下面是范文網(wǎng)小編整理的等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用3篇(等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用論文)，供大家品鑒。

等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用1

　　等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)

(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)

　　1.等差數(shù)列的定義： an?an?1?d（d為常數(shù)）（n?2）；

　　2．等差數(shù)列通項公式：

　　an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an

　　推廣： an?am?(n?m)d．從而d?

　　3．等差中項

（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?

　　24．等差數(shù)列的判定方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列．?an?am； n?ma?b或2A?a?b 2

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

　　5．等差數(shù)列的證明方法

　　定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列． ?

　　6.提醒：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設(shè)項技巧：

①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

　　8..等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

　　前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為

　　2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

(5)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列 *

(二)．等差數(shù)列的前n項和公式：(1)Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 222

　　2（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）

　　特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

　　S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

（2）若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

（3）設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項的和，S偶是偶數(shù)項項的和，Sn是前n項的和

　　1.當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

　　2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

　　S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

　　S奇nana??n S偶nan?1an?

　　12、當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，則

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?

（其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）．

（4）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

　　則

（5）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?

(6)求Sn的最值

　　法一：因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1n?N*。

　　法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和

?an?0即當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最大值時的n值． a?0?n?1

（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

　　即 當(dāng)a1?0，d?0，由?

　　或求?an?中正負(fù)分界項 ?an?0可得Sn達(dá)到最小值時的n值． ?an?1?0

　　法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?

　　注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程；

②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量．

　　p?q 2

等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用2

　　等差數(shù)列的性質(zhì)

　　1．?dāng)?shù)列

　　為等差數(shù)列，則a3=

　　2．設(shè)x，a1，a2，a3，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，b3，b4，y成等差數(shù)列，則的值是

等差數(shù)列的一個特征性質(zhì)及應(yīng)用3

　　1.等差數(shù)列的定義式：an?an?

　　12．等差數(shù)列通項公式：

　　an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an

　　a?am推廣： an?am?(n?m)d．從而d?n； n?m

　　3．等差中項

（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?

　　24．等差數(shù)列的前n項和公式：

　　n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222

（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）

　　特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

　　S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)（n?2）； ?d（d為常數(shù)）?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

　　5．等差數(shù)列的判定方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

　　6．等差數(shù)列的證明方法

　　定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列 等差中項性質(zhì)法：2an?an-1?an?1(n?2，n?N?)．

　　7.提醒：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設(shè)項技巧：

①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）； ③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

　　8.等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

　　n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.前n和Sn?na1?22

　　2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

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(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

（6）數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列

（7）設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項的和，S偶是偶數(shù)項項的和，Sn是前n項的和

。當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

　　2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

　　S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd

　　S偶

　　S奇?nan?1an?1 ?nanan

。當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，則

?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???

（其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）．

（8）{bn}的前n和分別為An、Bn，且

　　則An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1

（9）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n? an?m,am?n,則an?m?0

(10)求Sn的最值

　　法一：因等差數(shù)列前n項是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。

　　法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和

?a?0即當(dāng)a1?0，d?0，由?n可得Sn達(dá)到最大值時的n值． ?an?1?0

（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

?an?0即 當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最小值時的n值． a?0?n?1

　　或求?an?中正負(fù)分界項

　　注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程；

②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量．

-讓夢想起飛，讓成績飛揚(yáng)！

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