下面是范文網小編收集的隨機變量及其分布3篇 常見隨機變量的分布，供大家參閱。

隨機變量及其分布1

《離散型隨機變量及其分布列》教學反思

　　一、教學內容、要求以及完成情況的再認識

《離散型隨機變量的分布列》在近幾年高考的推波助瀾下愈發(fā)突顯出其應用性和問題設計的新穎和創(chuàng)造性，如火如荼的新課改時時刻刻在提醒我們“思路決定出路”，們明確教學設計應是為了“學生的學而設計教”，不是為了 “老師的教而設計學”。

　　1.學的重點應是離散型隨機變量的分布列的含義與性質而非如何求概率 看過《離散型隨機變量的分布列》的幾個視頻，大多采用“一個定義、三項注意、變式訓練”的傳授型數(shù)學概念教學模式，定義匆匆過，訓練變式多，學生表示隨機變量的分布列時錯誤不斷。這些錯誤集中指向是某些事件的概率求錯，從而導致分布列的表示錯誤，老師又糾錯，學生還犯錯。整堂課反映出的教學重點是求隨機事件的概率。孰不知學生出錯的根本原因是在思維的過程中沒有有意識的將分布列問題轉化為求互斥事件的概率。正所如皮之不存、毛之焉附，歷經離散型隨機變量的分布列的概念的教學過程并形成解題時將分布列問題轉化為求互斥事件的概率的意識理應成為教學的重點。

　　2.數(shù)學概念的教學應是從創(chuàng)設概念的生長點的問題情境切入探究而不是拋給學生

“一個定義、三項注意、變式訓練”的“拋式”數(shù)學概念教學模式，猶如過眼云煙，未建立在學生已有的認知基礎上的數(shù)學概念的理解猶如空中樓閣，未建立在思維的最近發(fā)展區(qū)內進行的類比歸納的正遷移思維猶如斷了翅膀的鳥，未歷經數(shù)學概念的探究而進行的變式訓練亦不過是模仿解題?！皢栴}是數(shù)學的心臟”，數(shù)學活動是由“情景問題”驅動的，“問題解決”是其主要的活動形式，創(chuàng)設可以連續(xù)變式的正多面體的問題情境，提出從低緯度向高緯度發(fā)展的問題是歷經數(shù)學概念再創(chuàng)造的好的開始。

　　引例1：某人拋一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有幾種情況？如何表示？各種結果出現(xiàn)的概率分別是多少？

　　引例2：100件產品中有10件次品，任取其中的4件，出現(xiàn)次品的情況有幾種？如何表示？各種結果出現(xiàn)的概率分別是多少？

　　引例3：扔一枚硬幣，出現(xiàn)的結果有幾種？能用數(shù)表示嗎？如果可以，如何表示？各種結果出現(xiàn)的概率分別是多少？

　　以上三個問題，集中指向了先是隨機變量取不同值時對應概率的表示，更加如何簡潔的表示，而離散型隨機變量的分布列也是概率的一種表示形式，古典概率就是離散型隨機變量的分布列的知識生長點。這就是將數(shù)學概念的引入情境化、順其自然、不強加于人，是要合乎學生的認知規(guī)律、不苛求與形式。3．數(shù)學概念的含義和性質是剝洋蔥皮式的探究而不是變式訓練的強化 學生對數(shù)學概念的理解出現(xiàn)偏差，往往是學生站的認識問題的角度不合理、維度不全面，所以我借助于問題串、采用“剝洋蔥皮”的方式從數(shù)學概念的外延出發(fā)探尋概念的內涵。問是深入思考的開始、是質疑探究的延續(xù)。

　　離散型隨機變量的分布列的性質是概念的外延，而離散型隨機變量的概率分布列的內涵是一個必然事件分解成有限個互斥事件的概率的另一種表示形式，更主要的是應在概念的生成中形成解決問題的思維方法。

　　問題1.通過以上簡單的離散型隨機變量的分布列，歸納出離散型隨機變量的分布列具有哪些性質？(學生發(fā)現(xiàn)性質)性質2的理解是本節(jié)課的一個難點，設置如下問題串： 問題2.性質2的含義是什么？

　　問題3.每一個分布列有多少個隨機事件？ 問題4.隨機事件之間是什么關系？

　　問題5.這些隨機事件構成的復雜事件又表示什么事件？

　　通過以上問題串的探究，就是要學生歷經離散型隨機變量分布列的本質的認識過程，從而形成求解離散型隨機變量的分布列的方法和步驟：

①明確隨機變量的含義、確定隨機變量的取值 ②判定隨機事件的關系、計算隨機事件的概率 ③列表表示分布列、檢驗是否構成必然事件

　　這樣設計的目的是想避免學生在沒有對數(shù)學概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進行大運動量的變式解題操練，導致教學缺乏必要的根基，是要培養(yǎng)學生數(shù)學用數(shù)學思維來解決問題。

　　在教學設計上要做整體的把握，應該從基本點出發(fā)，形成交匯點，進而達到制高點。教學的基本點就是“雙基”： 數(shù)學基礎知識和基本技能。從雙基出發(fā)，使得基礎知識形成網絡、基本技能形成規(guī)律。教學的交匯點就是數(shù)學活動，在數(shù)學活動中形成基本思想方法和基本活動經驗。

　　制高點是什么？制高點是重點，是可以達到必要深度的部分，但又不僅僅是重點。重點只是數(shù)學的結果，不指向如何應對；而制高點致力于探尋問題解決的基本思路，形成解決問題的方法和規(guī)律。站在制高點上進行教學設計，就是首先要準備貫徹什么樣的教學理念、采用什么樣的教學方法為支撐下的教學設計。所以我在教學設計時重視情境預設、更重視思維的發(fā)展歷程，關注知識的內化、更關注形成知識的方法的理性建構。數(shù)學思維的培養(yǎng)成長于每一節(jié)課堂、成敗于每一點基礎、影響于每一個細節(jié)，讓每一節(jié)數(shù)學課堂都真正在有利于學生發(fā)展為本的道路上改革，牢牢把握這個制高點，成功就水到渠成了。

　　二、值得注意的地方

　　在教學過程中要充分發(fā)揮學生的主體地位。在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會把自己當做課堂上的主人而過多的會忽略學生的主體地位；或者學生會因為長時間的習慣于聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。在建立新知的過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步應用所學的知識來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結構。每個問題在設計時，充分考慮了學生的具體情況，力爭提問準確到位，便于學生思考和回答。使思考和提問持續(xù)在學生的最近發(fā)展區(qū)內，學生的思考有價值，對知識的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。但由于時間的把握，以及對學生的放手程度上‘實施落實的可能還不到位，有待改進。

　　總之，在今后的教學工作中，需不斷總結、反思。作為數(shù)學教師，一方面要激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感覺到每解決一個數(shù)學問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業(yè)水平。在總結、反思中不斷提升自己的教學水平，做一名真正合格的人民教師。

隨機變量及其分布2

　　教學對象 計劃學時 2

　　管理系505-13、14、15；經濟系205-

　　1、2 授課時間

　　2006年3月3日；星期五；1—2節(jié)

　　教學內容

　　第二章 一維隨機變量及其概率分布 第一節(jié) 離散型隨機變量及其分布律（續(xù)）

　　三、常見離散型隨機變量的概率分布

　　1、二點分布和二項分布

　　2、泊松分布

　　通過教學，使學生能夠：

　　1、掌握兩點分布

　　2、掌握貝努利概型和二項分布

　　3、掌握泊松分布

　　教學目的

　　知 識：

　　1、兩點分布

　　2、貝努利概型和二項分布

　　3、泊松分布

　　技能與態(tài)度

　　1、將生活中的隨機現(xiàn)象與隨機變量的分布相聯(lián)系

　　2、會分析計算生產實際中的概率問題

　　教學重點 常見的分布 教學難點 貝努利概型

　　教學資源 自編軟件（演示貝努利概型）

　　教學后記

　　培養(yǎng)方案或教學大綱

　　修改意見 對授課進度計劃 修改意見 對本教案的修改意見 教學資源及學時 調整意見 其他 教研室主任：

　　系部主任：

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　　第 1 頁

　　教學活動流程

　　教學步驟、教學內容、時間分配

　　一、復習導入新課

　　復習內容：（5分鐘）

　　1、隨機變量的概念

　　2、分布律的概念 導入新課：（2分鐘）

　　教學目標

　　教學方法

　　提問講解

　　鞏固所學知識，與技能

　　上一次我們引入了隨機變量的概念，已經學會了用含有引出本節(jié)要學習隨機變量的等式或不等式來表示不同的隨機事件。在實際問的主要內容 題中，不同的離散型隨機變量擁有各自不同的分布律。但生

　　產管理和實際生活中，有很多隨機變量的分布規(guī)律是類似的，常見的分布有三類：兩點分布、二項分布、泊松分布

　　1、掌握兩點分布

　　二、明確學習目標

　　2、掌握貝努利概型和二項分布

　　3、掌握泊松分布

　　三、知識學習（50分鐘）

　　三、常見的離散型隨機變量的分布

(一)兩點分布（0—1分布）若隨機變量X的分布律為

　　X01pP1?p，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。

　　若某個隨機試驗的結果只有兩個，如產品是否合格，試驗是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面，射擊是否中靶，新生兒的性別，等等，它們都可以用（0-1）分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù)p的值不同而已?？梢姡?-1）分布是經常遇到的一種分布。

　　例

　　1、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，?1,取到白球以X表示取出球的顏色情況，即X=?，求X的0,取到紅球?分布律。

　　解：P{X=1}=1C61C10=，P{X=0}=

　　1C41C10=

　　則X的分布律為

(二)二項分布

　　二項分布是實際中很常見的一種分布，為了對它進行研究，需要先介紹一種非常重要的概率模型——貝努利概型

　　我們在實際中經常會遇到這樣的情況:所考慮的試驗是

　　掌握兩點分布的 概念

　　講授法

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　　第 2 頁 由一系列的子試驗組成的，而這些子試驗的結果是互不影響的，即子試驗之間是互相獨立的。例如，將一枚硬幣連續(xù)拋n次，我們可以將每拋一次看成一個子試驗，而每次拋硬幣出現(xiàn)正面與反面的結果是互不影響的。而且隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性是在大量的重復試驗的條件下才呈現(xiàn)出來的，因此對某個試驗獨立重復地進行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

　　我們只討論每次只有兩個結果的n次獨立重復試驗。

　　1、貝努利(Bernoulli)試驗

　　定義：設隨機試驗E只有兩種可能的結果：A或A，在相同的條件下將E重復進行n次，若各次試驗的結果是互不影響，則稱這n重獨立試驗。

　　它是數(shù)學家貝努利首先研究的，因此也叫n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗，這時討論的問題叫貝努利概型

　　說明：貝努利試驗應同時滿足以下條件：(1)在相同條件下進行n次重復試驗；

(2)每次試驗只有兩種可能結果：A發(fā)生或A不發(fā)生；(3)在每次試驗中，A發(fā)生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次試驗是相互獨立的

　　對于貝努利概型，我們主要研究在n次貝努利試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率。

　　定理：在貝努利概型中，設事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，則在n次貝努利試驗中，事件A出現(xiàn)k次的概率kk為Pn(k)?Cn（k=0,1,2,?,n）p(1?p)n?k，理解貝努利概型

　　例2：將一枚均勻的硬幣拋擲3次（與3枚硬幣擲一次相當），求正面出現(xiàn)1次的概率

　　解：n=3，k=1，p=，1-p=，則1P3(1)?C3()1(1?)3?1= 用古典概率解釋: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．說明:簡單問題用古典概型解決還可以,當試驗次數(shù)太多時,樣本點有2n個，只能用公式求解

　　軟件演示：

　　例3：從一批由9件正品，3件次品組成的產品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有兩次取得次品的概率

　　解：將每一次抽取當做一次試驗，設A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一個5重貝努利試驗，n=5，兩次取得次品，則有k=2，每次試驗中

　　p = P(A)=1C31C12?13，則1-p=，44

　　掌握計算公式

　　講授法

　　講授法 板書

　　軟件演示

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　　第 3 頁 2因此P5(2)?C5()2(1?)5?2= 5122、二項分布

　　定義：若隨機變量X的取值為0,1,2,?,n，且kkP{X=k}=Cnp(1?p)n?k，k =0,1,2,?,n

　　其中0

　　特例：當n=1時，二項分布即為兩點分布 例4(P 21)

　　說明：二項分布的應用非常廣泛，但是當重復試驗的次數(shù)很多時，計算量又很大，平時解題可以不用計算，當n>5時用式子表示即可。為便于應用，可直接查閱二項分布表(P157附表6），查表結果是X取值從0到x的累計概率。即P{X≤x}。若計算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

　　例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

　　例5(P22)、工廠生產的螺絲次品率為，每個螺絲是否為次品是相互獨立的，產品出售時10個螺絲打成一包，并承諾若發(fā)現(xiàn)一包內多于一個次品即可退貨。用X表示一包內次品的個數(shù)。求（1）X的分布律；（2）工廠的退貨率

　　解：對一包內的10個螺絲逐個進行檢驗，相當于進行10重貝努利試驗，因此X~B(10,)

　　k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k()k()10?k，=0,1,2,?,10）（2）當X>1時退貨，退貨率為：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k?0?1kC10()k()10?k

　　泊松定理（Poisson）:設λ>0是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若npn=λ，則對任一固定的非負整數(shù)k，有?k??lim(1?pn)?e。（證：P23注釋）n???k!定理的條件npn=λ，意味著n很大時pn必定很小，由定理知，當X~B(n, p)，且n很大而p很小時，有kCnkpnn?kkP{X=k}=Cnp(1?p)kn?k?k? ?e，λ=np ≈k!?k? ?e計算在實際計算中，當n≥20且p≤時，用k!kkCnp(1?p)n?k的近似值效果頗佳；

?k? ?當n≥100且np≤10時，效果更好。e的值有表可

　　k!

　　掌握二項分布的計算

　　理解定理內容

　　講授法 板書

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　　第 4 頁

　　N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈?e?3，k!k?0

　　N3k?3故問題轉化為求N的最小值，使?e≥

　　k!k?0

　　N3k??3k即1??e?3??e?3?

　　k!k!k?0k?N?1

　　查書后附表2（P140）可知，當N+1≥9即時N ≥8時，上式成立。因此，為達到上述要求，至少需配備8名維修工 人。

　　類似的問題在其他領域也會遇到，如電話交換臺接線員 的配備，機場供飛機起降的跑道數(shù)的確定等.(三)泊松分布

　　定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,?,而理解泊松分布的定義 ?k? ?查（見書后附表P139）

　　例

　　6、某車間有同類型的設備300臺，各臺設備的工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是，設一臺設備的故障由一名工人維修，問至少需配備多少名維修工人，才能保證設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于？

　　解 設需配備N名工人，X為同一時刻發(fā)生故障的設備的臺數(shù)，則X~B(300,)。所需解決的問題是確定N的最小值，使P(X≤N)≥ e，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λk!的泊松分布，記為X~P(λ)

　　具有泊松分布的隨機變量在實際應用中是很多的。例如，在每個時段內電話交換臺收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內來到的顧客人數(shù)、在某時段內的某放射性物質發(fā)出的經過計數(shù)器的粒子數(shù)、在某時段內在車站候車的人數(shù)、單位面積上布匹的疵點數(shù)、單位時間內商店銷售非緊俏商品的件數(shù)、等等，只要試驗的結果為兩個，且由很多因素共同作用來決定的隨機變量，都可認為是服從泊松分布。泊松分布也是一種常見的重要分布。它是二項分布的極限分布，因此可用泊松分布的計算公式計算二項分布。

　　例15：每分鐘經過收費站的汽車流量服從泊松分布：X ~P(5)，求每分鐘經過該收費站的汽車不足9輛的概率。

　　解：P{X<9}=1—P{X≥9}== P{X=k}=

　　例1 某人獨立地射擊目標，每次射擊的命中率為，掌握分布律的性射擊200次，求目標被擊中的概率。質

　　解：把每次射擊看成一次試驗，這是200重貝努利試驗。設擊中的次數(shù)為X，則X~B(200,)

　　四、技能學習（20分鐘）

　　教師提問

　　引導學生寫出答案

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

　　第 5 頁

=0,1,2,?,200）

　　所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.= 說明：雖然每次的命中率很小，但當射擊次數(shù)足夠大時，擊中目標的概率很大。這個事實告訴我們，一個事件盡管在 一次實驗中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨立重復試驗中，kX的分布律為：P{X=k}=C200（k()k()200?k，這個事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說，小概率事件在大量獨立重復室驗中是不可忽視的。

　　當問題的規(guī)模很大時，一般n很大且p很小，無法查表。而直接計算又很麻煩，下面給出一個當n很大而p很小時的近似計算公式.例

　　2、車間現(xiàn)有90臺同類型的設備，各臺設備的工作是相互獨立的，每臺發(fā)生故障的概率都是，且一臺設備的故障只能由一個人修理。配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開維護，每人負責30臺；另一種是由3人共同維護90臺。分別求在兩種情況下車間的設備發(fā)生故障不能及時維修的概率。

　　解：設X為出現(xiàn)故障的設備臺數(shù)

（1）每人負責30臺設，可認為是30重貝努利試驗，因此X~B(30,)，當X>1時等待修理。

λ=np =，P{X>1}= P{X≥2}≈?()e?≈

　　k?2??kk! Ai=“第i個人負責的30臺設備發(fā)生故障而無人修理”。可知P(Ai)=，而90臺設備發(fā)生故障無人修理的事件為A1∪A2∪A3，故采用第一種方法，所求概率為

　　p(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-()3=

（2）三人共同維護90臺，認為是90重貝努利試驗，因此X~B(90,)，當X>3時等待修理。

　　而所求概率為P{X>3}= P{X≥4}≈?()e?≈

　　k?4??kk! 因為<，顯然共同負責比分塊負責的維修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知識可以解決運籌學所要解決的有效運用人力、物力資源的某些問題。

　　五、態(tài)度養(yǎng)成

　　六、技能訓練（16分鐘）

　　做事認真的態(tài)度

　　通過實際訓練，學生練習練習：一大樓有五個同類型的獨立供水設備，在任意時使學生理解樣本老師巡刻每個設備被使用的概率為，問在同一時刻 的寫法與含義 視，解答《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

　　第 6 頁(1)恰好有兩個設備被使用的概率P1是多少?(2)至少有三個設備被使用的概率P2是多少?(3)至多有三個設備被使用的概率P3是多少?(4)至少有一個設備被使用的概率P4是多少? 解：在同一時刻觀察五個設備,它們工作與否是相互獨立的,故可視為5重貝努里試驗，n=5，p=，于是可得：

　　2(1)P1＝P5(2)＝C5()2()53＝

－

　　問題

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.(4)P4＝1－P5(0)＝1－＝0. {X=0}={沒有取到次品}，P{X=0}=

　　02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C10?7 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}=?{X=2}={取到兩件次品}，P{X=2}=?1 15XX的分布律為：P0 1

　　5七、課堂小結（3分鐘）

　　在學習時要理解三種分布之間的關系：兩點分布討論的是一次貝努利試驗的結果，它只有兩個結果，二項分布討論的是N次貝努利試驗的結果，它有N+1個結果。兩點分布是二項分布的特例，泊泊松分布是二項分布的極限分布。它對應無窮多次的貝努利試驗，因此，貝努利試驗是非常重要的一類試驗。

　　概括總結，幫助學生構建知識體系

　　簡要概括本節(jié)內容

　　八、布置作業(yè)（1分鐘）

　　復習本節(jié)內容

　　預習連續(xù)型隨機變量 P36—5、6、7

　　鞏固所學的知識 培養(yǎng)自學能力

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

　　第 7 頁

隨機變量及其分布3

　　2-3隨機變量及其分布

　　要點歸納離散型隨機變量及其分布列

　　一、1．(1)隨機變量：在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應關系下，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．通常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量．(3)離散型隨機變量的分布列：一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2…，xi，…xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

　　XPx1p1x2p2……xipi……xnpn我們將上表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．有時為了簡單起見，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(4)離散型隨機變量的分布列的性質：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②?pi＝＝1n(5)常見的分布列：兩點分布：如果隨機變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率.XP01－p1p兩點分布又稱0－1分布，伯努利分布． 超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝nkCkMCN－Mk)＝，k＝0，1，2，…，m，即 CnN－XP0n0C0MCN－M CnN－1n1C1MCN－M CnN－……mnmCmMCN－M nCN－

　　其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．二項分布及其應用2．(1)條件概率：一般地，設A和B是兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝P（AB）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生P（A）的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．(2)條件概率的性質：①0≤P(B|A)≤1；②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0；

③如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互獨立性：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．如果事件A與B相互獨立，那么A與－B，－A與B，－A與－B也都相互獨立．(4)獨立重復試驗：一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗．(5)二項分布：一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．兩點分布是當n＝1時的二項分布，二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．3．離散型隨機變量的均值與方差(1)均值、方差：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．稱D(X)＝?(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，D（X）為i＝1n

　　隨機變量X的標準差．(2)均值與方差的性質：若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機變量，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常見分布的均值和方差公式：①兩點分布：若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二項分布：若隨機變量X～B(n，p)，則均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．

(2)正態(tài)曲線的特點： ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱； ③曲線在x＝μ處達到峰值σ1； 2π④曲線與x軸之間的面積為1.(3)μ和σ對正態(tài)曲線的影響：①當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；②當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(4)正態(tài)分布的3σ原則：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝ 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝ 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ 4.在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，并簡稱之為3σ原則． 專題一條件概率1．條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)和P(AB)，解得P(B|A)＝ P（AB）.P（A）(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件數(shù) n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事 n（AB）件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝.n（A）

　　2．解決概率問題要注意“三個步驟，一個結合”(1)求概率的步驟是：第一步，確定事件性質；第二步，判斷事件的運算；第三步，運用公式．(2)概率問題常常與排列、組合知識相結合．

【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解設“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n(Ω)＝A25＝根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝A1×A34＝（A）123于是P(A)＝＝＝.n（Ω）205

　　專題二相互獨立事件的概率求相互獨立事件一般與互斥事件、對立事件結合在一起進1．行考查，解答此類問題時應分清事件間的內部聯(lián)系，在些基礎上用基本事件之間的交、并、補運算表示出有關事件，并運用相應公式求解．特別注意以下兩公式的使用前提2．(1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立． 甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工同一種零件，甲機床加【例2】1工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，4乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的12概率為，甲丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.129(1)分別求出甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．

　　專題三離散型隨機變量的分布列、均值與方差離散型隨機變量的分布列在高中階段主要學習兩種：超幾1．何分布與二項分布，由于這兩種分布列在生活中應用較為廣泛，故在高考中對該知識點的考查相對較靈活，常與期望、方差融合在一起，橫向考查．對于分布列的求法，其難點在于每個隨機變量取值時相關2．概率的求法，計算時可能會用到等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式等．均值與方差都是隨機變量重要的數(shù)字特征，方差是建立在3．均值這一概念之上的，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產生活中特別是風險決策中有著重要意義，因此在當前的高考中是一個熱點問題．

【例3】 某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續(xù)學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加15次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是，每次測試時3間間隔恰當．每次測試通過與否互相獨立．(1)求該學生考上大學的概率；(2)如果考上大學或參加完5次測試就結束，記該生參加測試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學期望． P(X＝5)＝C1··??＋??＝.4???3????3?327故X的分布列為： X21 934 2744 27PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

　　棗莊檢測)某單位為了參加上級組織的普及消防知【例4】(2012·識競賽，需要從兩名選手中選出一人參加．為此，設計了一個挑選方案：選手從6道備選題中一次性隨機抽取3題．通過考查得知：6道備選題中選手甲有4道題能夠答對，2道題答錯；2選手乙答對每題的概率都是，且各題答對與否互不影響．設3選手甲、選手乙答對的題數(shù)分別為ξ，η.(1)寫出ξ的概率分布列(不要求計算過程)，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．請你根據(jù)得到的數(shù)據(jù)，建議該單位派哪個選手參加競賽？

ξ解(1)ξ的概率分布列為P11 523 531 5131所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝?2?2由題意，η～B?3，?，E(η)＝3×＝2，3?3???1013??＝； 或者P(η＝0)＝C327?3??2?1?1?22P(η＝1)＝C13????＝； 9?3??3??2?2?1?4??8323????P(η＝2)＝C2＝；P(η＝3)＝C，33??＝27?3??3?9?3?

　　專題四 正態(tài)分布

【例5】某市去年高考考生成績服從正態(tài)分布N(500，502)，現(xiàn)有25 000名考生，試確定考生成績在550～600分的人數(shù)．解 ∵考生成績X～N(500，502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P＝(550＜X≤600)1＝[P(500－2×50＜X≤500＋2×50)－P(500－50＜X≤500＋250)] 1＝( 4－ 6)＝ 故考生成績在550～600分的人數(shù)約為25 000× 9 ≈3 398(人)．

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