證明勾股定理多種常用方法3篇(勾股定理的證明方法最簡(jiǎn)單的6種)

時(shí)間：2022-10-24 10:29:00 綜合范文

　　下面是范文網(wǎng)小編分享的證明勾股定理多種常用方法3篇(勾股定理的證明方法最簡(jiǎn)單的6種)，供大家參考。

證明勾股定理多種常用方法1

　　勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，則：AB^2+AC^2=BC^2。該定理有不同的證明方法，現(xiàn)用一種方法證明如下：如圖作4個(gè)與Rt△ABC全等的三角形。不失一般性地設(shè)AB>AC。很明顯，4個(gè)直角三角形的`面積+小正方形的面積=大正方形的面積。 ∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2， ∴AB^2+AC^2=BC^2。特別地，當(dāng)AB=AC時(shí)，看成小正方形的面積為0，得：2AB×AC=BC^2，改寫(xiě)一下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。 [說(shuō)明：當(dāng)Ac>AB時(shí)，將上述證明過(guò)程中的字母B、C調(diào)換一下就可以了。] 4

　　滿意答案

　　最初的證明是分割型的。設(shè)a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊?？紤]下圖兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由于八個(gè)小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等于兩個(gè)直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長(zhǎng)為c的正方形是因?yàn)?，直角三角形三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國(guó)《周髀算經(jīng)》中的“弦圖”。

　　下圖是H.珀里加爾(Perigal)在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實(shí)這種證明是重新發(fā)現(xiàn)的，因?yàn)檫@種劃分方法，labitibn Qorra(826～901)已經(jīng)知道。(如：右圖)下面的一種證法，是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。

　　如右圖所示，邊長(zhǎng)為b的正方形的面積加上邊長(zhǎng)為a的正方形的面積，等于邊長(zhǎng)為c的正方形面積。

　　下圖的證明方法，據(jù)說(shuō)是L•達(dá)•芬奇(da Vinci, 1452～1519)設(shè)計(jì)的，用的是相減全等的證明法。

　　歐幾里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個(gè)極其巧妙的證明，如次頁(yè)上圖。由于圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實(shí)在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發(fā)往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：

　　(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

　　同理，(BC)2=KEBL

證明勾股定理多種常用方法2

　　(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

　　印度數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅(Bhaskara，活躍于1150年前后)對(duì)勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形;一部分為兩直角邊之差為邊長(zhǎng)的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個(gè)直角邊上的正方形之和。事實(shí)上，

　　婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫(huà)出直角三角形斜邊上的高，得兩對(duì)相似三角形，從而有

　　c/b=b/m，

　　c/a=a/n,

　　cm=b2

　　cn=a2

　　兩邊相加得

　　a2+b2=c(m+n)=c2

　　這個(gè)證明，在十七世紀(jì)又由英國(guó)數(shù)學(xué)家J.沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發(fā)現(xiàn)。

　　有幾位美國(guó)總統(tǒng)與數(shù)學(xué)有著微妙聯(lián)系。G•華盛頓曾經(jīng)是一個(gè)著名的測(cè)量員。T•杰弗遜曾大力促進(jìn)美國(guó)高等數(shù)學(xué)教育。A.林肯是通過(guò)研究歐幾里得的《原本》來(lái)學(xué)習(xí)邏輯的。更有創(chuàng)造性的是第十七任總統(tǒng)J.A.加菲爾德(Garfield, 1831～1888)，他在學(xué)生時(shí)代對(duì)初等數(shù)學(xué)就具有強(qiáng)烈的興趣和高超的才能。在1876年，(當(dāng)時(shí)他是眾議院議員，五年后當(dāng)選為美國(guó)總統(tǒng))給出了勾股定理一個(gè)漂亮的證明，曾發(fā)表于《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁(yè)圖所示，是由三個(gè)直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得

　　即

　　a2+2ab+b2=2ab+c2

　　a2+b2=c2

證明勾股定理多種常用方法3

　　最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)玫秸?叫蜛BDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為(b-a)2。于是便可得如下的式子：

　　4×(ab/2)+(b-a)2=c2

　　化簡(jiǎn)后便可得：

　　a2+b2=c2

　　亦即：

　　c=(a2+b2)(1/2)

　　稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(lái)(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問(wèn)題。

　　再給出兩種

　　1。做直角三角形的高，然后用相似三角形比例做出。

　　2。把直角三角形內(nèi)接于圓。然后擴(kuò)張做出一矩形。最后用一下托勒密定

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