ? AB ? ( AC ? BC ) ? ( AC ? BC ) ? AC ? 2 AC ? BC ? BC ? AC ? 2 | AC | ? | BC |??? ?2 cos(180? ? B) ? BC ? b2 ? 2ab cos B ? a2 ,即: c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos c法三(解析幾何):把頂點(diǎn) C 置于原點(diǎn),CA 落在 x 軸的正半軸上,由于△ABC 的 AC=b, CB=a, AB=c, 則 A, B, C 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(b, 0), B(acosC, asinC),C(0,0). |AB|2=(acosC-b)2+(asinC-0)2 =a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2-2abcosC, 即 c2=a2+b2-2abcosC..法五(用相交弦定理證明余弦定理):如圖,在三角形 ABC 中,∠A=α,AB=a,BC=b,AC=c。現(xiàn) 在以 B 為圓心,以長(zhǎng)邊 AB 為半徑做圓,這里要用長(zhǎng)邊的道理 在于,這樣能保證 C 點(diǎn)在圓內(nèi)。BC 的延長(zhǎng)線交圓 B 于點(diǎn) D 和 E 這樣以來(lái),DC=a-b,CE=a+b,AC=c。因?yàn)?AG=2acosα ,所以 CG=2acosα -c。根據(jù)相交弦定理有: DC×CE=AC×CG,帶入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα -c) 化簡(jiǎn)以后就得 b =a +c +2accosα 。也就是我們的余弦定理。
如圖,在△ ABC 中,AB=4 cm,AC=3 cm,角平分線 AD=2 cm,求此三角形面積.2 2 2分析:由于題設(shè)條件中已知兩邊長(zhǎng),故而聯(lián)想面積公式 S△ ABC=第 3 頁(yè) 共 3 頁(yè)1 AB· AC· sinA,需求出 2sinA ,而 △ ABC 面積可以轉(zhuǎn)化為 S△ ADC + S△ ADB ,而 S△ ADC =1 A 1 AC· ADsin , S△ ADB = 2 2 2A A AB· AD· sin ,因此通過(guò) S△ ABC=S△ ADC+S△ ADB 建立關(guān)于含有 sinA,sin 的方程,而 sinA= 2 2 A A A A 2sin cos ,sin2 +cos2 =1,故 sinA 可求,從而三角形面積可求. 2 2 2 2 解:在△ ABC 中,S△ ABC=S△ ADB+S△ ADC, ∴ ∴ 1 1 A 1 A AB· ACsinA= · AC· AD· sin + · AB· ADsin 2 2 2 2 2 1 1 A A · 4· 3sinA= · 3· 2sin ,∴6sinA=7sin 2 2 2 2A A A ∴12sin cos =7sin 2 2 2 ∵sin ∴sin A A 7 A π ≠0,∴cos = ,又 0<A<π,∴0< < 2 2 12 2 2 A = 2 A 1-cos2 2 = 95 , 12A A 7 95 ∴sinA=2sin cos = , 2 2 72 ∴S△ ABC= 1 7 95 · 4· 3sinA= (cm2). 2 12在△ ABC 中,AB=5,AC=3,D 為 BC 中點(diǎn),且 AD=4,求 BC 邊長(zhǎng). x 解:設(shè) BC 邊為 x,則由 D 為 BC 中點(diǎn),可得 BD=DC= , 2 AD2+BD2-AB2 在△ ADB 中,cosADB= = 2AD· BD x 42+( )2-52 2 x 2× 4× 2 x 42+( )2-32 2 x 2× 4× 2AD2+DC2-AC2 在△ ADC 中,cosADC= = 2AD· DC又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180° -∠ADC)=-cosADC. x x 42+( )2-52 42+( )2-32 2 2 ∴ =- x x 2× 4× 2× 4× 2 2 解得,x=2 所以,BC 邊長(zhǎng)為 2. 2.在△ ABC 中,已知角 B=45° ,D 是 BC 邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,求 AB. 解:在△ ADC 中, AC2+DC2-AD2 72+32-52 11 cosC= = = , 2AC· DC 2× 7× 3 14第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè)5 3 又 0<C<180° ,∴sinC= 14 AC AB 在△ ABC 中, = sinB sinC sinC 5 3 5 6 ∴AB= AC= · 2 ·7= . sinB 14 2 3 5 3.在△ ABC 中,已知 cosA= ,sinB= ,求 cosC 的值. 5 13 3 2 解:∵cosA= < =cos45° ,0<A<π 5 2 4 ∴45° <A<90° ,∴sinA= 5 ∵sinB= 5 1 < =sin30° ,0<B<π 13 2∴0° <B<30° 或 150° <B<180° 若 B>150° ,則 B+A>180° 與題意不符. 12 ∴0° <B<30°cosB= 13 3 12 4 5 16 ∴cos(A+B)=cosA· cosB-sinA· sinB= · - · = 5 13 5 13 65 又 C=180° -(A+B). 16 ∴cosC=cos[180° -(A+B) ]=-cos(A+B)=- . 65第 5 頁(yè) 共 5 頁(yè)
正弦定理證明2
△ABC 中的三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C 的對(duì)邊,分別用 a , b , c 表示. 正弦定理:在三角形中,各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等,即a s in A = b s in B = c s in C證明:按照三角形的種類,分三種情形證明之. (1) 在 R t ? A B C 中,如圖 1-1s in A = a cA, s in B =a = bb c =cc ba s in A b s in B CD b c s in C CD a b s in B a s in A = b s in B = c s in C因此,s in As in B有因?yàn)?sin C =1 ,所以==C ,a CB(2)在銳角△ABC 中,如圖 1-2 作 C D ? A B 于點(diǎn) D ,有 s in A = 因此, b sin A = a sin B ,即 同理可證:a s in A = c s in C a s in A, s in B ==b . Aa,故B c C D(3)在鈍角△ABC 中,如圖 1-3 作 C D ? A B ,交 A B 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D ,則s in A = CD b, s in ? A B C = s in C B D =a s in A =CD ab因此, b sin A = a sin B ,即 同理可證: 故a s in A = b s in B b s in B = = c s in C c s in Cs in Bb aA 綜上所述,在任意的三角形中,正弦定理總是成立.cBD證明:如圖所示,圓 O 是△ABC 的外接圓,半徑為 R 連接 A O 并延長(zhǎng),交圓 O 于點(diǎn) D ,連接 C D , A 易知, ? A C D = 9 0 , ? B = ? Ds in D = AC AD = b 2R?,即 s in B =b 2R因此b s in B=2RO B C同理,延長(zhǎng) B O , C O , 可證 故a s in A a s in A = = b s in B c s in C = c s in C =2R =2RD證明:過(guò)點(diǎn) B 作單位向量 j ? B C ,那么就有? ??? ???? ? ??? ? ? ???? j ?A C ? j ?A B ? j ?B C? b co s(9 0 ? C ) ? c co s(9 0 ? B ) ? 0 ? ? b sin C ? ? c sin B? b s in B ? a s in A c s in C ?b s in B =A,b s in Bc s in C? j同理有 故a s in A。cb=BC a【小技巧】 根據(jù)幾何圖形確定向量夾角的方法: 如果兩個(gè)向量所在之間直線相交,或通過(guò)平移一個(gè)向量而相交,那么 (1) 向量夾角為銳角,很容易判斷; (2) 向量夾角為鈍角時(shí),可以先判斷銳角,再取補(bǔ)角 例如: 確定向量 j 與向量 A B 的夾角時(shí),由于是鈍角, 先確定向量 j 與向量 B A 的夾角為 9 0 ? B ,再求補(bǔ)角,即為 9 0 ? B 確定向量 j 與向量 A C 的夾角時(shí),先平移 j ,同上可得,夾角為 9 0 ? C? ???? ?? ????? ???????
正弦定理證明3
正弦定理的證明(方法一)可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:當(dāng) ? ABC 是銳角三角形時(shí),設(shè)邊 AB 上的高是 CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,有 CD= a sin B ? b sin A ,則 同理可得 從而asin Aasin A?bsin BcsinC ??bsin B?bsin Bcsin C思考:是否可以用其它方法證明這一等式?由 從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。
(方法二)利用向量證明? ? ???? 如圖,在 ? ABC 中,過(guò)點(diǎn) A 作一個(gè)單位向量 j ,使 j ? AC 。于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題,當(dāng) ?BAC 為鈍角或直角時(shí),同理可證上述結(jié)論。
從上面的研探過(guò)程,可得以下定理 正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即 [理解定理] (1)正弦定理說(shuō)明同一三角形中,邊與其對(duì)角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù), 即存在正數(shù) k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ;asin A ?bsin B?csin C- 1 -(2)asin A?bsin B?csin C等價(jià)于asin A?bsin B,csinC?bsin B,asin A?csin C下面還介紹幾種證明的方法,供感興趣同學(xué)探索。
(方法三)利用復(fù)數(shù)證明 如圖, 如圖2, 建立平面直角坐標(biāo)系. 在復(fù)平面內(nèi), 過(guò)點(diǎn) A 作 BC 的平行線, 過(guò)點(diǎn) C 作 AB 的平行線,交于點(diǎn) D .根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,實(shí)部等于實(shí)部,虛部等于虛部.可以得出(方法四)利用 ? ABC 的外接圓證明Ⅰ 如圖, ?O 是 ? ABC 的外接圓,設(shè)半徑為 R ,分 別連結(jié) OA 、OB 、 OC ,過(guò)點(diǎn)證明:O作 OD ? BC , 垂足為 D 。(方法五)利用 ? ABC 的外接圓證明Ⅱ 如圖,?O 是 ? ABC 的外接圓, 設(shè)半徑為 R ,連結(jié) BO 并延長(zhǎng),交 ? O 于點(diǎn) D ,連結(jié) AD 。- 2 -證明:(方法六)利用 ? ABC 的高線證明 如圖,在 ? ABC 中,過(guò)點(diǎn) B 作 BD ? AC ,垂足為 D 證明:(方法七)利用兩角和的正弦公式證明 如圖,在 ? ABC 中,過(guò)點(diǎn) B 作 BD ? AC ,垂足為 D- 3 -
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