下面是范文網(wǎng)會員“gf2282”收集的三角函數(shù)二倍角（共7篇），供大家參考。

三角函數(shù)教案 篇1

　　二、復習要求

　　1、 三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念;

　　2、三角公式,包括誘導公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等;

　　3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。

　　三、學習指導

　　1、角的概念的推廣。從運動的角度,在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進負角及大于3600的角。這樣一來,在直角坐標系中,當角的終邊確定時,其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點與原點重合,下同)。為了把握這些角之間的聯(lián)系,引進終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。

　　在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時,通常先確定角的終邊位置,然后再確定大小。

　　弧度制是角的度量的重要表示法,能正確地進行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧長公式l=|α|r,扇形面積公式 ,其中α為弧所對圓心角的弧度數(shù)。

　　2、利用直角坐標系,可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點,從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學定義解題。

　　設(shè)p(x,y)是角α終邊上任一點(與原點不重合),記 ,則 , , , 。

　　利用三角函數(shù)定義,可以得到(1)誘導公式:即 與α之間函數(shù)值關(guān)系(k∈z),其規(guī)律是"奇變偶不變,符號看象限";(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式:平方關(guān)系,倒數(shù)關(guān)系,商數(shù)關(guān)系。

　　3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式,誘導公式是和差公式的特例,對公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,變形后得 ,可以作為降冪公式使用。

　　三角變換公式除用來化簡三角函數(shù)式外,還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準備。

　　4、三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外,還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。周期性的定義:設(shè)t為非零常數(shù),若對f(x)定義域中的每一個x,均有f(x t)=f(x),則稱t為f(x)的周期。當t為f(x)周期時,kt(k∈z,k≠0)也為f(x)周期。

　　三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾何作圖法,熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。

　　5、本章思想方法

　　(1) 等價變換。熟練運用公式對問題進行轉(zhuǎn)化,化歸為熟悉的基本問題;

　　(2) 數(shù)形結(jié)合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題;

　　(3) 分類討論。

　　四、典型例題

　　例1、 已知函數(shù)f(x)=

　　(1) 求它的定義域和值域;

　　(2) 求它的單調(diào)區(qū)間;

　　(3) 判斷它的奇偶性;

　　(4) 判斷它的周期性。

　　分析:

　　(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數(shù)線及 ,k∈z

　　∴ 函數(shù)定義域為 ,k∈z

　　∵

　　∴ 當x∈ 時,

　　∴

　　∴

　　∴ 函數(shù)值域為[ )

　　(3)∵ f(x)定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點關(guān)于原點不對稱

　　∴ f(x)不具備奇偶性

　　(4)∵ f(x 2π)=f(x)

　　∴ 函數(shù)f(x)最小正周期為2π

　　注;利用單位圓中的三角函數(shù)線可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分線為標準,可區(qū)分sinx-cosx的符號;

　　以ⅱ、ⅲ象限角平分線為標準,可區(qū)分sinx cosx的符號,如圖。

　　例2、 化簡 ,α∈(π,2π)

　　分析:

　　湊根號下為完全平方式,化無理式為有理式

　　∵

　　∴ 原式=

　　∵ α∈(π,2π)

　　∴

　　∴

　　當 時,

　　∴ 原式=

　　當 時,

　　∴ 原式=

　　∴ 原式=

　　注:

　　1、本題利用了"1"的逆代技巧,即化1為 ,是欲擒故縱原則。一般地有 , , 。

　　2、三角函數(shù)式asinx bcosx是基本三角函數(shù)式之一,引進輔助角,將它化為 (取 )是常用變形手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟練掌握變形結(jié)論。

　　例3、 求 。

　　分析:

　　原式=

　　注:在化簡三角函數(shù)式過程中,除利用三角變換公式,還需用到代數(shù)變形公式,如本題平方差公式。

　　例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程 =0的兩個實數(shù)根,求sin(β-5α)的值。

　　分析:

　　由韋達定理得sinα sinβ= cos400,sinαsinβ=cos2400-

　　∴ sinβ-sinα=

　　又sinα sinβ= cos400

　　∴

　　∵ 00<α<β< 900

　　∴

　　∴ sin(β-5α)=sin600=

　　注:利用韋達定理變形尋找與sinα,sinβ相關(guān)的方程組,在求出sinα,sinβ后再利用單調(diào)性求α,β的值。

　　例5、(1)已知cos(2α β) 5cosβ=0,求tan(α β)·tanα的值;

　　(2)已知 ,求 的值。

　　分析:

　　(1) 從變換角的差異著手。

　　∵ 2α β=(α β) α,β=(α β)-α

　　∴ 8cos[(α β) α] 5cos[(α β)-α]=0

　　展開得:

　　13cos(α β)cosα-3sin(α β)sinα=0

　　同除以cos(α β)cosα得:tan(α β)tanα=

　　(2) 以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點出發(fā)

　　∵

　　∴

　　∴ tanθ=2

　　∴

　　注;齊次式是三角函數(shù)式中的基本式,其處理方法是化切或降冪。

　　例6、已知函數(shù) (a∈(0,1)),求f(x)的最值,并討論周期性,奇偶性,單調(diào)性。

　　分析:

　　對三角函數(shù)式降冪

　　∴ f(x)=

　　令

　　則 y=au

　　∴ 0<a<1

　　∴ y=au是減函數(shù)

　　∴ 由 得 ,此為f(x)的減區(qū)間

　　由 得 ,此為f(x)增區(qū)間

　　∵ u(-x)=u(x)

　　∴ f(x)=f(-x)

　　∴ f(x)為偶函數(shù)

　　∵ u(x π)=f(x)

　　∴ f(x π)=f(x)

　　∴ f(x)為周期函數(shù),最小正周期為π

　　當x=kπ(k∈z)時,ymin=1

　　當x=kπ (k∈z)時,ynax=

　　注:研究三角函數(shù)性質(zhì),一般降冪化為y=asin(ωx φ)等一名一次一項的形式。

　　同步

　　(一) 選擇題

　　1、下列函數(shù)中,既是(0, )上的增函數(shù),又是以π為周期的偶函數(shù)是

　　a、y=lgx2 b、y=|sinx| c、y=cosx d、y=

　　2、 如果函數(shù)y=sin2x acos2x圖象關(guān)于直線x=- 對稱,則a值為

　　a、 - b、-1 c、1 d、

　　3、函數(shù)y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一個周期內(nèi),當x= 時,ymax=2;當x= 時,ymin=-2,則此函數(shù)解析式為

　　a、 b、

　　c、 d、

　　4、已知 =1998,則 的值為

　　a、1997 b、1998 c、1999 d、

　　5、已知tanα,tanβ是方程 兩根,且α,β ,則α β等于

　　a、 b、 或 c、 或 d、

　　6、若 ,則sinx·siny的最小值為

　　a、-1 b、- c、 d、

　　7、函數(shù)f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是

　　a、 b、 c、7 d、8

　　8、若θ∈(0,2π],則使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是

　　a、( ) b、( ) c、( ) d、( )

　　9、下列命題正確的是

　　a、 若α,β是第一象限角,α>β,則sinα>sinβ

　　b、 函數(shù)y=sinx·cotx的單調(diào)區(qū)間是 ,k∈z

　　c、 函數(shù) 的最小正周期是2π

　　d、 函數(shù)y=sinxcos2φ-cosxsin2x的圖象關(guān)于y軸對稱,則 ,k∈z

　　10、 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是

　　a、 b、

　　b、 d、 k∈z

　　(二) 填空題

　　11、 函數(shù)f(x)=sin(x θ) cos(x-θ)的圖象關(guān)于y軸對稱,則θ=。

　　12、 已知α β= ,且 (tanαtanβ c) tanα=0(c為常數(shù)),那么tanβ=。

　　13、 函數(shù)y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為。

　　14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,則x y的最大值為。

　　15、 函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對稱中心是。

　　(三) 解答題

　　16、 已知tan(α-β)= ,tanβ= ,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。

　　17、 是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x acosx 在閉區(qū)間[0, ]上的最大值是1?若存在,求出對應(yīng)的a值。

　　18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x (x∈r)

　　(1) 求f(x)的最小正周期;

　　(2) 求f(x)單調(diào)區(qū)間;

　　(3) 求f(x)圖象的對稱軸,對稱中心。

　　參考答案

　　(一) 選擇題

　　1、b 2、b 3、b 4、b 5、a 6、c 7、c 8、c 9、d 10、b

　　(二) 填空題

　　11、 ,k∈z 12、 13、-4 14、 15、( ,0)

　　(三) 解答題

　　16、

　　17、

　　18、(1)t=π

　　(2)增區(qū)間[kπ- ,kπ π],減區(qū)間[kπ

　　(3)對稱中心( ,0),對稱軸 ,k∈

高三數(shù)學三角函數(shù)公式 篇2

　　sinα=∠α的對邊/斜邊

　　cosα=∠α的鄰邊/斜邊

　　tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊

　　cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊

　　倍角公式

　　sin2A=2SinA?CosA

　　cos2A=CosA?-SinA?=1-2SinA?=2CosA?-1

　　tan2A=(2tanA)/(1-tanA?)

(注：SinA?是sinA的平方sin2(A))

　　三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

　　tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

　　三倍角公式推導

　　sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

　　三角函數(shù)輔助角公式

　　Asinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)sin(α+t)，其中

　　sint=B/(A?+B?)’(1/2)

　　cost=A/(A?+B?)’(1/2)

　　tant=B/A

　　Asinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

　　降冪公式

　　sin?(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

　　cos?(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

　　tan?(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

　　三角函數(shù)推導公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos?α

　　1-cos2α=2sin?α

　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)?=2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina=3sina-4sin?a

　　cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos?a-1)cosa-2(1-sin?a)cosa=4cos?a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin?a=4sina(3/4-sin?a)=4sina[(√3/2)?-sin?a]=4sina(sin?60°-sin?a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

　　cos3a=4cos?a-3cosa=4cosa(cos?a-3/4)=4cosa[cos?a-(√3/2)?]=4cosa(cos?a-cos?30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

　　上述兩式相比可得

　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

　　三角函數(shù)半角公式

　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

　　sin?(a/2)=(1-cos(a))/2

　　cos?(a/2)=(1+cos(a))/2

　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

　　三角函數(shù)三角和

　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

　　三角函數(shù)兩角和差

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　三角函數(shù)和差化積

　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

　　三角函數(shù)積化和差

　　sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2

　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　三角函數(shù)誘導公式

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(—a)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tanA=sinA/cosA

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　tan(π-α)=-tanα

　　tan(π+α)=tanα

　　誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

　　萬能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]

　　cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]

　　其它公式

(1)(sinα)?+(cosα)?=1

(2)1+(tanα)?=(secα)?

(3)1+(cotα)?=(cscα)?

　　證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)?,第二個除(cosα)?即可

(4)對于任意非直角三角形,總有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

　　整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得證同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關(guān)系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)?+(cosB)?+(cosC)?=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)?+(sinB)?+(sinC)?=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及

　　sin?(α)+sin?(α-2π/3)+sin?(α+2π/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

任意角三角函數(shù)教學設(shè)計 篇3

“任意角三角函數(shù)定義”的教學認識與設(shè)計

　　浙江金華第一中學 孔小明

　　本文首先對三角函數(shù)定義的教學進行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學的主干問題設(shè)計.1．整體把握，使教學線索清晰，層次分明

　　三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型.高中學習的三角函數(shù)是在初中學習銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過用旋轉(zhuǎn)的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學要以函數(shù)思想為指導，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認知的起點，促進任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學習目標是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程,領(lǐng)悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗.由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數(shù)定義,與學生初中學習的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個側(cè)重代數(shù)的坐標（比值）表示.與學生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的對應(yīng),而三角函數(shù)首先是實數(shù)（弧度數(shù)）到點的坐標的對應(yīng),然后才是實數(shù)（弧度數(shù)）到實數(shù)（橫坐標或縱坐標）的對應(yīng).學生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學生理解定義的關(guān)鍵是讓學生經(jīng)歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點在終邊上的位置無關(guān)，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設(shè)計改變了以往純學術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認為,教學設(shè)計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學精煉、簡約而高效

　　由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設(shè)計,根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創(chuàng)造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個環(huán)節(jié)進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態(tài),使學生感受“數(shù)學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數(shù)學課標課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學對高中數(shù)學支持減弱，新課程賦予數(shù)學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實也是沒必要的.事實上，學生在校以學習間接經(jīng)驗為主,學生的學習主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對教學起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問題.之前,在任意角內(nèi)容的學習中,學生已經(jīng)有了在直角坐標系內(nèi)討論角的經(jīng)驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數(shù).筆者認為，從幫助學生理解定義的實質(zhì)，體會坐標思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當?shù)恼Z言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設(shè)計具有啟示性：

　　現(xiàn)在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內(nèi)的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

　　上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關(guān)鍵問題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導學生從函數(shù)的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來認識三角函數(shù).在第三個環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應(yīng)關(guān)系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設(shè)置問題,不愧為“棋高一招”：

　　大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

　　在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認知準備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設(shè)計.先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會生活和科學實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問題1：在初中，我們已經(jīng)學習了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，為用坐標定義三角函數(shù)作準備.問題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導學生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內(nèi)進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復始”的現(xiàn)象.坐標系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數(shù).問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

　　意圖：引導學生用坐標表示銳角三角函數(shù).問題5：各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

　　意圖：扣準函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強函數(shù)觀念.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結(jié)論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應(yīng)關(guān)系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問題7：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導學生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性，先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學設(shè)計

　　陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，）

　　一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數(shù)學中其他學科的基礎(chǔ)．

　　角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°~360°內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．

　　比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．

　　從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

　　任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

　　任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．

　　任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．

　　在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學思想方法． 二．目標和目標解析

　　本節(jié)課的目標是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

　　學生已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．

　　理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復習銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

　　要實現(xiàn)讓學生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

　　三．教學問題診斷分析

　　從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學習，從認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

　　學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

　　教學的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學支持條件分析

　　利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學效果．）內(nèi)的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)

　　要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

　　問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

　　教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

　　意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學習任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：

（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？

　　意圖：學生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

　　問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？

　　意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．

　　銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．

　　問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

　　意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．

　　三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

　　教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．

　　問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

　　意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權(quán)交給學生，引導學生參與定義過程，發(fā)展思維．

　　有兩種可能的回答．

　　可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

　　可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

　　不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

　　引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）

　　因為前面已經(jīng)有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認識（對定義的體驗）

　　問題6（1）求下列三角函數(shù)值：

　　問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．

　　逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．

　　問題6（3）指出下列函數(shù)值：

　　意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認識三角函數(shù)在各象限中的符號．

　　問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．

　　教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

　　問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

　　意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．

　　建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

　　仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

　　6．小結(jié)

　　問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數(shù)，今天又學習了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

　　意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．

　　若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標檢測設(shè)計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學片段

　　上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數(shù)．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生說出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問題4：你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”有學生舉手，表示想過這個問題，應(yīng)該是六個，另外三個可以把現(xiàn)有的三個倒一下得到．至此，時間已經(jīng)過去20多分鐘．

　　教師本以為，學生在初中既然學習過銳角三角函數(shù)，對給出的一個銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學生，這就嚴重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內(nèi)涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

　　過早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．

（2）問題出在哪里

　　問題在教學設(shè)計不夠合理，當中的“教學問題診斷分析”不夠準確．沒有準確把握學生的知識基礎(chǔ)與認識能力，對學生在學習中可能出現(xiàn)的困難估計不足．尤其是，對學生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計過高．主要表現(xiàn)在兩個方面，一是初中學習銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來認識，比如關(guān)注它的自變量是角，對應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關(guān)的計算，等．現(xiàn)在，要求學生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．

　　關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標準指出：“通過實例認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角．”以及“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡

　　單實際問題．”

　　筆者查閱了按照“課程標準”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

　　如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

　　數(shù)．”

　　以后的內(nèi)容（包括解實際問題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計算，并不強調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習，作用并不大．應(yīng)該說，這些都不違背“課程標準” 的要求．可見學生在初中學習過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函

　　數(shù)”這個系統(tǒng)．

　　初中學習銳角三角函數(shù)有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數(shù)的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學生對銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

　　有教師認為，不必復習銳角三角函數(shù)，直接提出問題“同學們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，你認為應(yīng)該怎樣來定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學生更難回答．原因是對銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認識不足、理解不到位，要讓學生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復習初中銳角三角函數(shù)的概念，因為從銳角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學習．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標或者坐標的比值，在直角坐標系中認識銳角三角函數(shù)，并引導學生從“函數(shù)”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．

（3）對教學的反思

　　高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學目標是什么，關(guān)注學生的認知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，學生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個明顯的例子．

　　教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎”其實，學生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過復習，來幫助學生

　　補上這一點．

　　2．其他反思

（1）由于學生在復習階段花了較多的時間，影響了新課的學習，用任意角三角函數(shù)概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習不好做”，說明復習銳角三角函數(shù)沒有必要．筆者認為，當“預設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學生的認知水平，尊重學生的認知心理過程，決不簡單化，把結(jié)論直接告訴給學生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學任務(wù)．教師不能認為我已經(jīng)把這個概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．數(shù)學教學不是“告訴教學”，概念不能靠學生“復制”，對概念需要的是理解，需要學生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學任務(wù)”，不能僅限于知識要求，要注意學生的全面發(fā)展．比如，當學生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問題．當學生不能說出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發(fā)類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數(shù)的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數(shù)間的一一對應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學習的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學模型；再比如，當學生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來看三角函數(shù)的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實數(shù)更具廣泛性．

　　這一節(jié)課把教學的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標（或坐標的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數(shù)”的學生，就已經(jīng)開始接受有理數(shù)，逐漸成為中學生了．

　　還需要注意的是，應(yīng)該通過什么方式讓學生建立起用坐標（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會建立這個概念過程

　　中所蘊涵的數(shù)學思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學生說出的結(jié)果是．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發(fā)現(xiàn)他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設(shè)置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學沒有關(guān)注到這節(jié)課剛學習過的概念，運用新概念解決當前的問題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學具的依賴，影響學生思維能力的發(fā)展．學具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學習；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數(shù)的學習．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計算結(jié)果．

　　借班上課，對學生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學進度等問題，學生的知識儲備不足（在教學任意角三角函數(shù)概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學并不理想的一個重要原因．教學過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學生對教師的教學風格的適應(yīng)或認可也有一個過程，比如教師希望學生積極發(fā)言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進的教學理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進教學理念，去承擔反映數(shù)學教學規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實，也是不應(yīng)該的．

　　課堂教學是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準備外，對教學過程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學生的學習行為，關(guān)注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設(shè)計，調(diào)整教學內(nèi)容、教學要求，改變策略，選擇恰當?shù)姆椒▽嵤┙虒W，以達到最佳教學效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

三角函數(shù)教學課件 篇4

　　銳角三角函數(shù)復習課教學反思

　　今天按照學校常規(guī)課堂教學要求，運用楚都中學“245”教學模式在九（3）班進行了一節(jié)銳角三角函數(shù)的復習課教學，下面，就我本節(jié)課的教學體會作如下總結(jié)：

　　本節(jié)課分為四個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是目標導學，分為三步。首先讓學生齊讀教學目標（鞏固銳角三角函數(shù)的概念；熟記300、450、600角的三角函數(shù)值；掌握銳角三角函數(shù)與直線型、相似、圓等數(shù)學知識的綜合應(yīng)用），然后口答銳角三角函數(shù)的概念以及用表格呈現(xiàn)的特殊角的三角函數(shù)值，最后獨立完成練習（第一道題考查概念，第二道題考查特殊角的三角函數(shù)值）。其中第二題一學生演板。迅速完成了教學目標的1、2兩個內(nèi)容

　　第二個環(huán)節(jié)是合作探究，分為兩步。首先學生獨立完成（8分鐘），然后站立交流5分鐘，學生之間互幫互學。同時三名學生演板。

　　第三個環(huán)節(jié)是展示點撥。對演板的三位學生的解答進行評講，更注重點撥。歸納了銳角三角函數(shù)常用的方法以及在幾何題中學生解題的基本思路。

　　第四個環(huán)節(jié)是檢測反饋。學生獨立完成后在由學生講解解題思路和方法。反思本節(jié)課的成功之處，我覺得有如下幾個方面：

　　1、按照學校常規(guī)教學的要求，體現(xiàn)了“245”教學模式

　　2、板書設(shè)計美觀，本節(jié)課的知識要點及學生的演板設(shè)計合理，幾何圖形美觀

　　3、注重學生解題方法和知識之間聯(lián)系的點撥

　　本節(jié)課也留下了我深深的思考：對學生知識水平估計偏高。如檢測反饋的最后一道題是已講過的題目，以為學生能夠迅速準確的解答，但由于題目本身較難，只有很少的學生在短時間內(nèi)解出來了。內(nèi)容容量較大，自己感覺語速較快，有點趕時間。另外，沒能面向全體，部分學生對特殊角的三角函數(shù)值的記憶還不夠熟練。

　　我深信：每朵花都有花期，今日含淚的孕育只為明日吐露的燦爛芬芳！

　　2014-4-14

銳角三角函數(shù)教學設(shè)計 篇5

《銳角三角函數(shù)復習課》的教學設(shè)計

　　雞東鎮(zhèn)中學楊曉紅

《銳角三角函數(shù)》是初四下冊第二十八章內(nèi)容，本章包括銳角三角函數(shù)的概念，以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容。銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實際當中有著廣泛的應(yīng)用，這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會。本章在中考中所占的比重雖不大，但屬于比較好得分的部分。所以復習好本章的內(nèi)容對于學生來說也很重要。我從六個方面說明我的教學

　　一、教學設(shè)計說明；

　　二、教學分析；

　　三、教學目標；

　　四、教學策略；

　　五、教學過程：

　　六、教學反思。

　　一、教學設(shè)計說明

　　我校有適合本校學生發(fā)展的教學模式----學論評測模式，所以我在設(shè)計本節(jié)課時使用了這種模式，主要分為四個環(huán)節(jié)自主學習、合作學習、展示點評、反饋檢測。與本節(jié)課有關(guān)的舊知識需要復習的我又增加了一個環(huán)節(jié)是知識回顧。自主學習是讓學生先自己閱讀教材，將本節(jié)課的知識點做個了解，簡單的、基礎(chǔ)的知識都放在這一環(huán)節(jié)，重在培養(yǎng)學習自主學習的能力，同時也培養(yǎng)學習認真閱讀的能力；合作討論是將本節(jié)課中難度比較大的問題通過小組討論的形式來完成，小組內(nèi)的成員通過合作、交流、探討來解決問題。體現(xiàn)團隊精神；展示交流環(huán)節(jié)是給學生機會來展示自我，以小組

　　為單位，全員參加，合理分配任務(wù)完成展示。重在培養(yǎng)學生各方面的能力，發(fā)揮學生的主體作用；最后檢測學生本節(jié)課的學習情況。各環(huán)節(jié)的設(shè)計重在以學生為主體，突出學生的主體作用，另外培養(yǎng)學習的興趣和能力，讓學生在一種輕松愉快的學習氛圍中學習知識。

　　二、教學分析

（一）教學內(nèi)容分析

　　本章要復習的知識點有4個。

　　1、銳角三角函數(shù)的概念。

　　2、特殊銳角三角函數(shù)值。

　　3、解直角三角形。4銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

（二）學情分析

　　1、我所教的一所農(nóng)村學校，學生基礎(chǔ)不是很好。所在我在每次課的設(shè)計都以基礎(chǔ)為主，注重知識的來源和過程。

　　2、學生書寫過程有的寫的不細致，邏輯性不強。

　　3、使用這種教學模式要求精講，所以學生平時訓練時題目都是精選，但題量不大，學生計算的速度有限。

　　三、教學目標

　　1、知識與技能：

（1）.鞏固三角函數(shù)的概念,鞏固用直角三角形邊之比來表示某個銳角的三角函數(shù).（2）.熟記30°，45°, 60°角的三角函數(shù)值.會計算含有特殊角的三角函數(shù)的值，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值，求出它的對應(yīng)的角度.（3）.掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會運用勾股定理，直

　　角三角形的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.（4）.會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.2、過程與方法：通過自學，觀察、討論、類比、歸納等方法學習知識，積累教學經(jīng)驗

　　3、情感態(tài)度與價值觀：

　　在解決問題的過程中引發(fā)同學的學習需求，讓學生在學習需求的驅(qū)動下主動參與學習的全過程，并讓學生體驗到學習是需要付出努力和勞動的。

　　教學重點：銳角三角函數(shù)的概念及特殊三角函數(shù) 教學難點：會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單實際問題。

　　四、教學策略

（一）、教學方法

　　本節(jié)課我使用了自學+研討+展示的教學方法。課堂教學方法非常靈活，最重要的是體現(xiàn)出學生的主體地位，把課堂還給學生，充分調(diào)動學生的積極性，加大學生的思考量。給學習一個展示的平臺，讓學習通過自主學習、合作討論、展示交流來發(fā)現(xiàn)問題、討論問題、解決問題。發(fā)揮學習的團隊精神。營造良好寬松的學習氛圍。

（二）教學手段

　　本節(jié)課學生在多煤體教室上課，使用白板進行教學，學

　　生可以利用白板展示自己的答案，簡單方便。省時得力。效果好。學生興趣濃厚。

　　五、教學過程

　　1、自主學習

　　本環(huán)節(jié)主要是解決學習目標中的前三個目標的，設(shè)計8個問題，其中前三個是概念，后5個是在理解概念的基礎(chǔ)上解決問題，問題設(shè)計的都比較基礎(chǔ)，為了是鞏固基礎(chǔ)知識。

　　2、合作學習

　　本環(huán)節(jié)設(shè)計了4個問題。主要是解決實際問題，也就是直角三角形的應(yīng)用。設(shè)計的內(nèi)容比較廣泛，為了培養(yǎng)學生運用知識解決實際問題的能力。學生通過討論合作完成后歸納實際應(yīng)用的幾種圖形。

　　4、展示點評

　　學生一共分為四組。小組都完成后，抽簽決定展示題目。根據(jù)學生展示情況加分，小組長和老師對各組的展示進行評價。表揚優(yōu)秀小組。

　　5、反饋檢測

　　本環(huán)節(jié)設(shè)計了5道題，有填空和選擇，重基礎(chǔ)和易錯題目的考查。學生檢測后當堂對答案，記分，公布小組得分。

　　六教學反思

　　在本節(jié)課教學中我能夠注重培養(yǎng)學生的興趣和能力，能夠以學生為主體，給學生多的空間和時間來討論問題和展示問題，對學生回答的問題能夠及時的肯定和糾正。學生能解決的問題能做到不講，讓學生真正通過自己的能力來學習問

　　題，不太理解的問題通過小組合作來解決，體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性。我回憶在課堂教學過程中還有以下不足之處：在時間的分配上還不是最合理的，各環(huán)節(jié)展示的時間太緊。不是很從容。對于學生的評價也不是很到位，對于學生激勵性的語言使用的不夠，小組長的組織能力和帶頭作用還最大發(fā)揮。

　　改進方法

　　作為教師，要想真正上好以探究活動為主的課堂教學，必須掌握多種教學思想方法和教學技能，不斷更新與改變教學觀念和教學態(tài)度，在課堂教學中始終牢記：學生才是學習的主體，學生才是課堂的主體；教師只是學習的組織者和引導者，在課堂上只是一個配角。另外對小組長要多加培訓。當一個小老師使用。能夠帶領(lǐng)全組學生都動起來，不讓一個學生掉隊。

三角函數(shù)教案模板 篇6

　　三角函數(shù)線及其應(yīng)用

　　教學目標

　　1．使學生理解并掌握三角函數(shù)線的作法，能利用三角函數(shù)線解決一些簡單問題． 2．培養(yǎng)學生分析、探索、歸納和類比的能力，以及形象思維能力． 3．強化數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學生思維的靈活性． 教學重點與難點

　　三角函數(shù)線的作法與應(yīng)用． 教學過程設(shè)計

　　一、復習

　　師：我們學過任意角的三角函數(shù)，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定義的？

　　生：在α的終邊上任取一點P（x，y），P和原點O的距離是r（r＞0），那么角α的六個三角函數(shù)分別是（教師板書）

　　師：如果α是象限角，能不能根據(jù)定義說出α的各個三角函數(shù)的符號規(guī)律？

　　生：由定義可知，sinα和cscα的符號由y決定，所以當α是第一、二象限角時，sinα＞0，cscα＞0；當α是第三、四象限角時，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符號由x決定，所以當α是第一、四象限角時，cosα＞0，secα＞0；當α是第二、三象限角時，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符號由x，y共同決定，當x，y同號時，tanα，cotα為正；當x，y異號時，tanα，cotα為負．也就是說當α是第一、三象限角時，tanα＞0，cotα＞0；當α是第二、四象限角時，tanα＜0，cotα＜0．

　　師：可以看到，正弦值的正負取決于P點縱坐標y，余弦值的正負取決于P點的橫坐標x，而正切值的正負取決于x和y是否同號，那么正弦、余弦、正切的值的大小與P點的位置是否有關(guān)？

　　生：三角函數(shù)值的大小與P的位置無關(guān)，只與角α的終邊的位置有關(guān)． 師：既然三角函數(shù)值與P點在角α的終邊上的位置無關(guān)，我們就設(shè)法讓P點點位于一個特殊位置，使得三角函數(shù)值的表示變?yōu)楹唵危?/p>

　　二、新課

　　師：P點位于什么位置，角α的正弦值表示最簡單？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 師：那么對于余弦又該怎么處理呢？ 生：還是取r=1．

　　師：如果r=1，那么P點在什么位置？

　　生：P點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．

　　師：這個圓我們會經(jīng)常用到，給它起個名字，叫單位圓，單位圓是以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓．（板書）1．單位圓

　　師：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

　　師：我們前面說的都是三角函數(shù)的代數(shù)定義，能不能將正弦值、余弦值等量幾何化，也就是用圖形來表示呢？因為數(shù)形結(jié)合會給我們的研究帶來極大的方便，請同學們想想，哪些圖形與這些數(shù)值有關(guān)呢？

（同學可能答不上來，教師給出更明確的提示．）

　　師：sinα=y，cosα=x，而x，y是點P的坐標，根據(jù)坐標的意義再想一想．

　　師：對點來說，是它的位置代表了數(shù)，點本身并不代表數(shù)．能不能找到一個圖形，自身的度量就代表數(shù)？

　　生：可以用面積，比如一個正數(shù)可以對應(yīng)著一個多邊形的面積，每一個多邊形的面積對應(yīng)著唯一一個正數(shù)． 師：很好．但這是一個二維的圖形，而且多邊形的邊數(shù)也不確定，我們還應(yīng)遵循求簡的原則．有沒有簡單的圖形呢？

　　生：是不是能用線段的長度來表示？ 師：說說你的理由．

　　生：線段的長度與正數(shù)是一一對應(yīng)的，所以每一個正數(shù)可以用一條線段來作幾何形式． 師：正數(shù)可以這樣去做，零怎么辦呢？能用線段來表示嗎？ 生：（非?；钴S）當然行了，讓線段兩個端點重合，線段長就是零了．

　　師：可以畫這樣一個示意圖，線段一個端點是A，另一個端點是B，當A，B重合時，我們說AB是0；當A，B不重合時，我們說AB是一個正實數(shù)．那么負數(shù)怎么辦呢？能不能想辦法也用線段AB表示？

　　生：線段的長度沒有負數(shù)．

　　生：我能不能這樣看，A點在直線l上，B點在l上運動，如果B在A的右側(cè)，我就說線段AB代表正數(shù)；如果B和A重合，就說線段AB代表0；如果B在A的左側(cè)，就說線段AB代表負數(shù)．

（教師不必理會學生用詞及表述的漏洞．主要是把學生的注意力吸引到對知識、概念的發(fā)現(xiàn)上來．）

　　師：正數(shù)與正數(shù)不都相等，負數(shù)和負數(shù)也不都相等，你只是規(guī)定了正負還不夠吧？！

　　生：可以再加上線段AB的長度．這樣所有的實數(shù)都能對應(yīng)一條線段AB，以A為分界點，正數(shù)對應(yīng)的點B在A的右側(cè)，而且加上長度，B點就唯一了．

　　師：他的意見是對線段也給了方向．與直線規(guī)定方向是類似的．那么如何建立有向線段與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系？（板書）2．有向線段

　　師：顧名思義，有方向的線段（即規(guī)定了起點與終點的線段）叫做有向線段，那么如何建立有向線段與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系呢？這需要借助坐標軸．平行于坐標軸的線段可以規(guī)定兩種方向．如圖2，線段AB可以規(guī)定從點A（起點）到點B（終點）的方向，或從點B（起點）到點A（終點）的方向，當線段的方向與坐標軸的正方向一致時，就規(guī)定這條線段是正的；當線段的方向與坐標軸的正方向相反時，就規(guī)定這條線段是負的．如圖中AB=3（長度單位）（A為起點，B為終點），BA=-3（長度單位）（B為起點，A為終點），類似地有CD=-4（長度單位），DC=4（長度單位）．

　　師：現(xiàn)在我們回到剛才的問題，角α與單位圓的交點P（x，y）的縱坐標恰是α的正弦值，但sinα是可正、可負、可為零的實數(shù)，能不能找一條有向線段表示sinα？

　　生：找一條有向線段跟y一致就行了，y是正的，線段方向向上，y是負的，線段方向向下，然后讓線段的長度為｜y｜． 師：理論上很對，到底選擇哪條線段呢？我們不妨分象限來看看．

　　生：如果α是第一象限的角，過P點向x軸引垂線，垂足叫M（無論學生用什么字母，教師都要將其改為M），有向線段MP為正，y也是正的，而且MP的長度等于y，所以用有向線段MP表示sinα=y．

（圖中的線段隨教學過程逐漸添加．）

　　生：如果α是第二象限角，sinα=y是正數(shù)，也得找一條正的線段．因為α的終邊在x軸上方，與第一象限一樣，作PM垂直x軸于M，MP=sinα．

　　師：第一、二象限角的正弦值幾何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此時sinα是負值．

　　生：這時角α的終邊在x軸下方，P到x軸的距離是｜y｜=-y．所以還是作PM垂直x軸于M，MP方向向下，長度等于-y，所以sinα=y．

　　師：歸納起來，無論α是第幾象限角，過α的終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，交x軸于M，有向線段MP的符號與點P的縱坐標y的符號一致，長度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我們把有向線段MP叫做角α的正弦線，正弦線是角α的正弦值的幾何形式．（板書）

　　3．三角函數(shù)線

（1）正弦線——MP 師：剛才討論的是四個象限的象限角的正弦線，軸上角有正弦線嗎？

　　生：當角α的終邊在x軸上時，P與M重合，正弦線退縮成一點，該角正弦值為0；當角α終邊與y軸正半軸重合時，M點坐標為（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值為1；當α終邊與y軸負半軸重合時，MP=-1，sinα=-1，與象限角情況完全一致． 師：現(xiàn)在來找余弦線．

　　生：因為cosα=x（x是點P的橫坐標），所以把x表現(xiàn)出來就行了．過P點向y軸引垂線，垂足為N，那么有向線段NP=cosα，NP是余弦線． 師：具體地分析一下，為什么NP=cosα？

　　生：當α是第一、四象限角時，cosα＞0，NP的方向與x軸正方向一致，也是正的，長度為x，有cosα=NP；當α是第二、三象限角時，cosα＜0，NP也是負的，也有cosα=NP． 師：這位同學用的是類比的思想，由正弦線的作法類比得出了余弦線的作法，其他同學有沒有別的想法？

　　生：其實有向線段OM和他作的有向線段NP方向一樣，而且長度也一樣，也可以當作余弦線．

　　師：從作法的簡潔及圖形的簡潔這個角度看，大家愿意選哪條有向線段作為余弦線？ 生：OM．（板書）

（2）余弦線——OM 師：對軸上角這個結(jié)論還成立嗎？（學生經(jīng)過思考，答案肯定．）

　　師：我們已經(jīng)得到了角α的正弦線、余弦線，它們都是與單位圓的弦有關(guān)的線段，能不能找到單位圓中的線段表示角α的正切呢？

　　生：肯定和圓的切線有關(guān)系（這里有極大的猜的成分，但也應(yīng)鼓勵學生．）

　　坐標等于1的點，這點的縱坐標就是α的正切值． 師：那么橫坐標得1的點在什么位置呢？ 生：在過點（1，0），且與x軸垂直的直線上． 生：這條直線正好是圓的切線．（在圖3-（1）中作出這條切線，令點（1，0）為A．）師：那么哪條有向線段叫正切線呢？不妨先找某一個象限角的正切線．

　　生：設(shè)α是第一象限角，α的終邊與過A的圓的切線交于點T，T的橫坐標是1，縱坐標設(shè)為y′，有向線段AT=y′，AT可以叫做正切線．

　　師：大家看可以這樣做吧？！但第二象限角的終邊與這條切線沒有交點，也就是α的終邊上沒有橫坐標為1的點．

　　生：可以令x=-1，也就是可以過（-1，0）再找一條切線，在這條切線上找一條有向線段表示tanα．

　　師：我相信這條線段肯定可以找到，那么其他兩個象限呢？

　　生：第三象限角的正切線在過（-1，0）的切線上找，第四象限角的正切線在過（1，0）的切線上找．

　　師：這樣做完全可以，大家可以課下去試，但我們還是要求簡單，最好只要一條切線，我們當然喜歡過A點的切線（因為這條直線上每個點的橫坐標都是1），第一、四象限角與這條直線能相交，AT是正切值的反映，關(guān)鍵是第二、三象限的角． （如果學生答不出來，由教師講授即可．）師（或生）：象限角α的終邊如果和過A點的切線不相交，那么它的反向延長線一定能和這條切線相交．因為△OMP∽△OAT，OM與MP同號時，OA與AT也同號；OM與MP異號時，OA與AT也異號，（板書）

（3）正切線——AT 師：的確像剛才同學們說的，正切線確實是單位圓的切線的一部分，那么軸上角的正切線又如何呢？注意正切值不是每個角都有．

　　生：當角α終邊在x軸上時，T和A重合，正切線退縮成了一個點，正切值為0；當角α終邊在y軸上時，α的終邊與其反向延長線和過A的切線平行，沒有交點，正切線不存在，這與y軸上角的正切值不存在是一致的． 師：可以看到正切線的一個應(yīng)用——幫助我們記憶正切函數(shù)的定義域．現(xiàn)在我們歸納一下任意角α的正弦線、余弦線、正切線的作法．

　　設(shè)α的終邊與單位圓的交點為P，過P點作x軸的垂線，垂足為M，過A（1，0）點作單位圓的切線（x軸的垂線），設(shè)α的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．

　　利用三角函數(shù)線，我們可以解決一些簡單的有關(guān)三角函數(shù)的問題．（板書）

　　4．三角函數(shù)線的應(yīng)用

　　例1 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

　　分析：三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負，其長度是三角函數(shù)值的絕對值．比較兩個三角函數(shù)值的大小，可以借助三角函數(shù)線．（由學生自己畫圖，從圖中的三角函數(shù)線加以判斷．）

（畫出同一個角的兩種三角函數(shù)線）． 師：例1要求我們根據(jù)角作出角的三角函數(shù)線，反過來我們要根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊，從而找到角的取值范圍．（板書）

　　例2 根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角α的終邊，然后求角的取值集合．

　　分析：

　　P1，P2兩點，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為

（3）在單位圓過點A（1，0）的切線上取AT=-1，連續(xù)OT，（4）這是一個三角不等式，所求的不是一個確定的角，而是適合三、小結(jié)及作業(yè)

　　單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)．我們應(yīng)掌握三角函數(shù)線的作法，并能運用它們解決一些有關(guān)三角函數(shù)的問題，注意在用字母表示有向線段時，要分清起點和終點，書寫順序要正確． 作業(yè)

（1）復習課本“用單位圓中的線段表示三角函數(shù)”一節(jié)．

（2）課本習題P178練習第7題；P192練習十四第9題；P194練習十四第22題；P201總復習參考題二第20題． 課堂教學設(shè)計說明

　　關(guān)于三角函數(shù)線的教學，曾有過兩個設(shè)想：一是三種函數(shù)線在同一節(jié)課交待，第二節(jié)課再講應(yīng)用；另一個設(shè)想是，第一節(jié)課只出正弦線、余弦線及它們的應(yīng)用，第二節(jié)課引入正切線，及三線綜合運用，如比較函數(shù)值的大小、給值求角、解簡單的三角不等式，證明一些三角關(guān)系式．本教案選擇了前者，原因是利于學生類比思維．在實際教學中，由于教師水平不同，學生的水平也不相同，教案中的例題可能講不完，或根本不講，但是寧可不講例題，也要讓學生去猜、去找三角函數(shù)的幾何形式，我希望把三角函數(shù)線的發(fā)現(xiàn)過程展現(xiàn)給學生，教師不能包辦代替．

　　數(shù)形結(jié)合思想是中學數(shù)學中的重要數(shù)學思想，在教學中應(yīng)不失時機地加以滲透．通過三角函數(shù)線的學習，使學生了解數(shù)形結(jié)合的“形”不單有函數(shù)圖象，還有其他的表現(xiàn)形式．至于在解決有關(guān)三角函數(shù)的問題時用函數(shù)圖象還是用三角函數(shù)線，則要具體情況具體分析，如證明等式sin2α+cos2α=1，研究同一個角的正余弦值的大小關(guān)系，都以三角函數(shù)線為好．

高數(shù)三角函數(shù)公式大全 篇7

　　課

　　題：三角函數(shù)的誘導公式

（一）教

　　者：王永濤（寧縣四中）

　　教學目標：1.知識與技能：借助單位圓，推導出誘導公式，能正確運用誘導公式

　　將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，掌握有關(guān)三角函數(shù)求值問

　　題。

　　2.過程與方法：經(jīng)歷誘導公式的探索過程，體驗未知到已知、復雜到

　　簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)化歸思想。

　　3.情感、態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學探索的成功感，激發(fā)學習數(shù)學的熱

　　情，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，增強學習數(shù)學的信心。

　　重

　　點：誘導公式

　　二、三、四的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求

　　值，提高對數(shù)學內(nèi)部聯(lián)系的認識。

　　難

　　點：發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與任意角終邊的坐標之間的聯(lián)系；誘導公式的合理運

　　用。

　　教學方法：合作探究式 教學手段：多媒體 教學過程：

　　一、前置檢測

　　1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？

　　π＋α（k∈Z）與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系是什么？

　　3.你能求sin750°和sin930°的值嗎？

　　二、精講點撥

　　知識探究

（一）：π＋α的誘導公式（師生共同探究）。

　　思考1：210°角與30°角有何內(nèi)在聯(lián)系？240°角與60°角呢? 思考2：若α為銳角，則（180°，270°）范圍內(nèi)的角可以怎樣表示？

　　思考3：對于任意給定的一個角α，角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？

　　思考4：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），則角π＋α的終邊與單位圓的交點坐標如何？

　　思考5：根據(jù)三角函數(shù)定義，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分別是什么？

　　思考6：對比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？

　　公式二 ：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=－cosα，tan（π＋α）=tanα。

　　知識探究

（二）

（三）：－α，π－α的誘導公式（學生自主合作探究）。

　　引導學生回顧剛才探索公式二的過程，明確研究三角函數(shù)誘導公式的路線圖：角間關(guān)系→對稱關(guān)系→坐標關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。為學生指明探索公式

　　三、四的方向。

　　學生小組自主合作探究，然后讓小組學生代表闡述探究的過程和結(jié)果。根據(jù)三角函數(shù)定義，得出－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關(guān)系及π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關(guān)系。

　　公式三：sin（－α）= －sinα、公式四：sin(π－α)=sinα，cos（－α）=cosα、cos(π－α)=-－cosα，tan（－α）=－tanα。

　　tan(π－α)=－tanα。思考1：利用π－α＝π＋(－α)，結(jié)合公式

　　二、三，你能得到什么結(jié)論？ sin(π－α)= sin[π+（－α）] = －sin（－α）=sinα

　　cos(π－α)= cos[π+（－α）]= －cos（－α）=－cosα

　　tan(π－α)= tan[π+（－α）] = tan（－α）=－tanα

　　思考2：公式一～四都叫做誘導公式，他們分別反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點和規(guī)律嗎？

　　2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)值的符號。即“函數(shù)名不變，符號看象限”。

　　例1 利用公式求下列三角函數(shù)值：

（1）cos225°；

（2）sin660°；

（3）tan（??）；

（4）cos（－2040°）。3[變式訓練] 將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，并填在題中橫線上：

　　13(1)cos??;9?

(3)sin()?;5例2 化簡

(2)sin(1??)?;(4)cos(?70?6)?.??cos1(80??)?sin?(?360)??sin?(??180)?cos?(180??)

[變式訓練] 化簡：

　　cos190??sin(?210?)?cos(350?)?tan58

　　5三、當堂檢測

　　1.利用公式求下列三角函數(shù)值

　　7?（2）sin(?);

（1）cos(?420?);6

　　79?(3)sin(330?);（4）cos(?);6

　　2.化簡

　　sin3(??)cos(2???)tan(????).（1）sin(??180?)cos(??)sin(???180?);（2）

　　四、總結(jié)提升

　　1.誘導公式都是恒等式，即在等式有意義時恒成立。

　　π＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)值的符號。即“函數(shù)名不變，符號看象限”。

　　3.利用誘導公式一～四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：任意負角的三角函數(shù)→任意正角的三角函數(shù)→0~2π的角的三角函數(shù)→銳角三角函數(shù)。

　　五、布置作業(yè)

　　1書面作業(yè)：必做：課本29頁習題組

　　1、2；

　　選做：課本29頁習題B組預習作業(yè)：《三角函數(shù)的誘導公式》

（二），試用所學推導公式（

　　五、六）。

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