下面是范文網(wǎng)小編收集的隨機(jī)變量及其分布3篇 常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布，供大家參閱。

隨機(jī)變量及其分布1

《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)反思

　　一、教學(xué)內(nèi)容、要求以及完成情況的再認(rèn)識(shí)

《離散型隨機(jī)變量的分布列》在近幾年高考的推波助瀾下愈發(fā)突顯出其應(yīng)用性和問(wèn)題設(shè)計(jì)的新穎和創(chuàng)造性，如火如荼的新課改時(shí)時(shí)刻刻在提醒我們“思路決定出路”，們明確教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)是為了“學(xué)生的學(xué)而設(shè)計(jì)教”，不是為了 “老師的教而設(shè)計(jì)學(xué)”。

　　1.學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)是離散型隨機(jī)變量的分布列的含義與性質(zhì)而非如何求概率 看過(guò)《離散型隨機(jī)變量的分布列》的幾個(gè)視頻，大多采用“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、變式訓(xùn)練”的傳授型數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，定義匆匆過(guò)，訓(xùn)練變式多，學(xué)生表示隨機(jī)變量的分布列時(shí)錯(cuò)誤不斷。這些錯(cuò)誤集中指向是某些事件的概率求錯(cuò)，從而導(dǎo)致分布列的表示錯(cuò)誤，老師又糾錯(cuò)，學(xué)生還犯錯(cuò)。整堂課反映出的教學(xué)重點(diǎn)是求隨機(jī)事件的概率。孰不知學(xué)生出錯(cuò)的根本原因是在思維的過(guò)程中沒(méi)有有意識(shí)的將分布列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求互斥事件的概率。正所如皮之不存、毛之焉附，歷經(jīng)離散型隨機(jī)變量的分布列的概念的教學(xué)過(guò)程并形成解題時(shí)將分布列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求互斥事件的概率的意識(shí)理應(yīng)成為教學(xué)的重點(diǎn)。

　　2.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)是從創(chuàng)設(shè)概念的生長(zhǎng)點(diǎn)的問(wèn)題情境切入探究而不是拋給學(xué)生

“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、變式訓(xùn)練”的“拋式”數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，猶如過(guò)眼云煙，未建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)概念的理解猶如空中樓閣，未建立在思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行的類比歸納的正遷移思維猶如斷了翅膀的鳥(niǎo)，未歷經(jīng)數(shù)學(xué)概念的探究而進(jìn)行的變式訓(xùn)練亦不過(guò)是模仿解題?！皢?wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)活動(dòng)是由“情景問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)的，“問(wèn)題解決”是其主要的活動(dòng)形式，創(chuàng)設(shè)可以連續(xù)變式的正多面體的問(wèn)題情境，提出從低緯度向高緯度發(fā)展的問(wèn)題是歷經(jīng)數(shù)學(xué)概念再創(chuàng)造的好的開(kāi)始。

　　引例1：某人拋一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有幾種情況？如何表示？各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是多少？

　　引例2：100件產(chǎn)品中有10件次品，任取其中的4件，出現(xiàn)次品的情況有幾種？如何表示？各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是多少？

　　引例3：扔一枚硬幣，出現(xiàn)的結(jié)果有幾種？能用數(shù)表示嗎？如果可以，如何表示？各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是多少？

　　以上三個(gè)問(wèn)題，集中指向了先是隨機(jī)變量取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)概率的表示，更加如何簡(jiǎn)潔的表示，而離散型隨機(jī)變量的分布列也是概率的一種表示形式，古典概率就是離散型隨機(jī)變量的分布列的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。這就是將數(shù)學(xué)概念的引入情境化、順其自然、不強(qiáng)加于人，是要合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、不苛求與形式。3．?dāng)?shù)學(xué)概念的含義和性質(zhì)是剝洋蔥皮式的探究而不是變式訓(xùn)練的強(qiáng)化 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解出現(xiàn)偏差，往往是學(xué)生站的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的角度不合理、維度不全面，所以我借助于問(wèn)題串、采用“剝洋蔥皮”的方式從數(shù)學(xué)概念的外延出發(fā)探尋概念的內(nèi)涵。問(wèn)是深入思考的開(kāi)始、是質(zhì)疑探究的延續(xù)。

　　離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)是概念的外延，而離散型隨機(jī)變量的概率分布列的內(nèi)涵是一個(gè)必然事件分解成有限個(gè)互斥事件的概率的另一種表示形式，更主要的是應(yīng)在概念的生成中形成解決問(wèn)題的思維方法。

　　問(wèn)題1.通過(guò)以上簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列，歸納出離散型隨機(jī)變量的分布列具有哪些性質(zhì)？(學(xué)生發(fā)現(xiàn)性質(zhì))性質(zhì)2的理解是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，設(shè)置如下問(wèn)題串： 問(wèn)題2.性質(zhì)2的含義是什么？

　　問(wèn)題3.每一個(gè)分布列有多少個(gè)隨機(jī)事件？ 問(wèn)題4.隨機(jī)事件之間是什么關(guān)系？

　　問(wèn)題5.這些隨機(jī)事件構(gòu)成的復(fù)雜事件又表示什么事件？

　　通過(guò)以上問(wèn)題串的探究，就是要學(xué)生歷經(jīng)離散型隨機(jī)變量分布列的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，從而形成求解離散型隨機(jī)變量的分布列的方法和步驟：

①明確隨機(jī)變量的含義、確定隨機(jī)變量的取值 ②判定隨機(jī)事件的關(guān)系、計(jì)算隨機(jī)事件的概率 ③列表表示分布列、檢驗(yàn)是否構(gòu)成必然事件

　　這樣設(shè)計(jì)的目的是想避免學(xué)生在沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量的變式解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，是要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)思維來(lái)解決問(wèn)題。

　　在教學(xué)設(shè)計(jì)上要做整體的把握，應(yīng)該從基本點(diǎn)出發(fā)，形成交匯點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到制高點(diǎn)。教學(xué)的基本點(diǎn)就是“雙基”： 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。從雙基出發(fā)，使得基礎(chǔ)知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)、基本技能形成規(guī)律。教學(xué)的交匯點(diǎn)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

　　制高點(diǎn)是什么？制高點(diǎn)是重點(diǎn)，是可以達(dá)到必要深度的部分，但又不僅僅是重點(diǎn)。重點(diǎn)只是數(shù)學(xué)的結(jié)果，不指向如何應(yīng)對(duì)；而制高點(diǎn)致力于探尋問(wèn)題解決的基本思路，形成解決問(wèn)題的方法和規(guī)律。站在制高點(diǎn)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，就是首先要準(zhǔn)備貫徹什么樣的教學(xué)理念、采用什么樣的教學(xué)方法為支撐下的教學(xué)設(shè)計(jì)。所以我在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)重視情境預(yù)設(shè)、更重視思維的發(fā)展歷程，關(guān)注知識(shí)的內(nèi)化、更關(guān)注形成知識(shí)的方法的理性建構(gòu)。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)成長(zhǎng)于每一節(jié)課堂、成敗于每一點(diǎn)基礎(chǔ)、影響于每一個(gè)細(xì)節(jié)，讓每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂都真正在有利于學(xué)生發(fā)展為本的道路上改革，牢牢把握這個(gè)制高點(diǎn)，成功就水到渠成了。

　　二、值得注意的地方

　　在教學(xué)過(guò)程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。在課堂上，無(wú)論是新教師還是老教師，通常會(huì)把自己當(dāng)做課堂上的主人而過(guò)多的會(huì)忽略學(xué)生的主體地位；或者學(xué)生會(huì)因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間的習(xí)慣于聽(tīng)老師來(lái)講解而忘記自己是課堂的主人。在建立新知的過(guò)程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。每個(gè)問(wèn)題在設(shè)計(jì)時(shí)，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭(zhēng)提問(wèn)準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答。使思考和提問(wèn)持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生的思考有價(jià)值，對(duì)知識(shí)的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。但由于時(shí)間的把握，以及對(duì)學(xué)生的放手程度上‘實(shí)施落實(shí)的可能還不到位，有待改進(jìn)。

　　總之，在今后的教學(xué)工作中，需不斷總結(jié)、反思。作為數(shù)學(xué)教師，一方面要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感覺(jué)到每解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業(yè)水平。在總結(jié)、反思中不斷提升自己的教學(xué)水平，做一名真正合格的人民教師。

隨機(jī)變量及其分布2

　　教學(xué)對(duì)象 計(jì)劃學(xué)時(shí) 2

　　管理系505-13、14、15；經(jīng)濟(jì)系205-

　　1、2 授課時(shí)間

　　2006年3月3日；星期五；1—2節(jié)

　　教學(xué)內(nèi)容

　　第二章 一維隨機(jī)變量及其概率分布 第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律（續(xù)）

　　三、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

　　1、二點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布

　　2、泊松分布

　　通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生能夠：

　　1、掌握兩點(diǎn)分布

　　2、掌握貝努利概型和二項(xiàng)分布

　　3、掌握泊松分布

　　教學(xué)目的

　　知 識(shí)：

　　1、兩點(diǎn)分布

　　2、貝努利概型和二項(xiàng)分布

　　3、泊松分布

　　技能與態(tài)度

　　1、將生活中的隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)變量的分布相聯(lián)系

　　2、會(huì)分析計(jì)算生產(chǎn)實(shí)際中的概率問(wèn)題

　　教學(xué)重點(diǎn) 常見(jiàn)的分布 教學(xué)難點(diǎn) 貝努利概型

　　教學(xué)資源 自編軟件（演示貝努利概型）

　　教學(xué)后記

　　培養(yǎng)方案或教學(xué)大綱

　　修改意見(jiàn) 對(duì)授課進(jìn)度計(jì)劃 修改意見(jiàn) 對(duì)本教案的修改意見(jiàn) 教學(xué)資源及學(xué)時(shí) 調(diào)整意見(jiàn) 其他 教研室主任：

　　系部主任：

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　　第 1 頁(yè)

　　教學(xué)活動(dòng)流程

　　教學(xué)步驟、教學(xué)內(nèi)容、時(shí)間分配

　　一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課

　　復(fù)習(xí)內(nèi)容：（5分鐘）

　　1、隨機(jī)變量的概念

　　2、分布律的概念 導(dǎo)入新課：（2分鐘）

　　教學(xué)目標(biāo)

　　教學(xué)方法

　　提問(wèn)講解

　　鞏固所學(xué)知識(shí)，與技能

　　上一次我們引入了隨機(jī)變量的概念，已經(jīng)學(xué)會(huì)了用含有引出本節(jié)要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的等式或不等式來(lái)表示不同的隨機(jī)事件。在實(shí)際問(wèn)的主要內(nèi)容 題中，不同的離散型隨機(jī)變量擁有各自不同的分布律。但生

　　產(chǎn)管理和實(shí)際生活中，有很多隨機(jī)變量的分布規(guī)律是類似的，常見(jiàn)的分布有三類：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布

　　1、掌握兩點(diǎn)分布

　　二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　2、掌握貝努利概型和二項(xiàng)分布

　　3、掌握泊松分布

　　三、知識(shí)學(xué)習(xí)（50分鐘）

　　三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布

(一)兩點(diǎn)分布（0—1分布）若隨機(jī)變量X的分布律為

　　X01pP1?p，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。

　　若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面，射擊是否中靶，新生兒的性別，等等，它們都可以用（0-1）分布來(lái)描述，只不過(guò)對(duì)不同的問(wèn)題參數(shù)p的值不同而已?？梢?jiàn)，（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。

　　例

　　1、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，?1,取到白球以X表示取出球的顏色情況，即X=?，求X的0,取到紅球?分布律。

　　解：P{X=1}=1C61C10=，P{X=0}=

　　1C41C10=

　　則X的分布律為

(二)二項(xiàng)分布

　　二項(xiàng)分布是實(shí)際中很常見(jiàn)的一種分布，為了對(duì)它進(jìn)行研究，需要先介紹一種非常重要的概率模型——貝努利概型

　　我們?cè)趯?shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況:所考慮的試驗(yàn)是

　　掌握兩點(diǎn)分布的 概念

　　講授法

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁(yè)）

　　第 2 頁(yè) 由一系列的子試驗(yàn)組成的，而這些子試驗(yàn)的結(jié)果是互不影響的，即子試驗(yàn)之間是互相獨(dú)立的。例如，將一枚硬幣連續(xù)拋n次，我們可以將每拋一次看成一個(gè)子試驗(yàn)，而每次拋硬幣出現(xiàn)正面與反面的結(jié)果是互不影響的。而且隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是在大量的重復(fù)試驗(yàn)的條件下才呈現(xiàn)出來(lái)的，因此對(duì)某個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

　　我們只討論每次只有兩個(gè)結(jié)果的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

　　1、貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)

　　定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果：A或A，在相同的條件下將E重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果是互不影響，則稱這n重獨(dú)立試驗(yàn)。

　　它是數(shù)學(xué)家貝努利首先研究的，因此也叫n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)，這時(shí)討論的問(wèn)題叫貝努利概型

　　說(shuō)明：貝努利試驗(yàn)應(yīng)同時(shí)滿足以下條件：(1)在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；

(2)每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：A發(fā)生或A不發(fā)生；(3)在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的

　　對(duì)于貝努利概型，我們主要研究在n次貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率。

　　定理：在貝努利概型中，設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，則在n次貝努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次的概率kk為Pn(k)?Cn（k=0,1,2,?,n）p(1?p)n?k，理解貝努利概型

　　例2：將一枚均勻的硬幣拋擲3次（與3枚硬幣擲一次相當(dāng)），求正面出現(xiàn)1次的概率

　　解：n=3，k=1，p=，1-p=，則1P3(1)?C3()1(1?)3?1= 用古典概率解釋: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．說(shuō)明:簡(jiǎn)單問(wèn)題用古典概型解決還可以,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)太多時(shí),樣本點(diǎn)有2n個(gè)，只能用公式求解

　　軟件演示：

　　例3：從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有兩次取得次品的概率

　　解：將每一次抽取當(dāng)做一次試驗(yàn)，設(shè)A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一個(gè)5重貝努利試驗(yàn)，n=5，兩次取得次品，則有k=2，每次試驗(yàn)中

　　p = P(A)=1C31C12?13，則1-p=，44

　　掌握計(jì)算公式

　　講授法

　　講授法 板書

　　軟件演示

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　　第 3 頁(yè) 2因此P5(2)?C5()2(1?)5?2= 5122、二項(xiàng)分布

　　定義：若隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,?,n，且kkP{X=k}=Cnp(1?p)n?k，k =0,1,2,?,n

　　其中0

　　特例：當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布即為兩點(diǎn)分布 例4(P 21)

　　說(shuō)明：二項(xiàng)分布的應(yīng)用非常廣泛，但是當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，計(jì)算量又很大，平時(shí)解題可以不用計(jì)算，當(dāng)n>5時(shí)用式子表示即可。為便于應(yīng)用，可直接查閱二項(xiàng)分布表(P157附表6），查表結(jié)果是X取值從0到x的累計(jì)概率。即P{X≤x}。若計(jì)算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

　　例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

　　例5(P22)、工廠生產(chǎn)的螺絲次品率為，每個(gè)螺絲是否為次品是相互獨(dú)立的，產(chǎn)品出售時(shí)10個(gè)螺絲打成一包，并承諾若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨。用X表示一包內(nèi)次品的個(gè)數(shù)。求（1）X的分布律；（2）工廠的退貨率

　　解：對(duì)一包內(nèi)的10個(gè)螺絲逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，相當(dāng)于進(jìn)行10重貝努利試驗(yàn)，因此X~B(10,)

　　k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k()k()10?k，=0,1,2,?,10）（2）當(dāng)X>1時(shí)退貨，退貨率為：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k?0?1kC10()k()10?k

　　泊松定理（Poisson）:設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若npn=λ，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有?k??lim(1?pn)?e。（證：P23注釋）n???k!定理的條件npn=λ，意味著n很大時(shí)pn必定很小，由定理知，當(dāng)X~B(n, p)，且n很大而p很小時(shí)，有kCnkpnn?kkP{X=k}=Cnp(1?p)kn?k?k? ?e，λ=np ≈k!?k? ?e計(jì)算在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n≥20且p≤時(shí)，用k!kkCnp(1?p)n?k的近似值效果頗佳；

?k? ?當(dāng)n≥100且np≤10時(shí)，效果更好。e的值有表可

　　k!

　　掌握二項(xiàng)分布的計(jì)算

　　理解定理內(nèi)容

　　講授法 板書

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　　第 4 頁(yè)

　　N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈?e?3，k!k?0

　　N3k?3故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求N的最小值，使?e≥

　　k!k?0

　　N3k??3k即1??e?3??e?3?

　　k!k!k?0k?N?1

　　查書后附表2（P140）可知，當(dāng)N+1≥9即時(shí)N ≥8時(shí)，上式成立。因此，為達(dá)到上述要求，至少需配備8名維修工 人。

　　類似的問(wèn)題在其他領(lǐng)域也會(huì)遇到，如電話交換臺(tái)接線員 的配備，機(jī)場(chǎng)供飛機(jī)起降的跑道數(shù)的確定等.(三)泊松分布

　　定義：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2,?,而理解泊松分布的定義 ?k? ?查（見(jiàn)書后附表P139）

　　例

　　6、某車間有同類型的設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是，設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一名工人維修，問(wèn)至少需配備多少名維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于？

　　解 設(shè)需配備N名工人，X為同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則X~B(300,)。所需解決的問(wèn)題是確定N的最小值，使P(X≤N)≥ e，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λk!的泊松分布，記為X~P(λ)

　　具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的。例如，在每個(gè)時(shí)段內(nèi)電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)來(lái)到的顧客人數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過(guò)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)在車站候車的人數(shù)、單位面積上布匹的疵點(diǎn)數(shù)、單位時(shí)間內(nèi)商店銷售非緊俏商品的件數(shù)、等等，只要試驗(yàn)的結(jié)果為兩個(gè)，且由很多因素共同作用來(lái)決定的隨機(jī)變量，都可認(rèn)為是服從泊松分布。泊松分布也是一種常見(jiàn)的重要分布。它是二項(xiàng)分布的極限分布，因此可用泊松分布的計(jì)算公式計(jì)算二項(xiàng)分布。

　　例15：每分鐘經(jīng)過(guò)收費(fèi)站的汽車流量服從泊松分布：X ~P(5)，求每分鐘經(jīng)過(guò)該收費(fèi)站的汽車不足9輛的概率。

　　解：P{X<9}=1—P{X≥9}== P{X=k}=

　　例1 某人獨(dú)立地射擊目標(biāo)，每次射擊的命中率為，掌握分布律的性射擊200次，求目標(biāo)被擊中的概率。質(zhì)

　　解：把每次射擊看成一次試驗(yàn)，這是200重貝努利試驗(yàn)。設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X~B(200,)

　　四、技能學(xué)習(xí)（20分鐘）

　　教師提問(wèn)

　　引導(dǎo)學(xué)生寫出答案

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁(yè)）

　　第 5 頁(yè)

=0,1,2,?,200）

　　所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.= 說(shuō)明：雖然每次的命中率很小，但當(dāng)射擊次數(shù)足夠大時(shí)，擊中目標(biāo)的概率很大。這個(gè)事實(shí)告訴我們，一個(gè)事件盡管在 一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，kX的分布律為：P{X=k}=C200（k()k()200?k，這個(gè)事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說(shuō)，小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)室驗(yàn)中是不可忽視的。

　　當(dāng)問(wèn)題的規(guī)模很大時(shí)，一般n很大且p很小，無(wú)法查表。而直接計(jì)算又很麻煩，下面給出一個(gè)當(dāng)n很大而p很小時(shí)的近似計(jì)算公式.例

　　2、車間現(xiàn)有90臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，每臺(tái)發(fā)生故障的概率都是，且一臺(tái)設(shè)備的故障只能由一個(gè)人修理。配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開(kāi)維護(hù)，每人負(fù)責(zé)30臺(tái)；另一種是由3人共同維護(hù)90臺(tái)。分別求在兩種情況下車間的設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率。

　　解：設(shè)X為出現(xiàn)故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)

（1）每人負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)，可認(rèn)為是30重貝努利試驗(yàn)，因此X~B(30,)，當(dāng)X>1時(shí)等待修理。

λ=np =，P{X>1}= P{X≥2}≈?()e?≈

　　k?2??kk! Ai=“第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而無(wú)人修理”?？芍狿(Ai)=，而90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障無(wú)人修理的事件為A1∪A2∪A3，故采用第一種方法，所求概率為

　　p(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-()3=

（2）三人共同維護(hù)90臺(tái)，認(rèn)為是90重貝努利試驗(yàn)，因此X~B(90,)，當(dāng)X>3時(shí)等待修理。

　　而所求概率為P{X>3}= P{X≥4}≈?()e?≈

　　k?4??kk! 因?yàn)?，顯然共同負(fù)責(zé)比分塊負(fù)責(zé)的維修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知識(shí)可以解決運(yùn)籌學(xué)所要解決的有效運(yùn)用人力、物力資源的某些問(wèn)題。

　　五、態(tài)度養(yǎng)成

　　六、技能訓(xùn)練（16分鐘）

　　做事認(rèn)真的態(tài)度

　　通過(guò)實(shí)際訓(xùn)練，學(xué)生練習(xí)練習(xí)：一大樓有五個(gè)同類型的獨(dú)立供水設(shè)備，在任意時(shí)使學(xué)生理解樣本老師巡刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為，問(wèn)在同一時(shí)刻 的寫法與含義 視，解答《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁(yè)）

　　第 6 頁(yè)(1)恰好有兩個(gè)設(shè)備被使用的概率P1是多少?(2)至少有三個(gè)設(shè)備被使用的概率P2是多少?(3)至多有三個(gè)設(shè)備被使用的概率P3是多少?(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率P4是多少? 解：在同一時(shí)刻觀察五個(gè)設(shè)備,它們工作與否是相互獨(dú)立的,故可視為5重貝努里試驗(yàn)，n=5，p=，于是可得：

　　2(1)P1＝P5(2)＝C5()2()53＝

－

　　問(wèn)題

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.(4)P4＝1－P5(0)＝1－＝0. {X=0}={沒(méi)有取到次品}，P{X=0}=

　　02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C10?7 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}=?{X=2}={取到兩件次品}，P{X=2}=?1 15XX的分布律為：P0 1

　　5七、課堂小結(jié)（3分鐘）

　　在學(xué)習(xí)時(shí)要理解三種分布之間的關(guān)系：兩點(diǎn)分布討論的是一次貝努利試驗(yàn)的結(jié)果，它只有兩個(gè)結(jié)果，二項(xiàng)分布討論的是N次貝努利試驗(yàn)的結(jié)果，它有N+1個(gè)結(jié)果。兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，泊泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布。它對(duì)應(yīng)無(wú)窮多次的貝努利試驗(yàn)，因此，貝努利試驗(yàn)是非常重要的一類試驗(yàn)。

　　概括總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系

　　簡(jiǎn)要概括本節(jié)內(nèi)容

　　八、布置作業(yè)（1分鐘）

　　復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容

　　預(yù)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量 P36—5、6、7

　　鞏固所學(xué)的知識(shí) 培養(yǎng)自學(xué)能力

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁(yè)）

　　第 7 頁(yè)

隨機(jī)變量及其分布3

　　2-3隨機(jī)變量及其分布

　　要點(diǎn)歸納離散型隨機(jī)變量及其分布列

　　一、1．(1)隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．通常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．(3)離散型隨機(jī)變量的分布列：一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2…，xi，…xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

　　XPx1p1x2p2……xipi……xnpn我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(4)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②?pi＝＝1n(5)常見(jiàn)的分布列：兩點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率.XP01－p1p兩點(diǎn)分布又稱0－1分布，伯努利分布． 超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝nkCkMCN－Mk)＝，k＝0，1，2，…，m，即 CnN－XP0n0C0MCN－M CnN－1n1C1MCN－M CnN－……mnmCmMCN－M nCN－

　　其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．二項(xiàng)分布及其應(yīng)用2．(1)條件概率：一般地，設(shè)A和B是兩個(gè)事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝P（AB）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生P（A）的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．(2)條件概率的性質(zhì)：①0≤P(B|A)≤1；②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0；

③如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互獨(dú)立性：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與－B，－A與B，－A與－B也都相互獨(dú)立．(4)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(5)二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．兩點(diǎn)分布是當(dāng)n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．3．離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值、方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．稱D(X)＝?(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，D（X）為i＝1n

　　隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)均值與方差的性質(zhì)：若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常見(jiàn)分布的均值和方差公式：①兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．

(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)： ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱； ③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值σ1； 2π④曲線與x軸之間的面積為1.(3)μ和σ對(duì)正態(tài)曲線的影響：①當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；②當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(4)正態(tài)分布的3σ原則：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝ 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝ 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ 4.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3σ原則． 專題一條件概率1．條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)和P(AB)，解得P(B|A)＝ P（AB）.P（A）(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件數(shù) n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事 n（AB）件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝.n（A）

　　2．解決概率問(wèn)題要注意“三個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”(1)求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)；第二步，判斷事件的運(yùn)算；第三步，運(yùn)用公式．(2)概率問(wèn)題常常與排列、組合知識(shí)相結(jié)合．

【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n(Ω)＝A25＝根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)＝A1×A34＝（A）123于是P(A)＝＝＝.n（Ω）205

　　專題二相互獨(dú)立事件的概率求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)1．行考查，解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在些基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解．特別注意以下兩公式的使用前提2．(1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立． 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件，甲機(jī)床加【例2】1工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，4乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的12概率為，甲丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.129(1)分別求出甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．

　　專題三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量的分布列在高中階段主要學(xué)習(xí)兩種：超幾1．何分布與二項(xiàng)分布，由于這兩種分布列在生活中應(yīng)用較為廣泛，故在高考中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查相對(duì)較靈活，常與期望、方差融合在一起，橫向考查．對(duì)于分布列的求法，其難點(diǎn)在于每個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)相關(guān)2．概率的求法，計(jì)算時(shí)可能會(huì)用到等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式等．均值與方差都是隨機(jī)變量重要的數(shù)字特征，方差是建立在3．均值這一概念之上的，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義，因此在當(dāng)前的高考中是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．

【例3】 某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加15次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是，每次測(cè)試時(shí)3間間隔恰當(dāng)．每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立．(1)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；(2)如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望． P(X＝5)＝C1··??＋??＝.4???3????3?327故X的分布列為： X21 934 2744 27PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

　　棗莊檢測(cè))某單位為了參加上級(jí)組織的普及消防知【例4】(2012·識(shí)競(jìng)賽，需要從兩名選手中選出一人參加．為此，設(shè)計(jì)了一個(gè)挑選方案：選手從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題．通過(guò)考查得知：6道備選題中選手甲有4道題能夠答對(duì)，2道題答錯(cuò)；2選手乙答對(duì)每題的概率都是，且各題答對(duì)與否互不影響．設(shè)3選手甲、選手乙答對(duì)的題數(shù)分別為ξ，η.(1)寫出ξ的概率分布列(不要求計(jì)算過(guò)程)，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．請(qǐng)你根據(jù)得到的數(shù)據(jù)，建議該單位派哪個(gè)選手參加競(jìng)賽？

ξ解(1)ξ的概率分布列為P11 523 531 5131所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝?2?2由題意，η～B?3，?，E(η)＝3×＝2，3?3???1013??＝； 或者P(η＝0)＝C327?3??2?1?1?22P(η＝1)＝C13????＝； 9?3??3??2?2?1?4??8323????P(η＝2)＝C2＝；P(η＝3)＝C，33??＝27?3??3?9?3?

　　專題四 正態(tài)分布

【例5】某市去年高考考生成績(jī)服從正態(tài)分布N(500，502)，現(xiàn)有25 000名考生，試確定考生成績(jī)?cè)?50～600分的人數(shù)．解 ∵考生成績(jī)X～N(500，502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P＝(550＜X≤600)1＝[P(500－2×50＜X≤500＋2×50)－P(500－50＜X≤500＋250)] 1＝( 4－ 6)＝ 故考生成績(jī)?cè)?50～600分的人數(shù)約為25 000× 9 ≈3 398(人)．

隨機(jī)變量及其分布3篇 常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布相關(guān)文章：