下面是范文網(wǎng)小編整理的等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用3篇(等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用論文),供大家品鑒。
等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用1
等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)
(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)
1.等差數(shù)列的定義: an?an?1?d(d為常數(shù))(n?2);
2.等差數(shù)列通項公式:
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*),首項:a1,公差:d,末項:an
推廣: an?am?(n?m)d.從而d?
3.等差中項
(1)如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項.即:A?
(2)等差中項:數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?
24.等差數(shù)列的判定方法
(1)定義法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列.?an?am; n?ma?b或2A?a?b 2
(2)等差中項:數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2.
⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b(其中k,b是常數(shù))。
(4)數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,(其中A、B是常數(shù))。
5.等差數(shù)列的證明方法
定義法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列. ?
6.提醒:
(1)等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中,涉及到5個元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2。
(2)設(shè)項技巧:
①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d
②奇數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?(公差為d);
③偶數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為?,a?3d,a?d,a?d,a?3d,?(注意;公差為2d)
8..等差數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng)公差d?0時,等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;
前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為
2(2)若公差d?0,則為遞增等差數(shù)列,若公差d?0,則為遞減等差數(shù)列,若公差d?0,則為常數(shù)列。
(3)當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq,特別地,當(dāng)m?n?2p時,則有am?an?2ap.注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2????,(4)若?an?、?bn?為等差數(shù)列,則??an?b?,??1an??2bn?都為等差數(shù)列
(5)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列 *
(二).等差數(shù)列的前n項和公式:(1)Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 222
2(其中A、B是常數(shù),所以當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0)
特別地,當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時,an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項
S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1(項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項)
(2)若{an}是等差數(shù)列,則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?也成等差數(shù)列
(3)設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列,d為公差,S奇是奇數(shù)項的和,S偶是偶數(shù)項項的和,Sn是前n項的和
1.當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時,S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan
2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd
S奇nana??n S偶nan?1an?
12、當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時,則
?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?
(其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項).
(4)?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn,且
則
(5)等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n,前m項和Sn?m,則前m+n項和Sm?n???m?n?
(6)求Sn的最值
法一:因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性An?f(n),nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1n?N*。
法二:(1)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和
?an?0即當(dāng)a1?0,d?0,由?可得Sn達(dá)到最大值時的n值. a?0?n?1
(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前n項和的最小值是所有非正項之和。
即 當(dāng)a1?0,d?0,由?
或求?an?中正負(fù)分界項 ?an?0可得Sn達(dá)到最小值時的n值. ?an?1?0
法三:直接利用二次函數(shù)的對稱性:由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù),故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q則其對稱軸為n?
注意:解決等差數(shù)列問題時,通??紤]兩類方法:
①基本量法:即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程;
②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì),一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡,減少運(yùn)算量.
p?q 2
等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用2
等差數(shù)列的性質(zhì)
1.?dāng)?shù)列
為等差數(shù)列,則a3=
2.設(shè)x,a1,a2,a3,y成等差數(shù)列,x,b1,b2,b3,b4,y成等差數(shù)列,則的值是
等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用3
1.等差數(shù)列的定義式:an?an?
12.等差數(shù)列通項公式:
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*),首項:a1,公差:d,末項:an
a?am推廣: an?am?(n?m)d.從而d?n; n?m
3.等差中項
(1)如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項.即:A?
(2)等差中項:數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?
24.等差數(shù)列的前n項和公式:
n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222
(其中A、B是常數(shù),所以當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0)
特別地,當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時,an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項
S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)(n?2); ?d(d為常數(shù))?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1(項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項)
5.等差數(shù)列的判定方法
(1)定義法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列.
(2)等差中項:數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2.⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b(其中k,b是常數(shù))。
(4)數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,(其中A、B是常數(shù))。
6.等差數(shù)列的證明方法
定義法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列 等差中項性質(zhì)法:2an?an-1?an?1(n?2,n?N?).
7.提醒:
(1)等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中,涉及到5個元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2。
(2)設(shè)項技巧:
①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d
②奇數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?(公差為d); ③偶數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為?,a?3d,a?d,a?d,a?3d,?(注意;公差為2d)
8.等差數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng)公差d?0時,等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.前n和Sn?na1?22
2(2)若公差d?0,則為遞增等差數(shù)列,若公差d?0,則為遞減等差數(shù)列,若公差d?0,則為常數(shù)列。
(3)當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq,特別地,當(dāng)m?n?2p時,則有am?an?2ap.注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2????,(4)若?an?、?bn?為等差數(shù)列,則??an?b?,??1an??2bn?都為等差數(shù)列
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(5)若{an}是等差數(shù)列,則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?也成等差數(shù)列
(6)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列
(7)設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列,d為公差,S奇是奇數(shù)項的和,S偶是偶數(shù)項項的和,Sn是前n項的和
。當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時,S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan
2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd
S偶
S奇?nan?1an?1 ?nanan
。當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時,則
?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???
(其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項).
(8){bn}的前n和分別為An、Bn,且
則An?f(n),nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1
(9)等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n,前m項和Sn?m,則前m+n項和Sm?n???m?n? an?m,am?n,則an?m?0
(10)求Sn的最值
法一:因等差數(shù)列前n項是關(guān)于n的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。
法二:(1)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和
?a?0即當(dāng)a1?0,d?0,由?n可得Sn達(dá)到最大值時的n值. ?an?1?0
(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前n項和的最小值是所有非正項之和。
?an?0即 當(dāng)a1?0,d?0,由?可得Sn達(dá)到最小值時的n值. a?0?n?1
或求?an?中正負(fù)分界項
注意:解決等差數(shù)列問題時,通??紤]兩類方法:
①基本量法:即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程;
②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì),一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡,減少運(yùn)算量.
-讓夢想起飛,讓成績飛揚(yáng)!
等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用3篇(等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用論文)相關(guān)文章: