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數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí),寓于現(xiàn)實(shí),用于現(xiàn)實(shí),教學(xué)大綱也指出:要使學(xué)生受到把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練,形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。可見(jiàn),對(duì)任何知識(shí)的學(xué)習(xí),前提是感到有用,才會(huì)有學(xué)的興趣。我們?nèi)裟軓?u>生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題緊密聯(lián)系起來(lái),使孩子確信生產(chǎn)生活離不開(kāi)數(shù)學(xué),便可進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣。例如在一次旅游回來(lái)后,家長(zhǎng)可結(jié)合孩子知識(shí),給孩子提出一些應(yīng)用性問(wèn)題,來(lái)激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣。應(yīng)用性問(wèn)題可以是孩子身邊有的事,有的還是孩子自己親身經(jīng)歷過(guò)的事,因此是最感興趣,思維也是最積極,最活躍的,從而增添了他們對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,孩子感到最難的莫過(guò)于繁多的公式定理,記不牢,也就用不好,而單純的死記硬背,又往往容易記錯(cuò)。這時(shí)可以對(duì)某些公式加以概括提煉,編一些形象的口訣、圖表,孩子會(huì)很感興趣,樂(lè)開(kāi)接受,記憶牢固,會(huì)收到事半功倍的效果。
另外,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還需要及時(shí)反饋,不斷深化學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。
從信息論和控制論角度看,沒(méi)有信息反饋就沒(méi)有控制。孩子學(xué)習(xí)情況怎樣,這需要教師和家長(zhǎng)給予恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià),以深化孩子已有的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),矯正學(xué)習(xí)中的偏差。她包括課堂上的及時(shí)反饋,對(duì)作業(yè)、測(cè)試、活動(dòng)等情況的反潰使反饋與評(píng)價(jià)相結(jié)合,使評(píng)價(jià)與指導(dǎo)相結(jié)合,充分發(fā)揮信息反饋的診斷作用、導(dǎo)向作用和激勵(lì)作用,深化孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)。
如何培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?總之,要激發(fā)孩子學(xué)習(xí)的興趣,首先是使孩子對(duì)學(xué)習(xí)有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí),這是學(xué)習(xí)動(dòng)力的源泉。然后是激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的技術(shù)性問(wèn)題,即如何激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。一句話,抓住學(xué)生的興趣特點(diǎn):他們常常對(duì)新穎的東西感興趣,對(duì)變化的東西感興趣,對(duì)相互矛盾的東西感興趣,對(duì)笑話、幽默故事感興趣,對(duì)美的東西感興趣,對(duì)實(shí)驗(yàn)、操作感興趣,對(duì)競(jìng)賽和游戲等感興趣。以培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣為核心,全方位激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)動(dòng)
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現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期是指由19世紀(jì)20年代至今,這一時(shí)期數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式,數(shù)和量?jī)H僅是它的極特殊的情形,通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的課程,非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)也要具備其中某些知識(shí)。變量數(shù)學(xué)時(shí)期新興起的許多學(xué)科,蓬勃地向前發(fā)展,內(nèi)容和方法不斷地充實(shí)、擴(kuò)大和深入。
18、19世紀(jì)之交,數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到豐沛茂密的境地,似乎數(shù)學(xué)的寶藏已經(jīng)挖掘殆盡,再?zèng)]有多大的發(fā)展余地了。然而,這只是暴風(fēng)雨前夕的寧?kù)o。19世紀(jì)20年代,數(shù)學(xué)革命的狂飆終于來(lái)臨了,數(shù)學(xué)開(kāi)始了一連串本質(zhì)的變化,從此數(shù)學(xué)又邁入了一個(gè)新的時(shí)期——現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期。
19世紀(jì)前半葉,數(shù)學(xué)上出現(xiàn)兩項(xiàng)革命性的發(fā)現(xiàn)——非歐幾何與不可交換代數(shù)。
大約在1826年,人們發(fā)現(xiàn)了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn),改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點(diǎn)。它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開(kāi)辟了道路,而且是20世紀(jì)相對(duì)論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。
后來(lái)證明,非歐幾何所導(dǎo)致的思想解放對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)有著極為重要的意義,因?yàn)槿祟?lèi)終于開(kāi)始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質(zhì)。從這個(gè)意義上說(shuō),為確立和發(fā)展非歐幾何貢獻(xiàn)了一生的羅巴契夫斯基不愧為現(xiàn)代科學(xué)的先驅(qū)者。
1854年,黎曼推廣了空間的.概念,開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)還促進(jìn)了公理方法的深入探討,研究可以作為基礎(chǔ)的概念和原則,分析公理的完全性、相容性和獨(dú)立性等問(wèn)題。1899年,希爾伯特對(duì)此作了重大貢獻(xiàn)。
在1843年,哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn),改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點(diǎn)。它的革命思想打開(kāi)了近代代數(shù)的大門(mén)。
另一方面,由于一元方程根式求解條件的探究,引進(jìn)了群的概念。19世紀(jì)20~30年代,阿貝爾和伽羅華開(kāi)創(chuàng)了近代代數(shù)學(xué)的研究。近代代數(shù)是相對(duì)古典代數(shù)來(lái)說(shuō)的,古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后,多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。這時(shí),代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象擴(kuò)大為向量、矩陣,等等,并漸漸轉(zhuǎn)向代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的研究。
上述兩大事件和它們引起的發(fā)展,被稱(chēng)為幾何學(xué)的解放和代數(shù)學(xué)的解放。
19世紀(jì)還發(fā)生了第三個(gè)有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)事件:分析的算術(shù)化。1874年威爾斯特拉斯提出了一個(gè)引人注目的例子,要求人們對(duì)分析基礎(chǔ)作更深刻的理解。他提出了被稱(chēng)為“分析的算術(shù)化”的著名設(shè)想,實(shí)數(shù)系本身最先應(yīng)該嚴(yán)格化,然后分析的所有概念應(yīng)該由此數(shù)系導(dǎo)出。他和后繼者們使這個(gè)設(shè)想基本上得以實(shí)現(xiàn),使今天的全部分析可以從表明實(shí)數(shù)系特征的一個(gè)公設(shè)集中邏輯地推導(dǎo)出來(lái)。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們的研究,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了把實(shí)數(shù)系作為分析基礎(chǔ)的設(shè)想。歐幾里得幾何通過(guò)其分析的解釋?zhuān)部梢苑旁趯?shí)數(shù)系中;如果歐氏幾何是相容的,則幾何的多數(shù)分支是相容的。實(shí)數(shù)系(或某部分)可以用來(lái)解群代數(shù)的眾多分支;可使大量的代數(shù)相容性依賴(lài)于實(shí)數(shù)系的相容性。事實(shí)上,可以說(shuō):如果實(shí)數(shù)系是相容的,則現(xiàn)存的全部數(shù)學(xué)也是相容的。
19世紀(jì)后期,由于狄德金、康托和皮亞諾的工作,這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立在更簡(jiǎn)單、更基礎(chǔ)的自然數(shù)系之上。即他們證明了實(shí)數(shù)系(由此導(dǎo)出多種數(shù)學(xué))能從確立自然數(shù)系的公設(shè)集中導(dǎo)出。20世紀(jì)初期,證明了自然數(shù)可用集合論概念來(lái)定義,因而各種數(shù)學(xué)能以集合論為基礎(chǔ)來(lái)講述。
拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)始是幾何學(xué)的一個(gè)分支,但是直到20世紀(jì)的第二個(gè)1/4世紀(jì),它才得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對(duì)于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究??茖W(xué)家們認(rèn)識(shí)到:任何事物的集合,不管是點(diǎn)的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實(shí)體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對(duì)象的集合,都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論,已經(jīng)成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。
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