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西蒙斯數(shù)學_數(shù)學,常識和運氣:西蒙斯MIT演講視頻全文翻譯3篇

時間:2022-12-07 15:03:53 演講稿

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西蒙斯數(shù)學_數(shù)學,常識和運氣:西蒙斯MIT演講視頻全文翻譯3篇

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3.1 創(chuàng)建基金會,支持基礎科學研究及跨學科研究

  之后我們創(chuàng)建了一個基金會,是我的妻子和我在1994 年創(chuàng)立的,剛開始只是以她的化妝間為辦公室,是嗎?(問臺下他的妻子)有一個小盒子,還有很大的文件夾。她的化妝間不大,那是個總部,后面逐漸地向外擴展。她先雇了一些人,然后又招了更多的人。因此我們有了一個基金會,而且在很快地擴大,不僅僅是從我們給出的錢的數(shù)量上來講,也從機構(gòu)運作的成熟程度上來講。這非常好,我的第一份職業(yè)是一個數(shù)學家,我的第二分職業(yè)是成為一個商人,我的第三個職業(yè)從某種意義上講是做一個慈善家。

  那我們的基金會都做些什么呢?我想我們的基金會是少數(shù)幾個幾乎完全對基礎科學做投資的基金會之一。我們支持基礎數(shù)學,基礎物理,還有很多生物方面研究,但是最普遍的是一些跨學科的研究。我們有一個研究自閉癥的項目,非常的有意思,它嘗試著用電腦從基因方面來分析這種情況,以發(fā)現(xiàn)不正常的大腦是怎樣工作的。所以我們主要集中于基礎科學研究方面,瑪麗蓮和我都認為這么做很好。我們同樣也做其他的事情,但是其他的事是小規(guī)模的。

  如果單從對基礎科學的投資規(guī)模上講,應該還沒有一個基金的規(guī)模能夠與我們相比。首先,我們給相關(guān)機構(gòu)提供錢,我們幫助MIT提供資金給數(shù)學系的教授做科研。但是最近幾年我們更加集中于建立數(shù)學、物理學和生命科學之間的橋梁,以及事件研究機構(gòu)等,這些都對我們很重要,自閉癥的研究也很重要?,F(xiàn)在我們更加注重于數(shù)學和物理學研究,關(guān)注個人項目。MIT 在理論計算機科學方面有所實踐,那也是他們唯一的實踐,他們知道我知道這一切。不過這是一個不錯的應用,我承認應該還有其他地方需要這樣的實踐,理論計算機科學也將會拓展到其他方面,這就是我們基金會在做的一些事。

3.2 創(chuàng)建Math for America

  我在2009 年從基金會退休,但是我從來沒有像現(xiàn)在這么忙。人們常說你都退休了,怎么可能會很忙,但是實際上我真的非常非常忙。為了提高數(shù)學教學水平,我們在幾年之前創(chuàng)建了Math for America。每個人都很關(guān)心美國孩子的數(shù)學教育問題。我們有我們自己的觀點。我們通常狹義的觀點是,我們的老師懂數(shù)學。你會說當然了。但是很讓人吃驚的是,尤其是當你上了中學的時,你會發(fā)現(xiàn)大部分的數(shù)學老師數(shù)學懂得卻不多。這不是一個很有效的環(huán)境,至少在激發(fā)學生學習數(shù)學,科學或者任何其他東西的興趣時表現(xiàn)更加明顯。當你選了意大利語的課時,你不想要一個母語是中文的人來教你,你想要一個母語是意大利語的人來教你,雖然他們都能讀意大利文,他會說我學過意大利文,你們不用擔心,但是你卻在想,不,我想要一個母語是意大利語的人來教我,但是實際上孩子們別無選擇。為什么我們沒有足夠的教師來教這些孩子們課程呢?為什么我們沒有足夠的真正懂數(shù)學和其他科學的老師來教他們呢?其中一種回答就是如果他們真的懂這門學科,那他們可以帶著同樣多的知識去Google,Goldman Sachs 或者其他地方工作。

  因為現(xiàn)在的世界變得更加數(shù)量化,經(jīng)濟也比三四十年之前更多地建立在數(shù)量化的方法上。即使他們適合做老師,但因為存在著薪資水平以及名譽地位的不同,他們也會被其他地方挖走,你很少看見這些人留在課堂上面授課。所以我們必須使這個職位變得更加吸引人,這也就是說給他們發(fā)更高的工資,這也正是我們在紐約和幾個其他城市通過我們的項目正在做的,給老師們更多的尊重,并提供更多的支持。只要我們給他或者她多支付25%的薪酬,讓他們感覺到不一樣。一下子,這個職業(yè)就變得更加好。如果我們讓這個職業(yè)變得更加吸引人了,那就會有人追求這個職業(yè)。如果我們什么都不做,那情況將會變得很糟糕。所以這是我們每個人都應該考慮的問題。

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2.1 從數(shù)學家到投資家的轉(zhuǎn)換

  那些的確都是美好的時光,但是正如伊斯辛德所說,后來我的確因為被一個問題困擾而變得比較灰心,我想去證明一些數(shù)——無理數(shù),我想你們都知道無理數(shù)的概念,可能一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)并不是很重要,但是在這個問題當中,這個概念卻有許多其他的意義。我完全不能夠勝任這個問題。這是個好問題,無理數(shù)直到現(xiàn)在仍然是數(shù)學界的研究問題之一,至今無人解決。不管怎樣,我變得很氣餒,而且我那個時候作為有過錯的一方正在辦離婚,但是我同時在新的婚姻面前也做了一個正確的選擇,和我當時的新女朋友結(jié)婚。她現(xiàn)在正坐在臺下。而且我的南美洲的生意也開始派紅利了,而且是相當可觀的數(shù)目,所以我獲得了一大筆錢。我把那筆錢投資出去,而且我發(fā)現(xiàn)我在投資方面做得并不差。所有的這一切讓我意識到現(xiàn)在是該改變一些東西的時候了。

  那是在1976 年,我剛剛38 歲。我以為我會一輩子都做一個數(shù)學家,不過真的,從18 歲開始我就這么認為。我想我花了近20 年的時間來進行這個游戲,但是后來我決定開始轉(zhuǎn)向做投資。

2.2 幸運的投資生涯,開頭偏重基本面交易

  我從來沒想過要把數(shù)學運用到投資當中。當你讀報紙的時候,你認為你自己做得不錯,我們的確做得還不錯。但是一段時間以后,我開始搜集一些數(shù)據(jù),我想有一些東西是可以模型化的,就像我們曾經(jīng)在IDA(美國國防分析學院)做的一樣。所以我從IDA找來了全世界最好的模型創(chuàng)建者,Lenny。在IDA 的時候我們一起構(gòu)建模型。Lenny開始和我一起創(chuàng)建模型,但是我卻一直在做交易。Lenny 似乎對建模越來越不感興趣,而是經(jīng)常會去閱讀一些新聞,那個時候新聞還是一卷一卷的那種,你把它撕開然后讀新聞。Lenny 并沒有在想怎么建模而是一直在讀新聞。然后他會形成自己的觀點比如說市場會上漲,市場會下跌之類,都是關(guān)于外匯和債券的一些東西。然后我開始發(fā)現(xiàn)有很多時候他的分析是對的。我說:“好的,你是用的什么模型?不妨我們用它來賺點錢吧?!蔽覀兊幕貓舐屎芨?,從我問“你運用的什么模型”開始的兩年里,我們把我們投資者的錢變成了剛開始的12 倍,那還是扣除了其他費用的。聽上去我們做得不錯,我們也是極其幸運的,你們看那個上面寫著一個詞就是“幸運”(指著上面的ppt),或者說“好運”,我們當然很多時候是比較幸運,在我的職業(yè)生涯中,我的運氣也的確很好。當時在我的腦海里想的仍然是我可不想只去建模,但是另外其他的人可以專門建模。Jim Max,一個很著名的數(shù)學家,離開了石溪大學后加入了我們,他的確建了一些模型。在接下來的幾年里,我們把基本面交易(fundamental trading),風險投資(venture capital)和所有其他的投資方式結(jié)合在一起,我們一直在不斷創(chuàng)造出新的更有效的模型。

2.3 投資轉(zhuǎn)向完全依賴模型交易,成為模型大師

  最終,大概10 年后我發(fā)現(xiàn),其實如果你做基本面交易,那么某一天當你醒來時,你可能會發(fā)現(xiàn)自己是個天才,你的頭寸總是朝利于你的方向發(fā)展,你覺得自己很聰明,你也會看見自己一夜之間賺很多錢。然而第二天,所有的頭寸都朝著不利于你的方向走,你覺得自己像個傻瓜。我們這方面做得還行,但只是這種情況好像不應該成為我們的一種生活(因為膽戰(zhàn)心驚)。既然我們會做模型,那就不妨跟著模型走。

  所以,在1988 年的時候,我決定百分之百的依靠模型交易。而且從那時起,我們一直都這么做。一些公司也運用模型,然而它們的宗旨是,他們有一個模型,用這個模型得出的結(jié)論給交易員提供參考意見,如果他們贊成這個結(jié)論那就照著執(zhí)行,如果他們不贊成那就不執(zhí)行。這不是科學,你不可能模擬出13 年前當你看見市場行情數(shù)據(jù)時的那種感覺。而且回溯測試(Back test)是一件很困難的事情。如果你要是真的靠模型去交易,那就完全遵照模型說的去做,不管你認為那個模型有多聰明或者是多傻,這后來被證實是一個很正確的決定。所以我們建立了一個百分之百依靠電腦模型做交易的公司,做的業(yè)務從我前面提到過的外匯、金融工具,逐漸發(fā)展到股票以及其他一切可以交易的、流動性強的東西。那個時候,為了得到數(shù)據(jù),我們派人去美聯(lián)儲影印利率的歷史數(shù)據(jù),那些數(shù)據(jù)在其他地方找不到,你也不可能簡單地從網(wǎng)上買到。為了得到區(qū)域性數(shù)據(jù),我們必須要手工搜集大量的數(shù)據(jù),而且我們確實做到了。逐漸地,我們變得更加聰明了,那些模型也變得越來越有效,我們還招進了越來越多的人,伊斯辛德說我們有世界上最好的數(shù)學團隊,我認為這不完全正確。從其他方面來講,這個團隊也不差,我們招了很多很聰明及擅長這些工作的人。我們從1988 年開始創(chuàng)建大獎章基金(Medallion fund),1993 年我們不再接受幫外界投資的新業(yè)務,只有雇員才能夠投資。2002 年時,我們把所有外界投資業(yè)務剝離出Medallion fund,2005 年時將其買斷(buyout)。從那時起的五年內(nèi),Medallion fund 就完全歸我們的職員所擁有,至今大概有300 名雇員有Medallion fund 的所有權(quán)。

2.4 成功的秘訣

  人們經(jīng)常問我有什么秘訣,因為我們不是這世界上唯一一個做數(shù)量分析的公司,我們不是唯一一個通過建模來交易的公司,我剛剛批判性地評價了一些運用模型交易的公司。我們公司顯然運行得比其他的公司要更好,我們的確創(chuàng)下了很多交易方面的記錄。人們總是在問,到底是什么秘訣?當然是有秘訣的,我當然不會告訴你們各種預測性的參量等等,那些比如說……不,我不會告訴你們的,那是他們研究的東西。

  但是,真正地訣竅其實是,我們的起點是一群一流的科學家,他們完成的是一流的工作。因為我們公司一開始就圍繞一些非常優(yōu)秀的科學家創(chuàng)建,他們都是經(jīng)過相應考核的,也一直和公司在一起。第二個方面就是我們給我們的員工提供非常好的基礎設施,一直有人告訴我他們從來沒見過一個比在我們公司工作更方便的公司了,那些數(shù)據(jù)的尋找都異常的方便。下面這里坐著我們的一位校友,我之前剛見過,雖然我不會建議他這么做,但是如果他想要的話,他可以去試一試我們的系統(tǒng)。而我認為最重要的就是我們保持著一個開放的氛圍,我認為做大規(guī)模研究的最好方法就是盡可能地確保每個人都知道其他人在做什么,至少是做到越快讓大家知道越好。有的時候你可能有一個想法想自己保留,但是很快你就覺得不想讓自己看上去像個白癡一樣,越快越好,開始告訴其他人你在干什么,因為那樣才能最快地刺激你一些事情,沒有分隔,沒有小集體。比如說,認為是我們幾個人建立的系統(tǒng),我們應該得到相應的回報,這一類的事情決不會發(fā)生。每個星期我們的研究員就會聚一次,討論新的想法,而且最好是能夠運用到實踐當中去的想法。所以這是一個寬松的,開放的環(huán)境,你的工資是基于公司整體利潤的,而不是根據(jù)你個人自己的工作的,每個人的工資都給來自于任何一個其他人的成功。不過沒有任何一項政策能單獨使效果達到最好,而是需要所有政策都能成功地結(jié)合在一起。出色的員工,很棒的基礎設施,開放的環(huán)境,并且盡量讓每個人根據(jù)整體的表現(xiàn)獲得薪資。這個方法很有效,而且將一直有效,并且靠著它我們賺了很多錢,足夠多的錢。

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  作為總結(jié),當我告訴我的妻子我將會在這次演講中說些什么的時候,她說,你應該以一些道理來結(jié)束你的演講。實際上我沒有什么道理要告訴你們的。她確信只要我拼命地想,一定能夠想到一些道理。我想我的確是有一些道理要講,或者說是一些指導性原則而已,“道理”這個詞似乎有點太嚴肅了,但是我會告訴你們一些我自己認為比較好的的指導性原則。有一件事我經(jīng)常做的就是嘗試一些新的事情。我經(jīng)常喜歡嘗試一些新的事情,我不想和大部隊一起跑,其中一個原因就是我跑得太慢了。如果N 個人在不同的地方但是在同一時間做同一件事,對于我,我想我會成為最后一個做完事情的人,我絕對不會贏得這場比賽。但是如果你在同一時間要去想一個新的問題,或者有一種和其他人不同的新的方法,也許那會給你一個機會,所以,嘗試著做一些新的事情。第二,盡你所能和最優(yōu)秀的人合作。當你發(fā)現(xiàn)一個很不錯的人,并且能夠與你一起合作做一些不尋常的事,你要嘗試著找一些方法一起去做,因為這會擴大你的視野,讓你從中得到一些好處,而且和很棒的人一起工作也很有意思。

  我還要說下“被美麗指引”,我認為每一件事都有它美的一面,至少對于我來說是這樣。你可能會問,建一家交易公司有什么美的一面呢?它美就美在做正確的事,找一群正確的人,用正確的方法把事情做正確。如果你認為你是第一個這么做并且做正確的人,我想你就是做對了,這種感覺非常的好,把事情做正確是一件很美的事。同樣,人們沒想過,其實解決數(shù)學問題也是一件很美的事。所以“被美麗指引”是一個很不錯的指導性原則。然后我還寫了,不要放棄,至少嘗試著不要放棄,有時花很長時間去做一件事是正確的。最后,讓我們期盼一點點好運。那么今天我的演講就到此結(jié)束了。

  Q1:Jim, 我的問題是,在經(jīng)濟學當中,有的時候有一些假設前提,比如說對于非凸的生產(chǎn)曲線有完全競爭假設,在金融市場上有完美流動性假設,在效率問題上有對稱信息。那么在文藝復興科技公司,你們有離散數(shù)學小組嗎?你們會同時留意肥尾分布風險以及連續(xù)性方差嗎?

  A:這真是一系列很專業(yè)的問題,而且是我意料之中的。我的回答是,是的,我們關(guān)注你所提到的所有這些風險。肥尾分布風險只是告訴我們,金融市場上的信息分布不是簡單的正態(tài)分布,那個市場上的尾巴顯然沒有內(nèi)幕人員看到的偏離的大。所以,我們會仔細考量所有我們所能想到的并且能考察的因素,直到現(xiàn)在我們的方法也基本上是正確的。

  Q2:你認為高頻交易是有益社會的嗎?如果是這樣,你覺得有多少?

  A:這個問題是問,是否認為高頻交易是有益社會的,如果是,有多少,有多少是指什么?是你能從中賺取多少錢還是它有多大的作用?(笑)我認為高頻交易是個中性詞,當然也是有益社會的。事實情況是,隨著市場變得電子化,電腦被用來提出價格,接受訂單和做一切其他的事。市場流動性也因此已經(jīng)變得前所未有的強大,買賣差價一直在縮小。曾經(jīng),那些站在交易所地面上的專家們是做市商,他們通常要求很大的買賣差價,一旦出現(xiàn)問題,他們就消失的無影無蹤了。

  有了電子交易之后,它能夠使交易變的迅速,這樣就會使買賣差價變小,也會使市場影響力變小,這兩種影響并存。當你買股票的時候,通常你付的錢比折中價稍微高一點,當你賣股票的時候,你付的錢比折中價稍微低一點,但是從另一方面來講,你卻是市場的推動者。如果你買100股也許你不會推動市場變化。如果你買10 萬股,你也許會推動市場變化,到底會移動多少呢?如果你是這個市場上的唯一一個買家,你會帶動整個市場跟你一起發(fā)生顯著的變化。如果有很多個買家存在,但是你是唯一的一個賣家的話,10 萬股也會很容易地被市場消化掉。交易量越多對市場越好,而這些大交易量是由高頻交易員創(chuàng)造的。因此通過研究發(fā)現(xiàn),因為高頻交易,買賣差價和市場影響力下降了很多。所以,如果你認為高市場流通性是有益社會的,那么高頻交易也可以說是有益社會的。如果要問它有什么缺點,那缺點就是它會造成市場崩潰。幾個月之前,市場在幾分鐘內(nèi)經(jīng)歷了劇烈的震動,但是很快市場就回到了原來的正常水平,但是這也是不可忽視的一點。

  在1987 年,股票市場在半天之內(nèi)猛跌了25%,而且直到6 個月之后市場才恢復過來,那是因為沒人站在市場的另一邊。剛才提到的那個市場波動之所以很快恢復過來是因為那只是市場上的某一個交易人犯了一個錯誤,或者是某個人下的單太大了,所以市場上有些恐慌情緒,導致市場下跌3%。我當時被震驚了,不知道的到底發(fā)生了什么,但是很快,很多的交易訂單又進入了市場,在十分鐘內(nèi)市場就恢復了過來,這是給市場造成了一些不穩(wěn)定,但是這與1987 年的市場崩潰完全是兩碼事。以上就是我對一個很短的問題的一個很長的作答。是的,我認為高頻交易是有益社會的,我認為那些反對它的人是錯的。

  Q3:你在基本面交易中獲得的經(jīng)驗如何影響你在文藝復興科技公司的建模過程?

  A:的確,我在基本面交易獲得的經(jīng)驗教會了我一些在建模時要注意的東西。當我們建模時,我們盡量保持越原始越好,我們嘗試著通過直接閱讀從市場上觀察來的數(shù)據(jù)來建模。我承認我以前的經(jīng)歷對我的后來的工作是有影響的。我認為即使你是做數(shù)量分析的,能夠在做純數(shù)量分析之前在交易市場上獲得一點經(jīng)驗是很不錯的選擇。

  Q4:人們應該更加關(guān)注哪些經(jīng)濟指標?舉個簡單的例子,當我們看到國債數(shù)據(jù)的時候,我們發(fā)現(xiàn)那個數(shù)字是所有美國人工資總和的兩倍,而這些是我們都需要清還的債務,我知道我們應該減小這個數(shù)據(jù)。但是作為一個普通人,我們到底應該怎樣去看待分析這些數(shù)據(jù)呢?我們應該怎么去看待650 億的CDO?

  A:其實這個問題不僅僅困擾著美國,它也困擾著世界上許多其他的國家,政府借了很多的債,導致資產(chǎn)負債表的不平衡。很顯然,美國正在進入經(jīng)濟的一個衰退期,我們正忙著去保釋那些大的銀行,這些錢到底被花到哪里了呢?到底這會導致什么?我為你所提到的事情是的確值得關(guān)注的事,國債占GNP 的比率現(xiàn)在甚至變得比二戰(zhàn)剛剛結(jié)束時的數(shù)字還高,而且我們從來就沒能還清這筆債。但是我們所做的是讓GDP 不斷地增長,所以分母在不斷地變大,我想不久我們的國債會得到控制的。在任何情況下,我覺得沒有任何因素比保持增長更重要的了,但是我不認為美國正在往促進經(jīng)濟增長這條路上走。也許我們應該印更多的鈔票,建更多的基礎設施,把錢投入到現(xiàn)在還落后的地方去,讓更多的人能夠找到一份工作,讓我們自己處于更好的位置,即使這會造成一定的通貨膨脹,但通脹并不是世界上最糟糕的事情。

  這次的金融危機之所以讓美國人變得更窮了,是因為大家的住房的價值變低了,而美國人最大的資產(chǎn)往往是他們的房產(chǎn),他們以不斷增長的房價作抵押來融資,這也造成了當時經(jīng)濟的過熱增長,但最終這種增長停止了。所以我們有兩件不容樂觀的事在發(fā)生,人們的資產(chǎn)負債表就此被摧毀了,他們的資產(chǎn)下降了,但是他們同時卻要還債。資產(chǎn)負債表的災難不是一兩天就能修復的,我認為要在這個基礎上重新恢復,我們得花上好幾年的時間。那么我們的政府做的究竟是對還是錯?我反正不是這屆政府的熱衷支持者。我不太支持這次的稅改方案,除了(臺下有人鼓掌),有個人為我鼓掌(笑),實際上對像我這樣的富人減稅是毫無意義的,對臺下的某些人也是毫無意義的。但是這的確是我們應該付出的代價,因為我們有一個比較靦腆的總統(tǒng),這是我們?yōu)楸3帜壳笆I(yè)率,并且保證我們對窮人實行減稅所付出的代價。但是從另一方面看,這不是世界上最糟糕的事,也許我們會創(chuàng)造一些增長。我的觀點是,經(jīng)濟增長,這就是我們現(xiàn)在所需要的,我寧愿承受高的通貨膨脹也不愿意犧牲經(jīng)濟增長。我們經(jīng)常說我們讓美元保值,但是如果你連工作都沒有了,誰又真正在乎這通貨膨脹呢?一個高價的美元永遠不會解決20%的高失業(yè)率問題。

  Q5:有人說數(shù)量分析模型的某些缺陷導致這次的經(jīng)濟危機,你是怎么認為的?

  A:不對,我認為數(shù)量分析模型和這次經(jīng)濟衰退沒有任何關(guān)系。經(jīng)濟衰退的發(fā)生是因為貸款是建立在不良資產(chǎn)作抵押的基礎上的,而這些貸款之所以可能存在是因為有一個能夠接受他們的市場存在,次級貸款讓你能夠貸款給一些你做夢都沒有想到過會借錢給他們的人。如果你叔叔說:“別擔心,你來借錢,我來買這些交易憑證?!蹦慊卮鹫f:“好的,叔叔,如果你來買走我的這些交易憑證,那我就把錢借給他們。”于是,你把錢借了出去,又把交易憑證賣給了你叔叔,這些交易憑證又被證券化,最后被蓋上了AAA 的章。是誰在做這件事呢?是那些評級機構(gòu)。他們給這些證券AAA的評級,要么是因為實際情況如此,我想大部分情況還是屬于這種情況的(此處反諷),但也可能因為他們的費用收入是從這些證券發(fā)行商處領(lǐng)的,這些證券發(fā)行商如果不能保證自己得到AAA 的評級,他們也就不會發(fā)行這些債券,所以這是一條產(chǎn)業(yè)鏈。在過去,你如果向銀行借錢,那借錢的對象真的是銀行,銀行會認真檢查你的抵押品價值,它們希望你能夠如期償還,所以銀行會不惜一切代價保證你能按時還款。但是現(xiàn)在呢?銀行借完錢給你后的一微秒不到就將這個債務憑證轉(zhuǎn)手賣給了其他人。所以這些和數(shù)量分析模型沒有任何的關(guān)系。的確,數(shù)量分析模型是設計了一系列的抵押憑證,但是這背后的概率數(shù)據(jù)又是多大呢?一個8年內(nèi)在4個城市換過7 個工作的人的還款概率是多少呢?任何一個有點常識的人都知道,這個概率接近于零。但是這個事實卻沒有被考慮之后運用到概率數(shù)據(jù)之中。所以這就是我的回答。

  Q6: 當你創(chuàng)建模型來做市場交易,你會更加的側(cè)重于最基本的經(jīng)濟指標和數(shù)據(jù),還是更加側(cè)重于像S&P500、金價這樣的價格行為?或者是兩者兼顧呢?

  A:我在我的演講之初提到過WarrenAmbrose, 那個啟發(fā)了我的數(shù)學家,其實我不會回答你的問題(笑),在我的職業(yè)生涯早期的某一天我曾經(jīng)問過他:”Ambrose 教授,你認為是精通地學習某一個領(lǐng)域的數(shù)學好還是泛泛地學習很多領(lǐng)域的數(shù)學好呢?”教授回答說:“老套的話怎么說都通。”我們的討論就結(jié)束了。所以,其實這個問題沒有一個唯一的正確答案。所有的東西都是有用的,你的經(jīng)濟學模型是有用的,基本分析也是有用的,所以這些都是有用的。

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