下面是范文網(wǎng)小編收集的北師大初一下冊數(shù)學(xué)知識框架3篇 初二數(shù)學(xué)下冊北師大版知識點，供大家參考。

北師大初一下冊數(shù)學(xué)知識框架1

　　第一章：整式的運算單項式 整 式 多項式 同底數(shù)冪的乘法 冪的乘方 積的乘方 同底數(shù)冪的除法 零指數(shù)冪 負指數(shù)冪 整式的加減 單項式與單項式相乘 單項式與多項式相乘 多項式與多項式相乘 平方差公式 完全平方公式 單項式除以單項式整 式 的 運 算冪運算整式的乘法 整式運算整式的除法 多項式除以單項式 一、單項式 1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式。

　　2、單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。

　　3、單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)。

　　4、單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式。

　　5、只含有字母因式的單項式的系數(shù)是 1 或―1。

　　6、單獨的一個數(shù)字是單項式，它的系數(shù)是它本身。

　　7、單獨的一個非零常數(shù)的次數(shù)是 0。

　　8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

　　9、單項式的系數(shù)包括它前面的符號。

　　10、單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，應(yīng)化成假分數(shù)。

　　11、單項式的系數(shù)是 1 或―1 時，通常省略數(shù)字“1” 。

　　12、單項式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項式的系數(shù)無關(guān)。

　　二、多項式 1、幾個單項式的和叫做多項式。

　　2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。

　　3、多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。

　　4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。

　　5、多項式的每一項都包括項前面的符號。

　　6、多項式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。

　　7、多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

　　三、整式 1、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

　　2、單項式或多項式都是整式。

　　3、整式不一定是單項式。14、整式不一定是多項式。

　　5、分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。

　　四、整式的加減 1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。

　　2、幾個整式相加減，關(guān)鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。

　　3、幾個整式相加減的一般步驟： （1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。

（2）按去括號法則去括號。

（3）合并同類項。

　　4、代數(shù)式求值的一般步驟： （1）代數(shù)式化簡。

（2）代入計算 （3）對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進行計算。

　　五、同底數(shù)冪的乘法 n n 1、n 個相同因式（或因數(shù)）a 相乘，記作 a ，讀作 a 的 n 次方（冪） ，其中 a 為底數(shù)，n 為指數(shù)，a 的結(jié)果 叫做冪。

　　2、底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。

　　m n m+n 3、同底數(shù)冪乘法的運算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：a ﹒a =a 。

　　m+n m n 4、此法則也可以逆用，即：a = a ﹒a 。

　　5、開始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運用法則。

　　六、冪的乘方 m n m 1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。

） 表示 n 個 a 相乘。

（a m n mn 2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

） =a 。

（a mn m n n m 3、此法則也可以逆用，即：a =（a ） =（a ） 。

　　七、積的乘方 1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。

　　n n n 2、 積的乘方運算法則：積的乘方， 等于把積中的每個因式分別乘方， 然后把所得的冪相乘。即 （ab） =a b 。

　　n n n 3、此法則也可以逆用，即：a b =（ab） 。

　　八、三種“冪的運算法則”異同點 1、共同點： （1）法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運算。

（2）法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項式或多項式） 。

（3）對于含有 3 個或 3 個以上的運算，法則仍然成立。

　　2、不同點： （1）同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。

（2）冪的乘方是指數(shù)相乘。

（3）積的乘方是每個因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。

　　九、同底數(shù)冪的除法 m n m-n 1、同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：a ÷a =a （a≠0） 。

　　m-n m n 2、此法則也可以逆用，即：a = a ÷a （a≠0） 。

　　十、零指數(shù)冪 0 1、零指數(shù)冪的意義：任何不等于 0 的數(shù)的 0 次冪都等于 1，即：a =1（a≠0） 。

　　十一、負指數(shù)冪 1、任何不等于零的數(shù)的―p 次冪，等于這個數(shù)的 p 次冪的倒數(shù)，即： 注：在同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪中底數(shù)不為 0。2a?p?1 ap(a ? 0)十二、整式的乘法 （一）單項式與單項式相乘 1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的 指數(shù)不變，作為積的因式。

　　2、系數(shù)相乘時，注意符號。

　　3、相同字母的冪相乘時，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

　　4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。

　　5、單項式乘以單項式的結(jié)果仍是單項式。

　　6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。

（二）單項式與多項式相乘 1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式中的每一項， 再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

　　2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

　　3、積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。

　　4、混合運算中，注意運算順序，結(jié)果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結(jié)果。

（三）多項式與多項式相乘 1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項， 再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

　　2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘 以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積。

　　3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應(yīng)用“同號得正，異號得負” 。

　　4、運算結(jié)果中有同類項的要合并同類項。

　　5、對于含有同一個字母的一次項系數(shù)是 1 的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算： 2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab。

　　十三、平方差公式 2 2 1、 （a+b）(a-b)=a -b ，即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。

　　2、平方差公式中的 a、b 可以是單項式，也可以是多項式。

　　2 2 3、平方差公式可以逆用，即：a -b =（a+b）(a-b)。

　　4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運算，解這類題，首先看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成 2 2 （a+b）?(a-b)的形式，然后看 a 與 b 是否容易計算。

　　十四、完全平方公式 1、 ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b , ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b , 即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，2 2 2 2 2 2加上（或減去）它們的積的 2 倍。

　　2、公式中的 a，b 可以是單項式，也可以是多項式。

　　3、掌握理解完全平方公式的變形公式： （1） a ? b ? ( a ? b ) ? 2 a b ? ( a ? b ) ? 2 a b ? 1 [( a ? b ) ? ( a ? b ) ] 22 2 2 2 2 2（2） ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 4 a b2 2（3） ab ? 1 [( a ? b ) ? ( a ? b ) ] 42 24、完全平方式：我們把形如: a ? 2 a b ? b , a ? 2 a b ? b , 的二次三項式稱作完全平方式。2 2 2 25、當計算較大數(shù)的平方時，利用完全平方公式可以簡化數(shù)的運算。36、完全平方公式可以逆用，即： a ? 2 ab ? b ? ( a ? b ) , a ? 2 ab ? b ? ( a ? b ) .2 2 2 2 2 2十五、整式的除法 （一）單項式除以單項式的法則 1、單項式除以單項式的法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對 于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。

　　2、根據(jù)法則可知，單項式相除與單項式相乘計算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部 分分別進行考慮。

（二）多項式除以單項式的法則 1、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得 的商相加。用字母表示為： ( a ? b ? c ) ? m ? a ? m ? b ? m ? c ? m . 2、多項式除以單項式，注意多項式各項都包括前面的符號。4第二章平行線與相交線余角 余角補角 補角 角 兩線相交 對頂角 同位角 內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角平 行 線 與 相 交 線三線八角平行線的判定 平行線 平行線的性質(zhì) 尺規(guī)作圖一、余角與補角 1、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。

　　2、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其中一個角是另一個角的補角。

　　3、互余和互補是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān)。

　　4、余角和補角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。

　　5、余角和補角的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言可表示為： （1） ? 1 ? ? 2 ? 90 (180 ), ?1 ? ? 3 ? 90 (180 ), 則 ? 2 ? ? 3 (同角的余角（或補角）相等)。0 0 0 0（2）? 1 ? ? 2 ? 9 0 (1 8 0 ), ? 3 ? ? 4 ? 9 0 (1 8 0 ), 且 ?1 ? ? 4, 則 ? 2 ? ? 3 (等角的余角（或補角） 相等)。0 0 0 06、余角和補角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個重要方法。

　　二、對頂角 1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。

　　2、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。

　　3、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

　　4、對頂角的性質(zhì)在今后的推理說明中應(yīng)用非常廣泛，它是證明兩個角相等的依據(jù)及重要橋梁。

　　5、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角。

　　三、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 1、兩條直線被第三條直線所截，形成了 8 個角。

　　2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。

　　3、內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

　　4、同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)角。

　　5、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無關(guān)，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系。

　　四、六類角 1、補角、余角、對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角六類角都是對兩角來說的。

　　2、余角、補角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無關(guān)。53、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角只有位置上的關(guān)系，與其數(shù)量無關(guān)。

　　4、對頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。

　　五、平行線的判定方法 1、同位角相等，兩直線平行。

　　2、內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

　　3、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

　　4、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。

　　5、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。

　　六、平行線的性質(zhì) 1、兩直線平行，同位角相等。

　　2、兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

　　3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

　　4、平行線的判定與性質(zhì)具備互逆的特征，其關(guān)系如下：在應(yīng)用時要正確區(qū)分積極向上的題設(shè)和結(jié)論。

　　七、尺規(guī)作線段和角 1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。

　　2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。

　　3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是： （1）在兩點間連接一條線段； （2）將線段向兩方延長。

　　4、尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是： （1）以任意一點為圓心，任意長為半徑作一個圓； （2）以任意一點為圓心，任意長為半徑畫一段??； 5、熟練掌握以下作圖語言： （1）作射線××； （2）在射線上截取××=××； （3）在射線××上依次截取××=××=××； （4）以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×； （5）分別以點×、點×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點×； （6）過點×和點×畫直線××（或畫射線××） ； （7）在∠×××的外部（或內(nèi)部）畫∠×××=∠×××； 6、在作較復(fù)雜圖形時，涉及基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了。

（1）畫線段××=××； （2）畫∠×××=∠×××；6第三章生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù)單位換算 科學(xué)記數(shù)法 近似數(shù) 精確數(shù) 有效數(shù)字 精確度 統(tǒng)計圖（象形統(tǒng)計圖）一、單位換算 1、長度單位： -6 （1）百萬分之一米又稱微米，即 1 微米=10 米。

-9 （2）10 億分之一米又稱納米，即 1 納米=10 米。

　　3 （3）1 微米=10 納米。

　　3 6 9 （4）1 米=10 分米=100 厘米=10 毫米=10 微米=10 納米。

　　2、面積單位 -6 2 2 2 2 4 2 6 2 12 2 18 2 （1）10 千米 =1 米 =10 分米 =10 厘米 =10 毫米 =10 微米 =10 納米 。

　　3、質(zhì)量單位 3 6 （1）1 噸=10 千克=10 克。

　　二、科學(xué)計數(shù)法表示絕對值小于 1 的較小數(shù)據(jù) n 1、用科學(xué)計數(shù)法表示絕對值小于 1 的較小數(shù)據(jù)時，也可以表示為 a×10 的形式，其中 1≤〡a〡<10,n 為 負整數(shù)，n 等于這個數(shù)的第一個不為零的數(shù)字前面所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的一個零）的相反數(shù)。

　　三、近似數(shù)與精確數(shù) 1、精確數(shù)是指一個物體或描述一事件的真實數(shù)值。

　　2、近似數(shù)是指用測量或統(tǒng)計的方法、四舍五入、估計等得到的數(shù)。

　　3、近似數(shù)產(chǎn)生的原因有： （1）由于測量工具和測量方法的局限性不可能得到物體的準確值； （2）有些事件也不可能或沒有必要得出它的精確值。

　　4、近似數(shù) a 的真值的范圍大于或等于 a 與它的最末位的半個單位的差而小于 a 與它的最末位的半個單位 的和。例如近似數(shù) 1.60 的真值范圍為大于或等于 1.595 而小于 1.605。

　　四、有效數(shù)字 1、對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有 效數(shù)字。

　　n 2、對于科學(xué)計數(shù)法型的近似數(shù)，由 a×10 （1≤〡a〡<10）中的 a 來確定，a 的有效數(shù)字就是這個近似數(shù) n 的有效數(shù)字。與×10 無關(guān)。

　　3、對帶有記數(shù)單位的近似數(shù)，由數(shù)字來確定，與單位無關(guān)。

　　五、近似數(shù)的精確度 1、近似數(shù)的精確度是近似數(shù)精確的程度。

　　2、近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。

　　3、精確度是由該近似數(shù)的最后一位有效數(shù)字在該數(shù)中所處的位置決定的。

　　4、對于單獨一個近似數(shù)，根據(jù)最后一位有效數(shù)字在該數(shù)中所處的位置直接確定精確度。

　　5、對用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)應(yīng)注意將其還原為原來的數(shù)后，再確定其精確度。

　　6、對帶單位的近似數(shù)，也要還原為原來的數(shù)后再確定其精確度。77、對近似數(shù)進行取舍時需要注意一般形式與科學(xué)記數(shù)法形式。

　　六、統(tǒng)計圖（表） 1、條形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數(shù)目。

　　2、折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況。

　　3、扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

　　4、象形統(tǒng)計圖：能直觀地反映數(shù)據(jù)之間的意義。

　　5、從統(tǒng)計圖中獲取更多的有用信息，應(yīng)做到以下幾步： （1）審清統(tǒng)計圖橫軸和縱軸代表的意義，若是象形統(tǒng)計圖則要看準每個形象圖標代表什么意義； （2）把各部分的數(shù)據(jù)找出來； （3）以圖中讀出的信息作為參考（已知） ，推測相關(guān)量的變化趨勢或規(guī)律； （4）對需要計算后回答的信息要準確地進行計算。

　　6、制作象形統(tǒng)計圖 （1）象形統(tǒng)計圖比一般的統(tǒng)計圖更直觀、更簡潔生動，極富有個性和情感，但準確性差一些。

（2）制作象形統(tǒng)計圖沒有固定的格式，需要具有較強的想像力和創(chuàng)造力。

（3）制作象形統(tǒng)計圖： 一是要明確制作的統(tǒng)計圖的特點； 二是要結(jié)合具體問題，分析數(shù)據(jù)特點和規(guī)律，通過設(shè)計簡明、直觀、形象的統(tǒng)計圖，加深對問題的理 解。8第四章概率事件必然事件 不可能事件 不確定事件 游戲的公平性概率等可能性概率概率的定義 幾何概率 設(shè)計概率模型一、事件 1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。

　　2、必然事件：事先就能肯定一定會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生 的可能是 100%（或 1） 。

　　3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機會發(fā)生，即發(fā)生 的可能性為零。

　　4、不確定事件：事先無法肯定會不會發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的 可能性在 0 和 1 之間。

　　5、三種事件都是相對于事件發(fā)生的可能性來說的，若事件發(fā)生的可能性為 100%，則為必然事件；若事件 發(fā)生的可能性為 0， 則為不可能事件； 若事件不一定發(fā)生， 即發(fā)生的可能性在 0∽1 之間， 則為不確定事件。

　　6、簡單地說，必然事件是一定會發(fā)生的事件；不可能事件是絕對不可能發(fā)生的事件；不確定事件是指有 可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。

　　7、表示事件發(fā)生的可能性的方法通常有三種： （1）用語言敘述可能性的大小。

（2）用圖例表示。

（3）用概率表示。

　　二、等可能性 1、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。

　　2、游戲規(guī)則的公平性：就是看游戲雙方的結(jié)果是否具有等可能性。

（1）首先要看游戲所出現(xiàn)的結(jié)果的兩種情況中有沒有必然事件或不可能事件，若有一個必然事件或不可 能事件，則游戲是不公平的； （2）其次如果兩個事件都為不確定事件，則要看這兩個事件發(fā)生的可能性是否相同；即看雙方獲勝的可 能性是否相同，只有雙方獲勝的可能性相同，游戲才是公平的。

（3）游戲是否公平，并不一定是游戲結(jié)果的兩種情況發(fā)生的可能性都是二分之一，只要對游戲雙方獲勝 的事件發(fā)生的可能性一樣即可。

　　三、概率 1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個比例數(shù)，一般用 P 來表示，P（A）=事件 A 可能 出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)/所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。

　　2、必然事件發(fā)生的概率為 1，記作 P（必然事件）=1； 3、不可能事件發(fā)生的概率為 0，記作 P（不可能事件）=0； 4、不確定事件發(fā)生的概率在 0∽1 之間，記作 0<P（不確定事件）<1。

　　5、概率是對“可能性”的定量描述，給人以更直接的感覺。96、概率并不提供確定無誤的結(jié)論，這是由不確定現(xiàn)象造成的。

　　7、概率的計算： （1）直接數(shù)數(shù)法：即直接數(shù)出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總數(shù) n，再數(shù)出事件 A 可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù) m，利用概 率公式 P ( A ) ?m n直接得出事件 A 的概率。（2）對于較復(fù)雜的題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法” 。

　　四、幾何概率 1、事件 A 發(fā)生的概率等于此事件 A 發(fā)生的可能結(jié)果所組成的面積（用 SA 表示）除以所有可能結(jié)果組成圖 形的面積（用 S 全表示） ，所以幾何概率公式可表示為 P（A）=SA/S 全，這是因為事件發(fā)生在每個單位面積上 的概率是相同的。

　　2、求幾何概率： （1）首先分析事件所占的面積與總面積的關(guān)系； （2）然后計算出各部分的面積； （3）最后代入公式求出幾何概率。

　　五、設(shè)計概率模型（游戲或事件） 1、設(shè)計符合要求的簡單概率模型（游戲或事件）是對概率計算的逆向運用。

　　2、設(shè)計通常分四步： （1）首先分析設(shè)計應(yīng)符合什么條件； （2）其次確定選用什么圖形表示更合理； （3）然后再按一定要求和操作經(jīng)驗來設(shè)計模型； （4）最后再通過計算或其他方法來驗證設(shè)計的模型是否符合條件。10第五章三角形三角形三角形三邊關(guān)系 三角形 三角形內(nèi)角和定理 角平分線 三條重要線段 中線 高線 全等圖形的概念 全等三角形的性質(zhì) SSS SAS 全等三角形 全等三角形的判定 ASA AAS HL（適用于 RtΔ ） 全等三角形的應(yīng)用 作三角形 利用全等三角形測距離一、三角形概念 1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號“Δ ”表示。

　　2、頂點是 A、B、C 的三角形，記作“Δ ABC” ，讀作“三角形 ABC” 。

　　3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊 AB、BC、AC，有時也用 a，b，c 來表示，頂點 A 所對的 邊 BC 用 a 表示，邊 AC、AB 分別用 b，c 來表示； 4、∠A、∠B、∠C 為 Δ ABC 的三個內(nèi)角。

　　二、三角形中三邊的關(guān)系 1、三邊關(guān)系： 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

　　用字母可表示為 a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。

　　2、判斷三條線段 a,b,c 能否組成三角形： （1）當 a+b>c,a+c>b,b+c>a 同時成立時，能組成三角形； （2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。

　　3、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即a?b ? c ? a?b.三、三角形中三角的關(guān)系 0 1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于 180 。

　　2、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類： （1）銳角三角形，即三角形的三個內(nèi)角都是銳角的三角形； （2）直角三角形，即有一個內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所對的邊 AB 稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。

　　注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余。

（3）鈍角三角形，即有一個內(nèi)角是鈍角的三角形。

　　3、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。114、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。

　　0 5、任意一個三角形都具備六個元素，即三條邊和三個內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為 180 的性質(zhì)。

　　6、三角形內(nèi)角和定理包含一個等式，它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系。

　　四、三角形的三條重要線段 1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。

　　2、三角形的角平分線： （1）三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角 平分線。

（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點。

　　3、三角形的中線： （1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。

（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點。

　　4、三角形的高線： （1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡 稱為三角形的高。

（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。

　　區(qū) 中 線 平分對邊 平分內(nèi)角 垂直于對 邊（或其延 長線） 角平分線 高 線 別 相 同 三條中線交于三角形內(nèi)部 三條角平分線交于三角表內(nèi)部 銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部 直角三角形：其中兩條恰好是直角邊 鈍角三角形：其中兩條在三角表外部 （1）都是線段 （2）都從頂點畫出 （3）所在直線相交于一點五、全等圖形 1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。

　　2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。

　　3、全等圖形的面積或周長均相等。

　　4、判斷兩個圖形是否全等時，形狀相同與大小相等兩者缺一不可。

　　5、全等圖形在平移、旋轉(zhuǎn)、折疊過程中仍然全等。

　　6、全等圖形中的對應(yīng)角和對應(yīng)線段都分別相等。

　　六、全等分割 1、把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形叫做把一個圖形全等分割。

　　2、對一個圖形全等分割： （1）首先要觀察分析該圖形，發(fā)現(xiàn)圖形的構(gòu)成特點； （2）其次要大膽嘗試，敢于動手，必要時可采用計算、交流、討論等方法完成。

　　七、全等三角形 1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“≌”連接，讀作“全等于” 。

　　2、用“≌”連接的兩個全等三角形，表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

　　3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這是今后證明邊、角相等的重要依據(jù)。

　　4、兩個全等三角形，準確判定對應(yīng)邊、對應(yīng)角，即找準對應(yīng)頂點是關(guān)鍵。

　　八、全等三角形的判定 1、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS” 。

　　2、兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA” 。

　　3、兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS” 。

　　4、兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS” 。

　　5、注意以下內(nèi)容 （1）三角形全等的判定條件中必須是三個元素，并且一定有一組邊對應(yīng)相等。12（2）三邊對應(yīng)相等，兩邊及夾角對應(yīng)相等，一邊及任意兩角對應(yīng)相等，這樣的兩個三角形全等。

（3）兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等不能判定兩三角形全等。

　　6、熟練運用以下內(nèi)容 （1）熟練運用三角形判定條件，是解決此類題的關(guān)鍵。

（2）已知“SS” ，可考慮 A：第三邊，即“SSS” ；B：夾角，即“SAS” 。

（3）已知“SA” ，可考慮 A：另一角，即“AAS”或“ASA” ；B：夾角的另一邊，即“SAS” 。

（4）已知“AA” ，可考慮 A：任意一邊，即“AAS”或“ASA” 。

　　7、三角形的穩(wěn)定性：根據(jù)三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三邊的長度確定了，這個三角 形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

　　九、作三角形 1、作圖題的一般步驟： （1）已知，即將條件具體化； （2）求作，即具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件； （3）分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖） ； （4）作法，即根據(jù)分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過程； （5）證明，即驗證所作圖形的正確性（通常省略不寫） 。

　　2、熟練以下三種三角形的作法及依據(jù)。

（1）已知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。

（2）已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。

（3）已知三角形的三邊，作三角形。

　　十、利用三角形全等測距離 1、利用三角形全等測距離，實際上是利用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運用全等三角形的 性質(zhì)（對應(yīng)邊相等） ，把較難測量或無法測量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測量的線段的長度，從而得 到被測距離。

　　2、運用全等三角形解決實際問題的步驟： （1）先明確實際問題應(yīng)該用哪些幾何知道解決； （2）根據(jù)實際問題抽象出幾何圖形； （3）結(jié)合圖形和題意分析已知條件； （4）找到解決問題的途徑。

　　十一、直角三角形全等的條件 1、 在直角三角形中， 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等， 簡寫成 “斜邊、 直角邊” “HL” 或 。

　　2、 “HL”是直角三角形特有的判定條件，對非直角三角形是不成立的； 3、書寫時要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“Rt”字樣。

　　十二、分析-綜合法 1、我們在平時解幾何題時，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。

　　2、綜合法：從問題的條件出發(fā)，通過分析條件，依據(jù)所學(xué)知識，逐步探索，直到得出問題的結(jié)論。

　　3、分析法：從問題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件。

　　4、在具體解題中，通常是兩種方法結(jié)合起來使用，既運用綜合法，又運用分析法。13第六章變量之間的關(guān)系自變量 變量的概念 因變量 變量之間的關(guān)系 變量的表達方法 表格法 關(guān)系式法 速度時間圖象 圖象法 路程時間圖象一、變量、自變量、因變量 1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。

　　2、如果一個變量 y 隨另一個變量 x 的變化而變化，則把 x 叫做自變量，y 叫做因變量。

　　3、自變量與因變量的確定： （1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。

（2）自變量是主動發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。

（3）利用具體情境來體會兩者的依存關(guān)系。

　　二、表格 1、表格是表達、反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關(guān)系。

（1）首先要明確表格中所列的是哪兩個量； （2）分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量； （3）結(jié)合實際情境理解它們之間的關(guān)系。

　　2、繪制表格表示兩個變量之間關(guān)系 （1）列表時首先要確定各行、各列的欄目； （2）一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量； （3）寫出欄目名稱，有時還根據(jù)問題內(nèi)容寫上單位； （4）在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行對應(yīng)列出因變量的各個變化取值。

（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應(yīng)按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間 的關(guān)系。

　　三、關(guān)系式 1、用關(guān)系式表示因變量與自變量之間的關(guān)系時，通常是用含有自變量（用字母表示）的代數(shù)式表示因變 量（也用字母表示） ，這樣的數(shù)學(xué)式子（等式）叫做關(guān)系式。

　　2、關(guān)系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨寫在等號的左邊。

　　3、求兩個變量之間關(guān)系式的途徑： （1）將自變量和因變量看作兩個未知數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫成關(guān)系式的形式。

（2）根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關(guān)系式； （3）根據(jù)實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系式； （4）根據(jù)圖象寫出與之對應(yīng)的變量之間的關(guān)系式。

　　4、關(guān)系式的應(yīng)用： （1）利用關(guān)系式能根據(jù)任何一個自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值；14（2）同樣也可以根據(jù)任何一個因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值； （3）根據(jù)關(guān)系式求值的實質(zhì)就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數(shù)式的值（求因變量的值） 。

　　四、圖象 1、圖象是刻畫變量之間關(guān)系的又一重要方法，其特點是非常直觀、形象。

　　2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。

　　3、用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸（又稱橫軸）上的點表示自變量，用豎直方向 的數(shù)軸（又稱縱軸）上的點表示因變量。

　　4、圖象上的點： （1）對于某個具體圖象上的點，過該點作橫軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點自變量的取值； （2）過該點作縱軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點相應(yīng)因變量的值。

（3）由自變量的值求對應(yīng)的因變量的值時，可在橫軸上找到表示自變量的值的點，過這個點作橫軸的垂 線與圖象交于某點，再過交點作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數(shù)據(jù)即為因變量的相應(yīng)值。

（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應(yīng)的自變量的值。

　　5、圖象理解 （1）理解圖象上某一個點的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個變量； （2）看該點所對應(yīng)的橫軸、縱軸的位置（數(shù)據(jù)） ； （3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。

　　五、速度圖象 1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間； 2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義： （1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加； （2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止； （3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。

　　六、路程圖象 1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示路程，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間； 2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義： （1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠離起點（或已知定點） ； （2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表靜止； （3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運動返回起點（或已知定點） 。

　　七、三種變量之間關(guān)系的表達方法與特點： 表達方法 表格法 關(guān)系式法 圖象法 特 點 多個變量可以同時出現(xiàn)在同一張表格中 準確地反映了因變量與自變量的數(shù)值關(guān)系 直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢15第七章 生活中的軸對稱 軸對稱圖形 軸對稱分類 軸對稱 角平分線 線段的垂直平分線 等腰三角形 等邊三角形 軸對稱的性質(zhì) 軸對稱的性質(zhì) 鏡面對稱的性質(zhì) 圖案設(shè)計 軸對稱的應(yīng)用 鑲邊與剪紙軸對稱實例生活中的軸對稱一、軸對稱圖形 1、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這 條直線叫做對稱軸。

　　2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點： （1）指一個圖形； （2）存在一條直線（對稱軸） ； （3）圖形被直線分成的兩部分互相重合； （4）軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的則存在多條； （5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形； 二、軸對稱 1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就 是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關(guān)于某條直線對稱。

　　2、理解軸對稱應(yīng)注意： （1）有兩個圖形； （2）沿某一條直線對折后能夠完全重合； （3）軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形； （4）對稱軸是直線而不是線段； 軸對稱圖形 區(qū)別 共同點 是一個圖形自身的對稱特性 對稱軸可能不止一條 沿某條直線對折后都能夠互相重合 如果軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形； 如果把軸對稱圖形分成兩部分（兩個圖形） ，那么這兩部分關(guān)于這條對稱軸成軸對稱。

　　三、角平分線的性質(zhì)16軸對稱 是兩個圖形之間的對稱關(guān)系 對稱軸只有一條1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。

　　2、性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

　　四、線段的垂直平分線 1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。

　　2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。

　　五、等腰三角形 1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形； 2、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊； 3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角； 4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。

　　5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外） ，其底邊上的高或頂角的平分線，或底邊 上的中線所在的直線都是它的對稱軸。

　　6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。

　　7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一” 。

　　8、 “三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。

　　9、 “三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并非其他。

　　10、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角” 。

　　11、判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法： （1）兩條邊相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等，簡寫為“等角對等邊” 。

　　六、等邊三角形 1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。

　　2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。

　　3、等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。

　　0 4、等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都是 60 。

　　圖形 定義 性質(zhì)等腰三 角形有兩邊 相等的 三角形1、兩腰相等，兩底角相等。

　　0 0 2、頂角=180 -2×底角。底角=（180 -頂角）/2。

　　3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三線合一” 。

　　4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。等 邊 三 角形（又 叫 正 三 角形）三邊都 相等的 三角形1、 三邊都相等， 三內(nèi)角相等， 且每個內(nèi)角都等于 60 。

　　2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。

　　3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。0七、軸對稱的性質(zhì) 1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點稱為對應(yīng)點（對稱點） ，能夠重合的線段稱為對應(yīng)線段，能 夠重合的角稱為對應(yīng)角。

　　2、關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。173、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。

　　4、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段、對應(yīng)角都相等。

　　5、類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)有： （1）軸對稱圖形對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。

（2）軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等。

（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求作軸對稱圖形的對應(yīng)點、對應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補全軸對稱圖形。

　　八、圖案設(shè)計 1、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形，實際上是軸對稱圖形的性質(zhì)的靈活運用。

　　2、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形的步驟: （1）首先要確定一個簡單平面圖形上的幾個特殊點； （2）然后利用軸對稱的性質(zhì)，作出其相應(yīng)的對稱點（對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分） 。

（3）分別連接其對稱點，則可得其對稱圖形。

　　3、表達方式（以點 M 為例） ： （1）過點 M 作對稱軸 l 的垂線，垂足為 A； ’ ’ ’ （2）延長 MA 到 M 到，使 M A=MA，則點 M 就是點 M 關(guān)于直線 l 的對稱點。

’ （3）在復(fù)雜的作圖中，也可以敘述為：作出點 M 關(guān)于直線 l 的對稱點 M . 4、在運用軸對稱設(shè)計圖案時，就注意以下幾點： （1）要有明確的設(shè)計意圖； （2）創(chuàng)意要新穎獨特； （3）設(shè)計出的圖案要符合要求； （4）能清楚地表達自己的設(shè)計意圖和制作過程。

　　5、圖案的設(shè)計除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。

　　6、設(shè)計的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時代特色。

　　九、鏡面對稱 1、鏡面對稱的有關(guān)性質(zhì)： （1）任何一個平面圖形（物體）在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個軸對稱圖形在鏡子中的像 仍是軸對稱圖形。

（2）若一個平面圖形正對鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中的像是其右（左）側(cè)； （3）若一個平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面； 2、關(guān)于數(shù)字 0、1、3、8 在鏡面中像的兩個結(jié)論： （1）如果寫數(shù)字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的 0、1、3、8 所成的像與原來的數(shù)字完全一樣。

（2）如果紙條正對鏡面擺放，則紙條上寫的 0、1、8 這三個數(shù)字在鏡中的像和原來的數(shù)字完全一樣。

　　3、像與物體到鏡面的距離相等。

　　4、像與物體的對應(yīng)點連線被鏡面垂直平分。

　　5、由鏡中的時間來判斷真實時間是近幾年來中考的一個熱點。時間的表示有用一般數(shù)字表示的，也有直 接用鐘表來表示的。在判斷時，大家要注意靈活利用鏡面對稱的知識來加以解決。18

北師大初一下冊數(shù)學(xué)知識框架2

　　數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽第二章平行線與相交線余角 余角補角 補角 角 兩線相交 對頂角 同位角 內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角平 行 線 與 相 交 線三線八角平行線的判定 平行線 平行線的性質(zhì) 尺規(guī)作圖一、平行線與相交線 平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

　　若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線。

　　二、余角與補角 1、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。

　　2、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其中一個角是另一個角的補角。

　　3、互余和互補是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān)。

　　4、余角和補角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。

　　5、余角和補角的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言可表示為： （1） ?1 ? ?2 ? 900 (1800 ), ?1 ? ?3 ? 900 (1800 ), 則 ?2 ? ?3 (同角的余角（或補角）相等)。

（2）?1 ? ?2 ? 90 (180 ), ?3 ? ?4 ? 90 (180 ), 且 ?1 ? ?4, 則 ?2 ? ?3 (等角的余角（或補角） 相等)。0 0 0 06、余角和補角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個重要方法。

　　三、對頂角 1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。

　　2、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。

　　3、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

　　4、對頂角的性質(zhì)在今后的推理說明中應(yīng)用非常廣泛，它是證明兩個角相等的依據(jù)及重要橋梁。

　　5、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角。

　　四、垂線及其性質(zhì) 1、垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。1數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽2、垂線的性質(zhì)： 性質(zhì) 1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

　　性質(zhì) 2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

　　五、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 1、兩條直線被第三條直線所截，形成了 8 個角。

　　2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。

　　3、內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

　　4、同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)角。

　　5、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無關(guān)，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系。

　　六、六類角 1、補角、余角、對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角六類角都是對兩角來說的。

　　2、余角、補角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無關(guān)。

　　3、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角只有位置上的關(guān)系，與其數(shù)量無關(guān)。

　　4、對頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。

　　七、平行線的判定方法 1、同位角相等，兩直線平行。

　　2、內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

　　3、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

　　4、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。

　　5、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。

　　八、平行線的性質(zhì) 1、兩直線平行，同位角相等。

　　2、兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

　　3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

　　4、平行線的判定與性質(zhì)具備互逆的特征，其關(guān)系如下：在應(yīng)用時要正確區(qū)分積極向上的題設(shè)和結(jié)論。

　　九、尺規(guī)作線段和角 1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。

　　2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。

　　3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是： （1）在兩點間連接一條線段； （2）將線段向兩方延長。

　　4、尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是： （1）以任意一點為圓心，任意長為半徑作一個圓； （2）以任意一點為圓心，任意長為半徑畫一段?。?5、熟練掌握以下作圖語言： （1）作射線××；2數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽（2）在射線上截取××=××； （3）在射線××上依次截取××=××=××； （4）以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×； （5）分別以點×、點×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點×； （6）過點×和點×畫直線××（或畫射線××） ； （7）在∠×××的外部（或內(nèi)部）畫∠×××=∠×××； 6、在作較復(fù)雜圖形時，涉及基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了。

（1）畫線段××=××； （2）畫∠×××=∠×××；第五章一、知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相交線與平行線二、知識要點1 、在同一平面 內(nèi)， 兩條直線的 位 置 關(guān) 系 有 兩 種： 相交? ?相交線 ? ? ?相交線?垂線 ?同位角、內(nèi)錯角、同旁 ? 內(nèi)角 ? ? ? ?平行線：在同一平面內(nèi) ，不相交的兩條直線叫 平行線 ? ? ? __________ ________ ?定義 : __________ ? ? ? ? 線平行 ?平行線及其判定? ?判定1?。和唤窍嗟龋瑑芍?? ? ? 線平行 ?平行線的判定?判定2 　：內(nèi)錯角相等，兩直 ? ? ? ? 相交線與平行線? 判定3?。和詢?nèi)角互補，兩 直線平行 ? ? ? ? 判定 4 ?。浩叫杏谕粭l直線 的兩直線平行 ? ? ? ? ? ?性質(zhì)1：兩直線平行，同位角 相等 ? ? ? 相等 ?性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角 ? ? 角互補 ?平行線的性質(zhì)?性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi) ?性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩直線平行 ? ? ? ? ? ?命題、定理 ? ? ?平移和 平行 ， 垂 直 是相交的一 種特殊情況。

　　2 、在同一平面 內(nèi)， 不相交的兩 條直線叫 平行 線 。如果兩條直線只有 一個 公共點，稱這兩條直線相交；如果兩條直線 沒有 公共點，稱這兩條直線平行。

　　3、兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有 公共頂點 且有 一條公共邊 的兩個角是 鄰補角。鄰補角的性質(zhì)： 鄰補角互補 。如圖 1 所示， 與 + 互為鄰補角。

= 180°。

+ = 180°； + 與 互為鄰補角， = 180°； + = 180°；4、兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的 反向延長線 ，這樣的兩個角互為 對頂角 。

　　對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。如圖 1 所示， = 。

　　與 互為對頂角。

= ；5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個是 直角或 90°時，稱這兩條直線互相垂直， 其中一條叫做另一條的垂線。如圖 2 所示，當 = 90°時， ⊥ 。

　　a b 2 1 34 圖2 3數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽垂線的性質(zhì)： 性質(zhì) 1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

　　性質(zhì) 2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

　　性質(zhì) 3：如圖 2 所示，當 a ⊥ b 時， = = = = 90°。點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離。

　　6、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角基本特征： ①在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側(cè) ，這樣 a 的兩個角叫 同位角 。圖 3 中，共有 與 是同位角； 與 對同位角： 是同位角； 與 與 是同位角； 是同位角。

　　圖3 對內(nèi)錯角： c 32 41 7 b6 85②在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側(cè) ，這樣的兩個角叫 內(nèi)錯角 。圖 3 中，共有 與 是內(nèi)錯角； 與 是內(nèi)錯角。③在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩個角叫 同旁內(nèi)角 。圖 3 中，共有 旁內(nèi)角： 與 是同旁內(nèi)角； 與 是同旁內(nèi)角。對同7、平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

　　平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

　　平行線的性質(zhì)： 性質(zhì) 1：兩直線平行，同位角相等。如圖 4 所示，如果 a∥b， 則 = ； = ； = ； = 。

= + ； c a 2 3 4 1 b 圖4 = = 180°； 。76 85性質(zhì) 2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。如圖 4 所示，如果 a∥b，則 性質(zhì) 3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。如圖 4 所示，如果 a∥b，則+= 180°。

∥ c = a 。

　　2 3 4 1 b性質(zhì) 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果 a∥b，a∥c，則 8、平行線的判定： 判定 1：同位角相等，兩直線平行。如圖 5 所示，如果 或 = 或 = 或 =6 7 8 5，則 a∥b。

= + 或 =圖5 ，則 a∥b 。判定 2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。如圖 5 所示，如果 判定 3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。如圖 5 所示，如果= 180°；+= 180°，則 a∥b。

∥ 。判定 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果 a∥b，a∥c，則9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設(shè) 和 結(jié)論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。如果題設(shè)成立，那么結(jié) 4數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽論 一定 成立，這樣的命題叫 真命題 ；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性 是經(jīng)過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。

　　10、平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

　　平移后，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到 的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。

　　平移性質(zhì)：平移前后兩個圖形中①對應(yīng)點的連線平行且相等；②對應(yīng)線段相等；③對應(yīng)角相等。第八章一、知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)二元一次方程組二、知識要點? ?定義 ?二元一次方程? ?方程的解 ? ? 定義 ?二元一次方程組? ? ? ?方程組的解 ? 二元一次方程組? ?代入法 ?二元一次方程組的解法? ?加減法 ? ?二元一次方程組與實際問題 ? ? ? ?三元一次方程組解法1、含有未知數(shù)的等式叫方程，使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解。

　　2、方程含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1，這樣的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式為ax ? by ? c ( a、b、c 為常數(shù)，并且 a ? 0， b ? 0 )。使二元一次方程的左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫二元一次方程的解，一個二元一次方程一般有無數(shù)組解。

　　3、方程組含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1，這樣的方程組叫二元一次方程組。使二元一次方程組每個 方程的左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫二元一次方程組的解，一個二元一次方程組一般有一個解。

　　4、用代入法解二元一次方程組的一般步驟：觀察方程組中，是否有用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)，如果有，則 將它直接代入另一個方程中；如果沒有，則將其中一個方程變形，用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)；再將表示出 的未知數(shù)代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，求出另一個未知數(shù)的值，將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一 個方程，求出另外一個未知數(shù)的值。

　　5、用加減法解二元一次方程組的一般步驟： （1）方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)， 就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)； （2）把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一 個未知數(shù)； （3）解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值； （4）將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個方程，求 出另外一個未知數(shù)的值，從而得到原方程組的解。

　　6、解三元一次方程組的一般步驟：①觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點，確定先消去哪個未知數(shù)；②利用代入法或加減法， 把方程組中的一個方程，與另外兩個方程分別組成兩組，消去同一個未知數(shù)，得到一個關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程 組；③解這個二元一次方程組，求得兩個未知數(shù)的值；④將這兩個未知數(shù)的值代入原方程組中較簡單的一個方程中，求出第 三個未知數(shù)的值，從而得到原三元一次方程組的解。知識點一：二元一次方程的有關(guān)概念二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1? 的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的解集：適合一個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個5數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽解．對于任何一個二元一次方程，令其中一個未知數(shù)取任意一個值，都能求出與它對應(yīng)的另一個未知數(shù)的 值．因此，任何一個二元一次方程都有無數(shù)多個解．由這些解組成的集合，叫做這個二元一次方程的解集． 二元一次方程組及其解：兩個二元一次方程合在一起就組成了一個二元一次方程組．一般地，能使二 元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解．1、已知方程：①2x+4 =3；②5xy-1=0；③2x+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，? 其中是二元一次方程的有___ _____________． （填序號即可） 2、指出下列方程那些是二元一次方程？并說明理由。

（1）3x+y=z+1 ( ) ( ) ）2 ?1 ? 3 ③ a?b(2) x(y+1)=6()(3) 2x(3-x)=x2-3(x2+y)5 ? 2n ? 12 ① m3、下列方程中，是二元一次方程的有（7 11 y ? z ? ?a 6 ② 4④ mn+m=74、寫出一組二元一次方程 x＋2y=2 的解（ ） 5、方程（a＋2）x +(b-1)y = 3 是二元一次方程，試求 a、 b 的取值范圍.6、求二元一次方程 3x＋2y＝19 的正整數(shù)解.7、已知 x＝2，y＝2 是方程 ax－2y＝4 的解，則 a＝________. 8、已知方程 x－2y＝8，用含 x 的式子表示 y，則 y =_________________，用含 y 的式子表 示 x，則 x =________________ 9、若 x、y 互為相反數(shù)，且 x＋3y＝4，,3x－2y＝_____________.知識點二：二元一次方程組的解法代入消元法：在二元一次方程組中選取一個適當?shù)姆匠?，將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表 示出來，再代入另一個方程，消去一個未知數(shù)得到一元一次方程，求出這個未知數(shù)的值，進而求得這個二 元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法． 加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或6數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽相差， 從而消去這個未知數(shù)， 得到一個一元一次方程， 這種求二元一次方程組的解的方法叫做加減消元法， 簡稱加減法． 1.用代入法解方程組 ? 程 ，求得? 2 x ? y ? ?3⑴ ，較簡便的解法步驟是：先把方程 ⑵ ?3x ? 7 y ? 10的值；變成，再代入方的值。然后再求2、解下列方程組：?3x ? 5 y ? 8 （1） ? 用代入法 ?2 x ? y ? 1?4 x ? 5 y ? 27 2)、 ? ?10 x ? 3 y ? 20用加減法4.已知 | a ? b ? 2 | ?(b ? 3)2 ? 0 ,那么 ab ? ______? x ? 3m ? 1 5、若 ? ? y ? 2m ? 2，是方程組 4 x ? 3 y ? 10 的一組解，求 m 的值。6、已知方程組 ?? ax ? by ? 4 ? ax ? by ? 2 與? 的解相同，求 a ? b ? . ?2 x ? 3 y ? 4 ?4 x ? 3 y ? 27、若方程組 ??x ? y ? 2 的解 x 與 y 相等，求 k 的值． ( k ? 1) x ? ( k ? 1) y ? 4 ?8、已知代數(shù)式 x ＋bx＋c，當 x＝－3 時，它的值為 9，當 x＝2 時，它的值為 14，當 x＝－8 時，求代數(shù) 式的值。72數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽知識點三：二元一次方程組的應(yīng)用列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即： （1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個 未知數(shù)； （2）找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系； （3）列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組； （4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值； （5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案. 一、數(shù)字問題 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大 9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位 數(shù)比原兩位數(shù)大 27，求這個兩位數(shù)．二、利潤問題 一件商品如果按定價打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，問此商品的定價是 多少？三、配套問題 例 3 某廠共有 120 名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓 25 個或螺母 20 個，如果一個螺栓與兩個 螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成 最多套？8數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽四、行程問題 甲、乙兩人在東西方向的公路上行走，甲在乙的西邊 300 米，若甲、乙兩人同時向東走 30 分鐘后，甲正 好追上乙；若甲、乙兩人同時相向而行，2 分鐘后相遇，問甲、乙兩人的速度是多少？五、貨運問題 典例 5 某船的載重量為 300 噸，容積為 1200 立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸 體積為 6 立方米，乙種貨物每噸的體積為 2 立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng) 各裝多少噸？六、工程問題 某牛奶加工廠現(xiàn)有 100 噸鮮牛奶準備加工后上市銷售，該工廠的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鮮 奶 10 噸，如果制成酸奶每天可加工鮮奶 30 噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時進行，受氣溫條件限 制，這批牛奶必須在 4 天內(nèi)全部加工完畢．該廠應(yīng)安排幾天制奶片，幾天制酸奶，才能使任務(wù)在 4 天內(nèi)正 好完成？如果制成奶片銷售每噸奶可獲利 2 000 元，制成酸奶銷售每噸奶可獲利 1 200 元，那么該廠出售 這些加工后的鮮牛奶共可獲利多少元？9數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽知識點四：解三元一次方程組1．若 2xm+n 1－3ym－ －n－3+5z=0 是關(guān)于 x，y、z 的三元一次方程，則 m=_____，n=_____．七年級下數(shù)學(xué) 整式的乘除復(fù)習(xí)【知識點歸納】 1.單項式的概念： 由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因 數(shù)叫做單項式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。

　　如： ? 2a bc 的 系數(shù)為 ? 2 ，次數(shù)為 4，單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是 0。22.多項式： 幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。

　　如： a ? 2ab ? x ? 1，項有 a 、 ? 2ab 、 x 、1，二次項為 a 、 ? 2ab ，一次項為 x ，常數(shù)項為 1，2 2 2各項次數(shù)分別為 2，2，1，0，系數(shù)分別為 1，-2，1，1，叫二次四項式。

　　3、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

　　注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。

　　4、多項式按字母的升（降）冪排列：10數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽如： x 3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? 2 y 3 ? 1 按 x 的升冪排列： ? 1 ? 2 y 3 ? xy ? 2x 2 y 2 ? x 3 按 x 的降冪排列： x 3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? 2 y 3 ? 1 按 y 的升冪排列： ? 1 ? x 3 ? xy ? 2x 2 y 2 ? 2 y 3 按 y 的降冪排列： ? 2 y 3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? x 3 ? 1 5、同底數(shù)冪的乘法法則： a ? a ? am n m? n（ m, n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。

　　如： (a ? b) 2 ? (a ? b) 3 ? (a ? b) 5 6、冪的乘方法則： (a m ) n ? a mn （ m, n 都是正整數(shù)） 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如： (?35 ) 2 ? 310 冪的乘方法則可以逆用：即 a mn ? (a m ) n ? (a n ) m 如： 46 ? (4 2 ) 3 ? (43 ) 2 7、積的乘方法則： (ab) n ? a n b n （ n 是正整數(shù)） 積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。

　　如： （ ? 2x y z) = (?2) ? ( x ) ? ( y ) ? z ? ?32x y z3 2 5 5 3 5 2 5 5 15 10 58、同底數(shù)冪的除法法則： a ? a ? am nm? n（ a ? 0, m, n 都是正整數(shù)，且 m ? n)4 3 3 3同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如： (ab) ? (ab) ? (ab) ? a b 9、零指數(shù)和負指數(shù)；a 0 ? 1 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于 1。11數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽a?p ?如： 21 （ a ? 0, p 是正整數(shù)） ，即一個不等于零的數(shù)的 ? p 次方等于這個數(shù)的 p 次方的倒數(shù)。

　　ap?31 1 ? ( )3 ? 2 8?610、科學(xué)記數(shù)法：如：0.00000721=7.21 ? 10 （第一個不為零的數(shù)前面有幾個零就是負幾次方） 11、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式 里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

　　注意： ①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。

②相同字母相乘，運用同底數(shù)冪的乘法法則。

③只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式 ④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。

⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。

　　如： ? 2 x 2 y 3 z ? 3xy ? 12、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加， 即 m(a ? b ? c) ? ma ? mb ? mc ( m, a, b, c 都是單項式) 注意： ①積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

③在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。] 如： 2 x(2 x ? 3 y) ? 3 y( x ? y) 13、多項式與多項式相乘的法則； 多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。12數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽如：(3a ? 2b)(a ? 3b) ( x ? 5)(x ? 6)14、平方差公式： (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 注意平方差公式展開只有兩項 公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。右邊 是相同項的平方減去相反項的平方。

　　如： ( x ? y ? z )(x ? y ? z ) 15、完全平方公式： (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 公式特征：左邊是一個二項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方， 而另一項是左邊二項式中兩項乘積的 2 倍。

　　注意：a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? 2ab (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab (?a ? b) 2 ? [?(a ? b)]2 ? (a ? b) 2 (?a ? b) 2 ? [?(a ? b)]2 ? (a ? b) 2完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的 2 倍。

　　16、三項式的完全平方公式：(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc17、單項式的除法法則： 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它 的指數(shù)作為商的一個因式。

　　注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除） ，然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則 連同它的指數(shù)作為商的一個因式 如： ? 7a b m ? 49a b2 4 213數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽18、多項式除以單項式的法則： 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。

　　即： (am ? bm ? cm) ? m ? am ? m ? bm ? m ? cm ? m ? a ? b ? c . 【歷年考點分析】 整式的運算是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考中的一個重點內(nèi)容.和整式有關(guān)的考點主要涉及以下幾個方面： 1.冪的運算;2.整式的乘法運算;3.因式分解.具體分析如下: 考點 1:冪的有關(guān)運算 例 1 下列運算中,計算結(jié)果正確的是（ (A)a4·a3=a12 (B)a6÷a3=a2 ）(C)(a3)2=a5 (D)(-ab2)2=a2b4.分析:冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法運算、冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法運算。冪的運算是整 式乘除運算的基礎(chǔ)。準確解決冪的有關(guān)運算的關(guān)鍵是熟練理解各種運算的法則。

　　解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則知 a4·a3=a4+3=a7，所以（A）錯；根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則知 a6÷ a3=a6-3=a3。所以（B）錯；根據(jù)冪的乘方運算法則知(a3)2=a3 2=a6，所以（C）錯；所以選（D） ?！量键c 2:整式的乘法運算 例 2 計算：(a2＋4)(a-3)-a(a2-3a-3). 分析:本題是一道整式乘法綜合計算題,解題時應(yīng)先算乘法,然后再算加減,,注意其去括號時符號的變化. 解：(a2＋4)(a-3)-a(a2-3a-3) =a3-3a2＋4a-12-a3＋3a2＋3a =7a－12. 例 3 如圖 1 所示，用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下圖：則第 n 個圖形中需用 黑色瓷磚______塊.（用含 n 的代數(shù)式表示）.14數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽（1） 圖1（2）（3）??（n）分析:觀察發(fā)現(xiàn),第 1 個圖形有黑色瓷磚 3×5-3×1(塊);第 2 個圖形有黑色瓷磚 4×6-2×4(塊);第 3 個圖 形有黑色瓷磚 5×7-3×5(塊),依次類推,第 n 個圖形有(n+4)(n+2)-n(n+2)塊. 解:(n+4)(n+2)-n(n+2)=n2+4n+2n+8-n2-2n=4n+8. 考點 3:乘法公式 例 5 先化簡，再求值:(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy).其中 x=2,y=1 . 2分析:本題是一道綜合計算題,主要在于乘法公式的應(yīng)用,化簡時還有注意去括號符號的變化. 解: (x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy)=x2-y2+x2-2xy+y2-x2+3xy=x2+xy. 當 x=2,y=1 1 時,原式=22+2× =4+1=5. 2 2.例 6 若整式 4x 2 ? Q ? 1 是一個整式的平方，請你寫滿足條件的單項式 Q 是分析：本題是一道結(jié)論開放題，由于整式包括單項式和多項式，所以可分類討論可能出現(xiàn)的情況， 當 4x 2 ? Q ? 1 是一個單項式的平方時，Q=4x 或-4x 或 4x4；當 4x 2 ? Q ? 1 是一個單項式的平方時，Q=-1 或-4x2， 解:可填 4x 或-4x 或 4x4 或-4x2 或-1. 考點 4: 整式的除法運算 例 7 先化簡,再求值:[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中 x=3,y=1.5. 分析:本題的一道綜合計算題,首先要先算括號的,為了計算簡便,要注意乘法公式的使用,然后在進行 整式的除法運算,最后代入求值. 解: [(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x =(2x2-2xy)÷2x=x-y. 當 x=3,y=1.5 時,原式=3-1.5=1.5. 考點 6:因式分解15數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽例 8 觀察下列等式： 12+2×1=1×(1+2), 22+2×2=2×(2+2), 32+2×3=3×(3+2), ?? 則第 n 個式子可以表示為:_________. 分析:觀察已知各等式,可以發(fā)現(xiàn),等式的左邊是兩項,第 1 項是是從 1 開始的整數(shù)的平方,第 2 項是 2 與這 個整數(shù)的乘積,所以左邊可用一般式子表示為 n2+2n(n≥1 的整數(shù)),每一項等式的右邊是這個整數(shù)乘以這個整 數(shù)與 2 的和的積,所以可用一般的式子表示為 n(n+2),所以第 n 個等式為 n2+2n=n(n+2).本題實際是因式分解 的變式應(yīng)用. 解: n2+2n=n(n+2).復(fù)習(xí)整式的乘除一. 教學(xué)目標和要求： 1. 熟練掌握整式乘除的有關(guān)概念和運算法則。

　　2. 熟練地、靈活地運用乘法公式和整式乘除法法則進行計算。

　　二. 教學(xué)重、難點： 1. 重點： 整式的乘除法 2. 難點：靈活運用乘法公式進行計算 三. 知識要點： 1. 知識結(jié)構(gòu)總結(jié)：2. 公式總結(jié)： （1）冪的運算性質(zhì)： ① ② ③ ④ （ ） （ （ （ （ 、 為正整數(shù)） 為正整數(shù)） 、 為正整數(shù)） 、 為正整數(shù)，且 ）（ ， 為正整數(shù)） （2）整式的乘法公式： ①16數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽② ③ 3. 科學(xué)記數(shù)法 ，其中 4. 思想方法總結(jié) （1）化歸方法 （2）整體代換的方法 （3）逆向變換的方法 5. 需注意的問題 （1）乘法公式作為多項式乘法的特殊形式，在今后學(xué)習(xí)中有著廣泛應(yīng)用，要注意這些公 式的結(jié)構(gòu)特點，以便正確使用公式。

（2）注意運算中的符號，區(qū)別 【典型例題】 ⒈冪的運算3 p3 ?與，，⑴ ⑷5 2 p 6?? 6ab ?? ?? a ?3 2(?6a 4b2 ) ? (?2a)2= =； ⑵4 3=7；⑶ ==?a ?2 3? a5⑸?2 ?10 ?? ?5?10 ??102.乘法公式 計算：⑴（2x+3）(3x-1) ⑵t2-(t+1)(t-5) ⑶ (3m-n)(n+3m)4 2 3 2 2 2 x y )? x y 5 5⑷ (a+2b)2⑸(3x-2y)2(? x3 y 2 ?⑹例, 計算:1、(a－2b)2－(a＋2b)22、(a＋b＋c)(a－b－c)2 練習(xí),1、 ?a ? b ? c?2、20082－2009×2007３、 (2a-b)2(b+2a)23.整式的乘除 [例 1] 已知 ，求 的值。[例 2] 已知，，求的值。[例 3]已知，求的值。17數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽[例 4] 已知，，求的值。例5已知a+b=5 ab=3 求a2 ? b2 , a ? b的值練習(xí) 1 若 am=10bn=5 求 2m+b3n2 已知a ?1 1 ? 1求a 2 ? 2 的值 a a3 己知 x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。七，小結(jié)：本節(jié)重點 符號語言， 運算法則， 公式,轉(zhuǎn)化，整體思想。因式分解(1) 3x ? 12x 3 (2) 9?a ? b? ? 16?a ? b?2 2(3) ? 3x 3 ? 12x 2 y ? 12xy 2(4) 4 x 2 ? 12x ? 9(5) ( x 2 ? 1) 2 ? 4x 2(6) m?x ? y ? ? x ? y2(7)12a2b(x－y)－4ab(y－x)(8)x2－11x＋24(9)x?－3xy＋2y?（10） m2 ? n2 ? 3m ? 3n（11） x2 ? 2xy ? y 2 ? 4(12)a2-b2+2bc-c218數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽小結(jié)：因式分解的基本方法： （提公因式法、公式法、十字相乘法） 對一個多項式進行因式分解，首先觀察此多項式是否有公因式可提，如果有，先要提取 公因式，如果沒有，則考慮能否利用公式法進行因式分解，一直分解到不能再分解為止。

（注 意：一般對于項數(shù)超過三項的多項式，在沒有公因式可提的情況下，必須先進行適當分組， 再用提公因式法和公式法進行分解。

）【模擬試題】 一. 填空： 1. 計算 2. 已知 3. 4. （ 為偶數(shù)） ， ，則5. 0.00010490 用科學(xué)記數(shù)法表示為 6. 7. 8. 9. 10. 若 二. 選擇題： 1. 若 A. 4 2. 如果 A. 3. A. B. ， B. 5 ，則 C. 8 （ D. 16 ） D. ） D. 2 整除，那么整數(shù) D. 的值為（ ）19，那么），那么 =（ C.所得結(jié)果是（ B. C. 能被 C.4. 已知 為正整數(shù)，若 A. 5. 要使 B.的取值范圍是（）成為一個完全平方式，則數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽A.B.C.D. ）6. 下列各式能用平方差公式計算的是（ A. C. 7. 下列計算不正確的是（ A. C. 8. A. C. 三. 解答題： 1. 計算： （1） 為有理數(shù)，那么 與 B. B. D. ） B. D.的大小關(guān)系為（）D. 前面三種答案都可能（2）（3）（ 為正整數(shù)）（4）2. 化簡求值： 已知 ，求 的值。4. 若，求的值。20數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽5. 已知，求的值。第六章因式分解知識點回顧 1、 因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。

　　因式分解和整式乘法互為逆運算 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) （2）運用公式法： 平方差公式： a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) ； 完全平方公式： a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 （3）十字相乘法： x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)(x ? b) （4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。

（5）運用求根公式法：若 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的兩個根是 x1 、 x2 ，則有：ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )因式分解的一般步驟： （1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法； （3）對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考慮用分組分解法 考點一、因式分解的概念 因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。

　　因式分解和整式乘法互為逆運算 1、下列從左到右是因式分解的是（ ） 2 2 2 A. x(a-b)=ax-bx B. x -1+y =(x-1)(x+1)+y 2 C. x -1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 2 2、若 4a ? kab ? 9b 可以因式分解為 (2a ? 3b) ，則 k 的值為______2 3、已知 a 為正整數(shù)，試判斷 a ? a 是奇數(shù)還是偶數(shù)？2 4、已知關(guān)于 x 的二次三項式 x ? mx ? n 有一個因式 ( x ? 5) ，且 m+n=17，試求 m，n 的值21數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽考點二提取公因式法提取公因式法： ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) 公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式 找公因式的方法：1、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù) 2、字母是相同字母 3、字母的次數(shù)-相同字母的最低次數(shù) 習(xí)題 1、將多項式 20a3b2 ? 12a 2bc 分解因式，應(yīng)提取的公因式是（ A、ab2 B、 4a b）C、 4ab2 D、 4a bc2、已知 (19 x ? 31)(13x ? 17) ? (13x ? 17)(11x ? 23) 可因式分解為 (ax ? b)(8x ? c) ，其中 a，b，c 均為整 數(shù)，則 a+b+c 等于（ ） A、-12 B、-32 3、分解因式 （1） 6a(a ? b) ? 4b(a ? b)C、38D、72 （2） 3a( x ? y) ? 6b( y ? x)n n ?1 n ?2 （3） x ? x ? x（4） (?3)2011 ? (?3)20104、先分解因式，在計算求值 （1） (2 x ?1)2 (3x ? 2) ? (2 x ?1)(3x ? 2)2 ? x(1 ? 2 x)(3x ? 2) 其中 x=1.5（2） (a ? 2)(a ? a ? 1) ? (a ?1)(2 ? a)2 2其中 a=184 2 2 2 5、已知多項式 x ? 2012 x ? 2011x ? 2012 有一個因式為 x ? ax ? 1 ，另一個因式為 x ? bx ? 2012 ，求a+b 的值22數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽6、若 ab 2 ? 1 ? 0 ，用因式分解法求 ?ab(a2b5 ? ab3 ? b) 的值7、已知 a，b，c 滿足 ab ? a ? b ? bc ? b ? c ? ca ? c ? a ? 3 ，求 (a ?1)( b ?1)( c ? （a，b，c 都是 1) 的值。

　　正整數(shù)）考點三、用乘法公式分解因式 平方差公式 a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) 運用平方差公式分解的多項式是二次項，這兩項必須是平方式，且這兩項的符號相反 習(xí)題 1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A、 x 2 ? 4y2 2、分解下列因式2 （1） 3x ? 12B、 x 2 ? 2y2 ? 1C、 ? x2 ? 4 y 2D、 ? x2 ? 4 y 2（2） ( x ? 2)( x ? 4) ? x2 ? 4（3） ( x ? y)2 ? ( x ? y)2（4） x3 ? xy 2（5） (a ? b)2 ? 1（6） 9(a ? b)2 ? 30(a2 ? b2 ) ? 25(a ? b)2（7）2009 ? 2011 2010 2 ? 12 2 2 2 2 （8） 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ... ? 2 ? 13、若 n 為正整數(shù)，則 (2n ? 1) ? (2n ?1) 一定能被 8 整除2 223數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽完全平方式a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2運用完全平方公式分解的多項式是三項式，且符合首平方，尾平方，首尾兩倍中間放的特點，其中首尾兩 項的符號必須相同，中間項的符號正負均可。

　　習(xí)題 1、在多項式① x 2 ? 2xy ? y2 ② ?x 2 ? 2xy ? y2 ③ x 2 ? xy+y2 ④ 4x ? 1+4x 中，能用完全平方公式分2解因式的有（ A、①②） B、②③ C、①④ ） D、②④2、下列因式分解中，正確的有（ ①4a ? a 3b2 ? a(4 ? a 2b2 )②x 2 y ? 2xy ? xy ? xy(x ? 2)③?a ? ab ? ac ? ?a(a ? b ? c)④2 2 2 9abc ? 6a 2 b ? 3abc(3 ? 2a) ⑤ x 2 y ? xy 2 ? xy(x ? y) 3 3 3A、0 個 B、1 個 C、2 個 D、5 個 ）3、如果 x2 ? 2(m ? 3) x ? 16 是一個完全平方式，那么 m 應(yīng)為（ A、-5 4、分解因式2 (1) mx ? 4mx ? 2m 2 (2) 2a -4a ? 2B、3C、7D、7 或-1(3) ? x3? 2x 2 ? x（4） (2x ? 3)2 ? ( x ? 3)2（5） 8x2 y ? 8xy ? 2 y（6） (x -2xy) +2y (x -2xy)+y22224（7）4x －12xy+9y －4x+6y-3225、已知 a ? b ? 2 ， ab ? 2 ，求1 3 1 a b ? a 2b 2 ? ab3 2 26、證明代數(shù)式 x ? y ? 10 x ? 8 y ? 45 的值總是正數(shù)2 224數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽7、已知 a，b，c 分別是 ?ABC 的三邊長，試比較 (a 2 ? b2 ? c2 )2 與 4a 2b2 的大小8、把 x 2 ? 1加上一個單項式，使其成為一個完全平方式，有幾種方法，請列舉考點四、十字相乘法 1、 二次項系數(shù)為 1 的二次三項式 直接利用公式— x ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)(x ? b) 進行分解。

　　特點： （1）二次項系數(shù)是 1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積； （3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。2例題講解 1、分解因式： x 2 ? 5x ? 6 分析：將 6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于 5。

　　由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ， 從 中 可 以 發(fā) 現(xiàn) 只 有 2 × 3 的 分 解 適 合 ， 即 2+3=5 1 22 2 解： x ? 5x ? 6 = x ? (2 ? 3) x ? 2 ? 3 1 3 = ( x ? 2)(x ? 3) 1×2+1×3=5 用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。

　　2 例題講解 2、分解因式： x ? 7 x ? 6解：原式= x ? [(?1) ? (?6)]x ? (?1)(?6) = ( x ? 1)(x ? 6)21 -1 1 -6 （-1）+（-6）= -72 (3) x ? 4 x ? 5練習(xí) 2 分解因式(1) x ? 14x ? 242 (2) a ? 15a ? 362 (4) x ? x ? 2(5) y ? 2 y ? 1522 (6) x ? 10x ? 242 2、二次項系數(shù)不為 1 的二次三項式—— ax ? bx ? c a1 條件： （1） a ? a1a2（2） c ? c1c2 （3） b ? a1c2 ? a2 c1c1 a2 c2 b ? a1c2 ? a2 c125數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽分解結(jié)果： ax2 ? bx ? c = (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 例題講解 1、分解因式： 3x 2 ? 11x ? 10 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解： 3x 2 ? 11x ? 10 = ( x ? 2)(3x ? 5) 分解因式： （1） 5 x 2 ? 7 x ? 6 （2） 3x 2 ? 7 x ? 2（3） 10x 2 ? 17x ? 3（4） ? 6 y 2 ? 11y ? 103、二次項系數(shù)為 1 的齊次多項式 b2 例題講解、分解因式： a 2 ? 8ab ? 128 分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于 a 的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。

　　1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b2 b 2 = a 2 ? [8b ? (?16b)]a ? 8b ? (?16b) = (a ? 8b)(a ? 16b) 解： a ? 8ab ? 128分解因式(1) x 2 ? 3xy ? 2 y 2(2) m 2 ? 6m n ? 8n 2(3) a 2 ? ab ? 6b 24、二次項系數(shù)不為 1 的齊次多項式 例題講解2 x 2 ? 7 xy ? 6 y 2x 2 y 2 ? 3xy ? 2把 xy 看作一個整體 1 1 -1 -2 (-1)+(-2)= -31 -2y 2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y 解：原式= ( x ? 2 y)(2 x ? 3 y)解：原式= ( xy ? 1)(xy ? 2)分解因式： （1） 15x ? 7 xy ? 4 y222 2 （2） a x ? 6ax ? 8考點五、因式分解的應(yīng)用 1、分解下列因式2 （1） 3 x ? 3（2） x y ? 4 x3 226數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽（3） x3 ? 6 x 2 ? 27 x（4） a 2 ? b2 ? 2b ? 12、計算下列各題 （1） (4a2 ? 4a ? 1) ? (2a ? 1) （2） (a2 ? b2 ? c2 ? 2ab) ? (a ? b ? c)3、解方程 （1） 16( x ? 1)2 ? 25( x ? 2)2 （2） (2 x ? 3)2 ? (2 x ? 3)4、如果實數(shù) a ? b ，且10a ? b a ? 1 ? ，那么 a+b 的值等于________ 10b ? a b ? 15、1 ? 22 32 ? 42 52 ? 62 20092 ? 20102 20112 ? 20122 ? ? ? ...... ? ? 1? 2 3? 4 5?6 2009 ? 2010 2011 ? 20122 6、若多項式 x ? ax ? 12 能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù) a 的值（寫出 3個）7、先變形再求值 （1）已知 2 x ? y ?1 4 3 3 4 ， xy ? 4 ，求 2x y ? x y 的值 1627數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽（2）已知 3x 2 ? 8 x ? 2 ? 0 ，求 ?12 x 2 ? 32 x 的值8、已知 a、b、c 為三角形三邊，且滿足 a +b +c -ab-bc-ac=0 ，試說明該三角形是等邊三角形2229、兩個正整數(shù)的平方差等于 195，求出這兩個正整數(shù)10、閱讀下列因式分解的過程，回答問題1 ? x ? x( x ? 1) ? x( x ? 1)2 ? (1 ? x)[1 ? x ? x( x ? 1)] ? (1 ? x)2 (1 ? x) ? (1 ? x)3（1） 上述分解因式的方式是_________，共用了______次。2 0 1 2 （2） 若 分 解 1 ? x ? x( x ? 1 ) ? x ( x ? ，1則 1) ? . . ?x . x 2(? ) 需 上 述 方 法 ______ 次 ， 結(jié) 果 為_______________________ （3） 分解因式 1 ? x ? x( x ? 1) ? x( x ? 1)2 ? ... ? x( x ? 1)n （n 為正整數(shù)）七年級下數(shù)學(xué)《分式》知識點回顧復(fù)習(xí)按住 ctrl 鍵 點擊查看更多初中七年級資源 【知識總覽】 本章主要學(xué)習(xí)分式的概念，分式的基本性質(zhì)，分式的約分、通分，分式的運算（包括乘除、乘方、加 減運算） ，分式方程等內(nèi)容，分式是兩個整式相除的結(jié)果，且除式中含有字母，它類似于小學(xué)學(xué)過的分數(shù)， 分式的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，特別是利用分式方程解決實際問題，是重要的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，在 中考中，有關(guān)分式的內(nèi)容所占比例較大，應(yīng)重視本章知識的學(xué)習(xí)． 【知識點解讀】 1：分式的意義 例 1． （1）當 x 時，分式1 有意義． x ?1分析：要使分式有意義，只要分母不為 0 即可28數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽當 x≠-1 時，分式1 有意義． x ?1） D． ?1（2）已知分式 A．-1x ?1 的值是零，那么 x 的值是（ x ?1B ．0 C．1分析：討論分式的值為零需要同時考慮兩點： （1）分子為零； （2）分母不為零，當 x=1 時，分子等于 零，分母不為 0，所以，當 x=1 時，原分式的值等于零，故應(yīng)選 C．A 在什么情況下有意義、無意義和值為 0 的問題。當 B A A A B≠0 時，分式 有意義；當 B=0 時，分式 無意義；當 A=0 且 B≠0 時，分式 的值為 0 B B B評注：在分式的定義中，各地中考主要考查分式 2：分式的變形 例 2．下列各式與x? y 相等的是（ x? y）2x ? y ( x ? y) ? 5 x2 ? y 2 ( x ? y)2 （A） （B） （C） 2 ( x ? y ) （D） 2 2x ? y ( x ? y) ? 5 x ? y2 x ? y2解析：正確理解分式的基本性質(zhì)是分式變形的前提，本例選項（C）為原分式的分子、分母都乘以同 一個不等于 0 的整式（x-y）所得，故分式的值不變． 3：分式的化簡 分式的約分與通分是進行分式化簡的基礎(chǔ)，特別是在化簡過程中的運算順序、符號、運算律的應(yīng)用等 也必須注意的一個重要方面 x－1 1 例 2．化簡： ÷(x－ ). x x 分析：本題要先解決括號里面的，然后再進行計算 解：原式 ?1 x ?1 x2 ?1 x ?1 x ? ? ? ? x x x ( x ? 1)( x ? 1) x ? 1評注:分式的乘除法運算，就是將除法轉(zhuǎn)化為乘法再進行約分即可． 4：分式的求值例 4．先化簡代數(shù)式： ?2x ? 1 ? x ?1 ，然后選取一個使原式有意義的 x 的值代入求值． ? 2 ?? 2 ? x ? 1 x ?1 ? x ?1分析：本題先要將復(fù)雜的分式進行化簡，然后再取一個你喜歡的值代入（但你取的值必須使分式有意 義） ．29數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽解：化簡得： x ? 1，取 x=0 時，原式=1；2評注：本題化簡的結(jié)果是一個整式，如果不注意的話，學(xué)生很容易選 1 或-1 代入，這是不行的，因為 它們不能使分式有意義． 5：解分式方程 例 5．解分式方程：2x 3 ? ?2 x?2 x?2分析：解分式方程的關(guān)鍵是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程2 2 解： 2 x( x ? 2) ? 3( x ? 2) ? 2( x 2 ? 4) ， 2 x ? 4 x ? 3x ? 6 ? 2 x ? 8 ， ? 7 x ? ?2x?2 2 2 ，經(jīng)檢驗： x ? 是原方程的解，∴原方程的解為 x ? 7 7 7點評：解分式方程能考查學(xué)生的運算能力、合情推理等綜合能力，解分式方程要注意檢驗，否則容易 產(chǎn)生增根而致誤！ 6：分式方程的應(yīng)用 例 6．A 城市每立方米水的水費是 B 城市的 1.25 倍，同樣交水費 20 元，在 B 城市比在 A 城市可多用 2 立方米水，那么 A、B 兩城市每立方米水的水費各是多少元？ 分析：本題只要抓住兩城市的水相差 2 立方米的等量關(guān)系列方程即可 解：設(shè) B 城市每立方米水的水費為 x 元，則 A 城市為 1.25x 元20 20 ?2? , 解得 x = 2 經(jīng)檢驗 x = 2 是原方程的解。

　　1.25x = 2.5（元） x 1.25 x答：B城市每立方米水費2元，A城市每立方米2.5元。

　　點評：收繳水、電費的問題是貼近生活的熱點問題，是老百姓最關(guān)心的問題之一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用 性的理念 7：綜合決策 例 7．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在 30 天內(nèi)（含 30 天）完成．現(xiàn)有甲、乙兩個工程 隊，從這兩個工程隊資質(zhì)材料可知：若兩隊合做 24 天恰好完成；若兩隊合做 18 天后，甲工程隊再單獨做 10 天，也恰好完成．請問： （1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需多少天？ （2）已知甲工程隊每天的施工費用為 0．6 萬元，乙工程隊每天的施工費用為 0．35 萬元，要使該工 程的施工費用最低，甲、乙兩隊各做多少天（同時施工即為合做）？最低施工費用 解： （1）設(shè)：甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需 x 天、y 天，30數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽? 24 24 ? x ? y ? 1, ? 由題意得方程組： ? ， 18 18 10 ? ? ? ?1 ? ?x y x解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程隊每天的施工費用為 0．6 萬元，乙工程隊每天的施工費用為 0．35 萬元，根據(jù)題意，要 使工程在規(guī)定時間內(nèi)完成且施工費用最低， 只要使乙工程隊施工 30 天， 其余工程由甲工程隊完成． 由 （1） 知，乙工程隊 30 天完成工程的30 1 ? ， 60 2∴甲工程隊需施工1 1 ÷ =20（天） ．最低施工費用為 0．6×20＋0．35×30=2．25（萬元） ． 2 40答： （1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需 40 天和 60 天； （2）要使該工程的施工費最低，甲、乙兩隊各做 20 天和 30 天，最低施工費用是 2．25 元． 萬評析：這道考題把對二元一次方程組知識的考察放到貼近生活的熱點話題的背景下，易激活學(xué)生的數(shù) 學(xué)思維． 【歷年考點例析】 考點一、分式的基本概念 例 1、從“6＋3 整式，一個是分式． 、2、4＋a、3b、c”中選取四個（不重復(fù)），每兩個分別組成代數(shù)式，其中一個是解析：整式包括單項式和多項式；分式指的是具有的形式，其中 A，B 都是整式，并且 B 中都含有字母的代數(shù)式．觀察給出的五個代數(shù)式都是整式，因此任意選取四個即可，只不過在寫分式時，做分母的整式須含有字母即可．如：整式 2 ＋3b ， 分式例 2、某種長途電話的收費方式如下：接通電話的第一分鐘收費 元，之后的每一分鐘收費 元．如 果某人打該長途電話被收費 8 元錢，則此人打長途電話的時間是（ ）A．分鐘B．分鐘C．分鐘D．分鐘解析：這里考查學(xué)生根據(jù)題意列出分式表示數(shù)量關(guān)系應(yīng)選 C 溫馨提示：深刻理解分式的概念，掌握分式有意義的條件，深入的理解題目的含義，即而按要求寫出 分式． 考點二、當分式有(無)意義和值為 0 時,字母的取值范圍31數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽本考點主要涉及兩種基本題，一是確定分式有、無意義時字母的取值范圍，二是分式的值為 0 時，字 母的取值．例 3、（1）使分式有意義的 的取值范圍是（）A．B．C．D．（2）當時，分式無意義．解析：對于一個分式，當分母為 0 時，分式無意義，當分母不等于 0 時，分式有意義，且無需考慮分式的分子． 所以，（1）當 x＋2 0，即 x －2 時，分式有意義． 故選擇 B；（2）當 2x－1＝0，即 x＝無意義．時，分式例 4、若分式的值為零，則 的值等于．解析：若分式的值為 0，須同時具備兩個條件：①分式的分子為 0；②分式的分母不等于 0，這兩個條 件缺少不可．所以 且 x－1 0，解得 故填考點三、分式的基本性質(zhì) 例 5、下列各式從左到右的變形正確的是（ ）．A．B．C．D．解析：解答此類題一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)，無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的 倍數(shù)，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一項，且擴大（縮?。┑谋稊?shù)不能為 0，故 B 錯誤．同時在 分式的變形中，還要注意符號法則，即分式的分子、分母及分式的符號，只有同時改變兩個其值才不變， 故 C、D 也錯誤．本題應(yīng)選 A． 考點四、分式的化簡與計算32數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽例 6、化簡的結(jié)果是（）A． B．B．C．D．解析：進行分式的化簡，關(guān)鍵是靈活運用分式的基本性質(zhì)，靈活地進行通分、約分等．本題是分式的 除法運算，需要將除法轉(zhuǎn)化為乘法，同時對分式的分母分解因式，化簡后結(jié)果為 在中考試卷中，除了沿襲傳統(tǒng)的分式化簡計算題型外，還出現(xiàn)了創(chuàng)新型試題 ，故應(yīng)選擇 A例 7、（2007 山東煙臺課改）有一道題：“先化簡，再求值： ”．小亮同學(xué)做題時把“ 請你解釋這是怎么回事． 解析： 把“”錯抄成了“，其中 ”，但他的計算結(jié)果也是正確的，”錯抄成了“”，結(jié)果還正確，還真有點怪，但在有關(guān)代數(shù)式求值中有時化簡結(jié)果與字母的取值無關(guān)時，也就不怪了，本題可能就屬于這類問題，下面我們來化簡看看：,因為 為 2007，原式的計算結(jié)果都是 2016，所以把“ ”錯抄成“或 ”，計算結(jié)果也是正確的．，的值均例 8、先化簡代數(shù)式，請你取一個 的值，求出此時代數(shù)式的值．解析：代數(shù)式求值常用的方法是先化簡再求值．本題是一道結(jié)論開放型求值題，其結(jié)果可由 x 的取值 不同而不同，但要注意隱含條件，就是說本題可取 0 和 2 之外的任意數(shù)，若 x 為 0 或 2，則原分式的分母 為 0，會導(dǎo)致原分式無意義．原式， 當 x＝1 時，原式＝3，（答案不唯一）33數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽考點五、分式方程的概念及其解例 9、 請選擇一組的值，寫出一個形如的關(guān)于 的分式方程，使它的解為，這樣的分式方程可以是________． 解析：本題為一開放性的問題，答案不唯一，但是題目中已經(jīng)給出了分是方程的解和分母，此時可以 任意的給定 a 或 b 一個值，就可以確定出另一個字母的值了，如：令 a＝2，則可以得到 b＝－1，所以分式方程可以寫作：例 10、解方程： 解析：解分式方程的基本思路是：先確定最簡公分母，再通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，從 而求得其解． 要注意的是解分式方程必須檢驗，若為增根，須舍去． 解：去分母，得 ．解得，．經(jīng)檢驗，是原方程的根．原方程的根是．考點六、分式方程的應(yīng)用 例 11、某書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書．第一次用 1200 元購書若干本，并按該書定價 7 元 出售，很快售完．由于該書暢銷，第二次購書時，每本書的批發(fā)價已比第一次提高了 20%，他用 1500 元 所購該書數(shù)量比第一次多 10 本．當按定價售出 200 本時，出現(xiàn)滯銷，便以定價的 4 折售完剩余的書．試 問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多 少？ 解析： 列分式方程與列整式方程解應(yīng)用題一樣， 應(yīng)仔細審題， 找出反映應(yīng)用題中所有數(shù)量關(guān)系的等式， 恰當?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，列出方程． 與整式方程不同的是求得方程的解后，應(yīng)進行兩次檢驗，一是檢驗是否 是增根，二是檢驗是否符合題意．本題的等量關(guān)系為： 第二次購該書數(shù)量比第一次多 10 本，即（第一次 購買的數(shù)量）＋10＝（第二次購買的數(shù)量）． 解：設(shè)第一次購書的進價為 元，則第二次購書的進價為 元．根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解．34數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽所以第一次購書為（本），第二次購書為（本），第一次賺錢為（元），第二次賺錢為：（元）所以兩次共賺錢 【易錯點剖析】 1．符號錯誤 例 1．不改變分式的值，使分式（元）．?a?b 的分子、分母第一項的符號為正． ?a?b錯解：?a?b a?b ? ?a?b a?b診斷：此題錯誤的原因是把分子、分母首項的符號當成了分子、分母的符號．正解：? a ? b ? ( a ? b) a ? b ． ? ? ? a ? b ? ( a ? b) a ? b2．運算順序錯誤 例 2．計算：2a ? 4 a?2 ? ? (a ? 3) a ? 4a ? 3 a ? 32錯解：原式=2(a ? 2) 2 ? (a ? 2) ? 2 ． a ? 4a ? 3 a ? 4a ? 32診斷：分式的乘除混合運算是同一級運算，運算順序應(yīng)從左至右． 正解：原式=2a ? 4 a?3 2(a ? 3) ? ? (a ? 3) ? ． a ?1 a ? 4a ? 3 a ? 223．錯用分式基本性質(zhì)3 2a ? b 2 的分子、分母各項系數(shù)都化為整數(shù)． 例 3．不改變分式的值，把分式 2 a?b 3 3 ( 2 a ? b) ? 2 4a ? 3b 2 錯解：原式= ． ? 2 2a ? 3b ( a ? b) ? 3 3診斷：應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，分式的分子、分母必須同乘以同一個不為 0 的整式，分式的值不變， 而此題分子乘以 2，分母乘以 3，分式的值改變了．35數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽3 ( 2a ? b) ? 6 12a ? 9b 2 正解：原式= ． ? 2 4a ? 6b ( a ? b) ? 6 34．約分中的錯誤例 4．約分：a 2 ? ab ． a 2 ? 2ab ? b 2錯解：原式=1?1 2 ? ． 2 1? 2 ? b 3 ? b2診斷：約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，將分子、分母的公因式約去，若分子、分母是多項式，須先分解 因式，再約去公因式．正解：原式=a ( a ? b) a ． ? 2 a?b ( a ? b)5．結(jié)果不是最簡分式 例 5．計算：x ? 3y x ? 2 y 2x ? 3y ． ? 2 ? 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2 ( x ? 3 y ) ? ( x ? 2 y ) ? (2 x ? 3 y ) 2 x ? 2 y ． ? 2 x2 ? y2 x ? y2錯解：原式=診斷：分式運算的結(jié)果必須化為最簡分式，而上面所得結(jié)果中分子、分母還有公因式，必須進一步約 分化簡．正解：原式=( x ? 3 y ) ? ( x ? 2 y ) ? (2 x ? 3 y ) 2 x ? 2 y 2( x ? y) 2 ． ? 2 ? ? 2 2 2 ( x ? y)(x ? y) x ? y x ?y x ?y6．誤用分配律 例 6．計算：m?2 m?2 ? (m ? 2 ? )． 2m ? 4 m?2錯解：原式=m?2 m?2 m?2 1 1 3? m ? (m ? 2) ? ? ? ? ? ． 2(m ? 2) 2(m ? 2) m ? 2 2(m ? 2) 2 2(m ? 2)診斷：乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律．正解：原式=m?2 m2 ? m ? 6 m?2 m?2 1 ． ? ? ? ? 2(m ? 2) m?2 2(m ? 2) (m ? 2)(m ? 3) 2(m ? 3)7．忽略分數(shù)線的括號作用36數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽x3 ? x2 ? x ?1 ． 例 7．計算： x ?1 x3 x2 ? x ?1 x3 ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1) 2 x 2 ? 1 ? ? ? ? ． x ?1 1 x ?1 x ?1 x ?1錯解：原式=診斷：此題錯誤在于添加分數(shù)線時，忽略了分數(shù)線的括號作用．正解：原式=x3 x2 ? x ?1 x3 ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1) x3 x3 ?1 1 ? ? ? ? ? ? x ?1 1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1第十一章 頻數(shù)分布一、知識總結(jié)（一）頻數(shù)與頻率1、概念：一般地，如果一組數(shù)據(jù)共有 n 個，而其中一類數(shù)據(jù)出現(xiàn) m 次，那么 m 就叫做 該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)；而則稱為該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻率。

　　2、頻數(shù)分布：頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布圖（頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布折線圖） （1）整理數(shù)據(jù)的步驟： 1）計算這批數(shù)據(jù)的極差（極差=最大值-最小值） 2）決定組距和組數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)在 100 以內(nèi)，一般分為 5~12 組，數(shù)據(jù)多分組多， 數(shù)據(jù)少分組少，若有的組內(nèi)的頻數(shù)為 0 時，則應(yīng)放寬組距）組距=極差 組數(shù)組數(shù)=極差 組距3）決定分點（為了避免出現(xiàn)某一數(shù)據(jù)所在組不能確定的情況，應(yīng)使分點比已知數(shù)據(jù) 多一位小數(shù)，且把第一組的起點稍微放小） 4）畫頻數(shù)分布表。3、注意： （1）頻率 ? 概率 （2） 三種統(tǒng)計圖的特點： 條形統(tǒng)計圖 ：能清楚地表示出事物的絕對數(shù)量； 折線統(tǒng)計圖 ：能清楚地反映事物的變化趨勢； 扇形統(tǒng)計圖 ：能清楚地表示各部分占總體的百分率。二、典題練習(xí)1、對某班的一次數(shù)學(xué)測驗成績進行統(tǒng)計分 析，各分數(shù)段的人數(shù)如圖所示（分數(shù)取正整數(shù)滿分為 100 分） ．請根據(jù)圖形回答下列問題：20 15 10 學(xué)生人數(shù) 37數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽①該班有名學(xué)生； ，頻率是 。②70～79 分這一組的頻數(shù)是2、頻數(shù)分布直方圖（如圖 22-2-9 所示）顯示了學(xué)生半分鐘心跳數(shù)情況，總共統(tǒng)計了_________ 名學(xué)生的心跳數(shù)情況；__________次人數(shù)段的學(xué)生數(shù)最多，約占__________；如果半 分鐘心跳數(shù) 30—39 屬于正常范圍，心跳次數(shù)屬于正常范圍的學(xué)生約占__________。3、校課外活動小組為了了解本校九年級學(xué)生的睡眠時間情況，對學(xué)校若干名九年級學(xué)生 的睡眠時間進行了抽查，將所得數(shù)據(jù)整理后畫出了頻數(shù)分布直方圖的一部分，如圖所 示，已知圖中從左到右前 5 個小組的頻率分別是 0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二 小組的頻數(shù)為 4，請回答：（1）這次被抽查的學(xué)生人數(shù)是多少？補全頻率分布直方圖； （2）被抽查的學(xué)生中，睡眠時間在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)最多？這一范圍的人數(shù)是多少？ （3）如果該學(xué)校有 900 名九年級學(xué)生，若合理的睡眠時間值為 7 ? t ? 9 ，那么請你估計 一下這個學(xué)校九年級學(xué)生中睡眠時間在此范圍的人數(shù)是多少？ 4、校八年級（2）班 40 個學(xué)生某次數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦拢?63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70， 87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。

　　數(shù)學(xué)老師按 10 分的組距分段，算出每個分數(shù)段學(xué)生成績出現(xiàn)的頻數(shù)，填寫 頻數(shù)分布表： （1）請把頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖(如圖 22-2-19)補充完整并畫出頻數(shù)分布折線圖； （2）請你幫老師統(tǒng)計一下這次數(shù)學(xué)測驗的及格率（60 分以上為及格，含 60 分） 及優(yōu)秀率（90 分以上為優(yōu)秀，含 90 分） ； （3）請說明哪個分數(shù)段的學(xué)生最多？哪個分數(shù)段的學(xué)生最少？38數(shù)學(xué) 七年級下冊劉 陽成 績段[來源 :學(xué)§科§網(wǎng) ]49.5— 59.559.5— 69.569.5— 79.579.5— 89.589.5— 99.5頻數(shù) 記錄 頻數(shù) 頻率29 0.250539

北師大初一下冊數(shù)學(xué)知識框架3

　　北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊復(fù)一、整式習(xí)第一章資整式的運算料1、單項式：表示數(shù)與字母的積的代數(shù)式。另外規(guī)定單獨的一個數(shù)或字母也是單項式。

　　單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。注意系數(shù)包括前面的符號，系數(shù)是 1 時通常省 略， ? 是系數(shù)， ?2 xyz 2 的系數(shù)是 ? 7 7單項式的次數(shù)是指所有字母的指數(shù)的和。

　　2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

（幾次幾項式）每一個單項式叫做多項式的項，注意項包括前面的符號。

　　多項式的次數(shù)：多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)。項的次數(shù)是幾就叫做幾次項，其中不含 字母的項叫做常數(shù)項。

　　3、整式；單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。

（最明顯的特征：分母中不含字母） 4、排列多項式：①按某一個字母降冪排列：某一個字母的指數(shù)由大到小排列； ②按某一個字母升冪排列：某一個字母的指數(shù)由小到大排列。

　　二、整式的加減：①先去括號； ②再合并同類項。

　　三、冪的運算性質(zhì) 1、同底數(shù)冪相乘：底數(shù)不變，指數(shù)相加。

　　2、冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。an ? am ? an? m（注意括號前有數(shù)字因數(shù)） （系數(shù)相加，字母與字母指數(shù)不變）(a n ) m ? a nmn n n 3、積的乘方：把積中的每一個因式各自乘方，再把所得的冪相乘。

(ab) ? a b0 4、零指數(shù)冪：任何一個不等于 0 的數(shù)的 0 次冪等于 1。

　　a ? 1（ a ? 0 ） 注意 00 沒有意義。

　　5、負整數(shù)指數(shù)冪：a?p ? 1 ap（ p 正整數(shù)， a ? 0 ）n m n?m 6、同底數(shù)冪相除：底數(shù)不變，指數(shù)相減。

　　a ? a ? a注意：以上公式的正反兩方面的應(yīng)用。第 1 頁 共 6 頁常見的錯誤： a 2 ? a 3 ? a 6 ， (a 2 ) 3 ? a 5 ， (ab) 3 ? ab3 ， a 6 ? a 2 ? a 3 ， a 2 ? a 2 ? 2a 4 四、單項式乘以單項式：系數(shù)相乘，相同的字母相乘，只在一個因式中出現(xiàn)的字母則連同它 的指數(shù)作為積的一個因式。

　　五、單項式乘以多項式：運用乘法的分配率，把這個單項式乘以多項式的每一項。

　　六、多項式乘以多項式：連同各項的符號把其中一個多項式的各項乘以另一個多項式的每一 項。?a ? b??m ? n? ? am ? an ? bm ? bn七、平方差公式 兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩數(shù)的平方差。

　　即：一項符號相同，另一項符號相反，等于符號相同的平方減去符號相反的平方。?a ? b??a ? b? ? a 2 ? b 2八、完全平方公式 兩數(shù)的和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和再加上（或減去）兩數(shù)積的 2 倍。?a ? b?2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab常見錯誤： ?a ? b ? ? a 2 ? b 22?a ? b?2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ?a ? b ?2 ? a 2 ? b2九、單項除以單項式：把單項式的系數(shù)相除，相同的字母相除，只在被除式中出現(xiàn)的字母則 連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

　　十、多項式除以單項式：連同各項的符號，把多項式的各項都除以單項式。第二章一、互余、互補、對頂角平行線與相交線性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等。

　　性質(zhì)：同角（或等角）的補角相等。1、相加等于 90°的兩個角稱這兩個角互余。

　　2、相加等于 180°的兩個角稱這兩個角互補。3、兩條直線相交，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角；或者一個角的反相延長 線與這個角是對頂角。

　　對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

（相鄰且互補）4、兩條直線相交，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角互為鄰補角。

　　二、三線八角： 兩直線被第三條直線所截①在兩直線的相同位置上，在第三條直線的同側(cè)（旁）的兩個角叫做同位角。

②在兩直線之間（內(nèi)部） ，在第三條直線的兩側(cè)（旁）的兩個角叫做內(nèi)錯角。

③在兩直線之間（內(nèi)部） ，在第三條直線的同側(cè)（旁）的兩個角叫做同旁內(nèi)角。第 2 頁 共 6 頁三、平行線的判定 ①同位角相等 ②內(nèi)錯角相等 ③同旁內(nèi)角互補 四、平行線的性質(zhì) ①兩直線平行，同位角相等。

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互 補。

　　五、尺規(guī)作圖（用圓規(guī)和直尺作圖） ①作一條線段等于已知線段。

②作一個角等于已知角。? 兩直線平行第三章一、百萬分之一有多小、近似數(shù)與精確數(shù)生活中的數(shù)據(jù)精確數(shù)：真實的數(shù)值近似數(shù)：通過測量、估算、統(tǒng)計得到的數(shù)； 二、科學(xué)記數(shù)法： 1、絕對值大于 10 的數(shù)： a ? 10 2、絕對值小于 1 的數(shù)： a ? 10n（1≤ a 〈10 ， n 是原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減 1〉 （1≤ a 〈10， n 是有效數(shù)字前 0 的個數(shù)）?n三、有效數(shù)字：從左邊第一個不是 0 的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個 數(shù)的有效數(shù)字。

　　注意：①用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)有效數(shù)字看 a 的有效數(shù)字。如 2.35 ? 10 4 的有效數(shù)字是 2、3、 5 ②幾萬或幾億的有效數(shù)字看萬或億前面的數(shù)。如 2.56 萬的有效數(shù)字是 2、5、6 四、精確度的兩種表示方法： ①保留幾個有效數(shù)字： ②精確到哪一位：注意：怎樣確定一個近似數(shù)的精確度？看這個近似數(shù)的最右邊的數(shù)字在數(shù)位表中的位置，如 果是用科學(xué)記數(shù)法表示或是幾萬幾億的數(shù)先求出原數(shù)五、用四舍五入法取近似數(shù)時，如果去掉了原數(shù)的整數(shù)位數(shù)則要轉(zhuǎn)化成科學(xué)記數(shù)法表示。

　　六、象形統(tǒng)計圖：直觀、形象第四章一、 概率：反映事件發(fā)生可能性大小的數(shù)。概 率第 3 頁 共 6 頁事件 P 的概率=事件P出現(xiàn)的結(jié)果數(shù) 所有出現(xiàn)的結(jié)果的總數(shù)二、事件的分類三、游戲是否公平：雙方事件發(fā)生的概率是否相等。第五章一、認識三角形三角形1、三角形:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。

　　2、三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊。

（已知三條線段確定能否組成三角形，已知兩邊求第三邊的取值范圍） 3、三角形的內(nèi)角和是 180°；直角三角形的兩銳角互余。

　　銳角三角形 4、 三角形按角分類 直角三角形 鈍角三角形 5、三角形的特殊線段： a) 三角形的中線：連結(jié)頂點與對邊中點的線段。

（分成的兩個三角形面積相等） （三個角都是銳角） （有一個角是直角） （有一個角是鈍角）b) 三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對邊的交點到內(nèi)角所在的頂點的線段。

　　c) 三角形的高：頂點到對邊的垂線段。

　　二、全等三角形： 1、全等三角形：能夠重合的兩個三角形。

　　2、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。

　　3、全等三角形的判定： 判定方法 邊邊邊 邊角邊 角邊角 角角邊 內(nèi) 容 簡稱 SSS SAS ASA AAS HL （每一種三角形的作圖）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 兩邊與這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 兩角與這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 兩角與其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊直角邊 斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 注意：三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不能判定兩個三角形形全等；AAA第 4 頁 共 6 頁兩條邊與其中一條邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不能判定兩個三角三角形全等。SSA 4、全等三角形的證明思路：條件下一步的思路 找它們的夾角 找第三邊運用的判定方法 SAS SSS ASA AAS ASA 或 AAS SAS已經(jīng)兩邊對應(yīng)相等已經(jīng)兩角對應(yīng)相等找它們的夾邊 找其中一個角的對邊 找另一個角 已經(jīng)一角一邊 找另一邊 5、三角形具有穩(wěn)定性， 三、作三角形 1、已經(jīng)三邊作三角形 2、已經(jīng)兩邊與它們的夾角作三角形3、已經(jīng)兩角與它們的夾邊作三角形（已經(jīng)兩角與其中一角的對邊轉(zhuǎn)化成這種情況） 4、已經(jīng)斜邊與一條直角邊作直角三角形第六章一、變量、自變量與因變量生活中的變量①兩個變量 x 與 y，y 隨 x 的改變而改變，那么 x 是自變量（先變的量） ，y 是因變量（后變 的量） 。

　　二、變量之間的表示方法： ①列表法 ②關(guān)系式法：能精確地反映自變量與因變量之間數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。

③圖象法：用水平方向的數(shù)軸（橫軸）上的點表示自變量，用堅直方向的數(shù)軸（縱軸）表示 因變量。第七章一、軸對稱圖形與軸對稱生活中的軸對稱①一個圖形沿某一條直線對折，直線兩旁的部分能完成重合的圖形叫做軸對稱圖形。這條直 線叫做對稱軸。

②兩個圖形沿某一條直線折疊，這兩個圖形能完全重合，就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸第 5 頁 共 6 頁對稱。這條直線叫做對稱軸。

③常見的軸對稱圖形：線段（兩條對稱軸） ，角，長方形，正方形，等腰三角形，等邊三角 形，等腰梯形，圓，扇形 二、角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

∵ ∠1=∠2 ∴ PB=PA 三、線段垂直平分線： ①概念：垂直且平分線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。

②性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。

∵ OA=OB ∴ PA=PB 四、等腰三角形性質(zhì)： （有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形） （一條對稱軸） （三線合一） CD⊥AB PB⊥OB PA⊥OA①等腰三角形是軸對稱圖形；②等腰三角形底邊上中線，底邊上的高，頂角的平分線重合； ③等腰三角形的兩個底角相等。

（簡稱：等邊對等角）五、在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它所對的兩條邊也相等。

（簡稱：等角對等 邊） 六、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)。

① 等邊三角形的三條邊相等，三個角都等于 60； 七、軸對稱的性質(zhì)： ① 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形； ② 對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直且平分； 上。

　　八、鏡子改變了什么： 1、物與像關(guān)于鏡面成軸對稱； （分清左右對稱與上下對稱） 2、常見的問題：①物體成像問題；②數(shù)字與字母成像問題；③時鐘成像問題 ②對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等； ④對應(yīng)線段如果相交，那么交點在對稱軸 ②等邊三角形有三條對稱軸。第 6 頁 共 6 頁

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