下面是范文網(wǎng)小編分享的數(shù)學(xué)歸納法證明共6篇 歸納法如何證明，供大家參閱。
數(shù)學(xué)歸納法證明共1
二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個(gè)經(jīng)典不等式.
教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路.
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)回顧：
1、數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位；
2、復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的定義和數(shù)學(xué)歸納法證題的基本步驟；
二、本節(jié)主要內(nèi)容是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；
在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點(diǎn)：
（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）的變化，要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)
特征；
（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；
（3）活用起點(diǎn)的位置；
（4）有的題目需要先作等價(jià)變換。
三、例題
例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結(jié)論.分析：將n?1,2,3,4,5,6代入比較后猜想結(jié)論，而后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明
證明：見書P50 ；要點(diǎn)：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….
例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即有：|sink?|?k|sin?|，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|
?|sink?|?|cos?|?|cosk?|?|sin?|?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立；
由（1）（2）知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立；
例3：證明貝努利（Bernoulli）不等式： (1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)
22證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，由x?0得(1?x)?1?2x?x?1?2x，即不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即有(1?x)?1?kx：，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
(1?x)k?1k?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?x?kx?kx2?1?(k?1)x，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立；
由（1）（2）知，貝努利不等式成立；
注：事實(shí)上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)?仍有類似不等式成立.
當(dāng)?是實(shí)數(shù),且???或??0時(shí),有(1?x)≥1??x(x??1)
?當(dāng)?是實(shí)數(shù),且0???1時(shí),有(1?x)≤1??x(x??1) ?
例
4、證明：如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,an的乘積a1a2a3???an?1，那么它們的和
a1?a2?a3?????an?n；
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，命題顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若k個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,ak的乘積a1a2a3???ak?1，那么他們的和
a1?a2?a3?????ak?k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,ak,ak?1滿足乘積a1a2a3???akak?1?1， 若這k+1個(gè)正數(shù)相等，則它們都是1，其和為k+1，命題成立；
若這k+1個(gè)正數(shù)不全相等，則其中必有大于1的數(shù)，也有小于1的數(shù)，不妨設(shè)a1>1，a21，a2
a1?a2?a3?????ak?ak?1?k?1，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由（1）（2）知，如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,an的乘積a1a2a3???an?1，那么它們的和
a1?a2?a3?????an?n；
思考：課本P53的探究
課堂練習(xí)：當(dāng)n≥2時(shí),求證
:1?
1
2??
?
證明：（1）當(dāng)n?2時(shí)，左式?1?
?1?
22
??
2?右式，?當(dāng)n?2時(shí)，不等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n?k(
?2)時(shí)，不等式成立，即1?
??
?則當(dāng)n?k?
1時(shí)，左式?1?
???
?
?
?
?
??右式
?當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式成立。
由（1）（2）可知，對(duì)一切n?N，且n?2，不等式都成立。
四、作業(yè)：課本P53 習(xí)題中1，2，3，4，5，6
數(shù)學(xué)歸納法證明共2
用數(shù)學(xué)歸納法證明：y
s
0xy
?
y0
?yks
y0s1
證明：當(dāng)k?1時(shí)，y?ys
?x?y當(dāng)k?2時(shí)，y??x?2y當(dāng)k?3時(shí)，y??x?3y······當(dāng)k?n時(shí)，y??x?ny當(dāng)k?n?1時(shí)，y?
y0
sny0s3y0s2
01
要使
y0s
xy
?
成立
要使
y0s
xy
?
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成立
要使
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xy
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成立
要使
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xy
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成立
y0
sn?1
yy0y01y01y0
y?n0??????nyyn?1y
s?1sn?s1sns1
sysysy
?x??n?1?y?等式成立，即y?
y0s
xy
?
y0sk
數(shù)學(xué)歸納法證明共3
用數(shù)學(xué)歸納法證明
1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.
1、當(dāng)n=1時(shí)候，
左邊=1/2;
右邊=2-3/2=1/
2左邊=右邊，成立。
2、設(shè)n=k時(shí)候，有：
1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)候：有：
1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-/2^(k+1)
=2-(k+3)/2^(k+1)
=2-/2^(k+1)
得證。
我覺得不是所有的猜想都非要用數(shù)學(xué)歸納法.
比如a1=2,a(n+1)/an=2,這顯然是個(gè)等比數(shù)列
如果我直接猜想an=2^n,代入檢驗(yàn)正確,而且對(duì)所有的n都成立,這時(shí)候干嘛還用數(shù)學(xué)歸納法啊.可是考試如果直接這樣猜想是不得分的,必須要用數(shù)學(xué)歸納法證明.
我覺得如果是數(shù)列求和,猜想無法直接驗(yàn)證,需要數(shù)學(xué)歸納法,這個(gè)是可以接受的.但是上面那種情況,誰能告訴我為什么啊.我覺得邏輯已經(jīng)是嚴(yán)密的了.
結(jié)果帶入遞推公式驗(yàn)證是對(duì)n屬于正整數(shù)成立.
用數(shù)學(xué)歸納法,無論n=1,還是n=k的假設(shè),n=k+1都需要帶入遞推公式驗(yàn)證,不是多此一舉嗎.我又不是一個(gè)一個(gè)驗(yàn)證,是對(duì)n這個(gè)變量進(jìn)行驗(yàn)證,已經(jīng)對(duì)n屬于正整數(shù)成立了.怎么說就是錯(cuò)誤的.
怎么又扯到思維上了,論嚴(yán)密性我比誰都在意,雖然是猜出來的,畢竟猜想需要,我的問題是--------這樣的驗(yàn)證方式嚴(yán)不嚴(yán)密,在沒有其他直接證明方法的情況下,是不是一定要用數(shù)學(xué)歸納法-------,并沒有說這樣就是對(duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度,沒有猜想數(shù)學(xué)怎么發(fā)展.
這說明你一眼能看出答案，是個(gè)本領(lǐng)。
然而，考試是要有過程的，這個(gè)本領(lǐng)屬于你自己，不屬于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支會(huì)漲哪支會(huì)跌，但是不說出為什么，恐怕也不會(huì)令人信服。
比如你的問題，你猜想之后，代入檢驗(yàn)，驗(yàn)證成功說明假設(shè)正確，這是個(gè)極端錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)記住：不是驗(yàn)證了一組答案通過，就說明答案是唯一的!比如x+y=2.我們都知道這是由無數(shù)組解的方程。但是我猜想x=y=1,驗(yàn)證成功，于是得到答案，你覺得對(duì)嗎?所以你的證明方法是嚴(yán)格錯(cuò)誤的!
你的這種思想本身就是經(jīng)不起推敲的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是會(huì)做多少題，而是給自己建立一套縝密的思維。你的這種思維在學(xué)習(xí)過程中是一個(gè)巨大的絆腳石，你現(xiàn)在做的就是假設(shè)某某正確，然后拼死維護(hù)它的正確，即使有不嚴(yán)密的地方你也視而不見。我說過，你有一眼看出答案的本領(lǐng)，這只是本領(lǐng)而已，填空題你有優(yōu)勢(shì)。但是如果你缺少了證明的思維，證明的本領(lǐng)，那你就成了一個(gè)扶不起來的阿斗。最可怕的是你的這個(gè)思想：褒一點(diǎn)說善于投機(jī)取巧，貶一點(diǎn)說，就是思維惰性，懶。
說說你的這道題，最簡(jiǎn)單的一道數(shù)列題，當(dāng)然可以一下看出答案，而且你的答案是正確的。但是證明起來就不是那么容易了，答案不是看出來的，是算出來的。你的解法就是告訴大家，所有的答案都是看出來，然后代入證明的。假設(shè)看不出來怎么辦?那就無所適從，永遠(yuǎn)也解不出來了!這就是你的做法帶來的答案，你想想呢?你的這種做法有什么值得推廣的?
OK,了解!
數(shù)學(xué)歸納法使被證明了的，證明數(shù)學(xué)猜想的嚴(yán)密方法，這是毋庸置疑的。在n=1時(shí)成立;假設(shè)n=k成立，則n=k+1成立。這兩個(gè)結(jié)論確保了n屬于N時(shí)成立，這是嚴(yán)密的。
你的例題太簡(jiǎn)單，直接用等比數(shù)列的定義就可以得到答案(首項(xiàng)和公比均已知)，不能說明你的證明方法有誤。我的本意是：任何一種證明方法，其本身是需要嚴(yán)格證明的，數(shù)學(xué)歸納法是經(jīng)過嚴(yán)格證明的;而你的證明方法：猜想帶入條件，滿足條件即得到猜想正確的結(jié)論。未經(jīng)證明，(即使它很嚴(yán)密，我說即使)它不被別人認(rèn)可。事實(shí)上，你的證明方法(猜想帶入所有條件均成立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A滿足B就說A=B顯然是不充分的。而數(shù)學(xué)歸納法充分必要，或者說“不大不小，不縮不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出來的答案歸納一下就是充分必要。
數(shù)學(xué)歸納法證明共4
數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·教案
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，則等式成立． （2）假設(shè)n=k時(shí)（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當(dāng)n=k+1時(shí)， 2+4+6+…+2k+（k+1）
所以n=k+1時(shí)，等式也成立．
根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確．
生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)榈诙阶C明時(shí)，沒有應(yīng)用歸納假設(shè)．
師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學(xué)歸納法，但實(shí)質(zhì)在要證明n=k+1正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特點(diǎn)遞推性，所以不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法．因此告誡我們?cè)谶\(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，不能機(jī)械套用兩個(gè)步驟，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)．
（課堂上講評(píng)作業(yè)，指出學(xué)生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)掃清障礙，使學(xué)生引以為戒，所謂溫故而知新）
（二）講授新課
師：在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用． （板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗(yàn)證n=2時(shí)的情況．
（板書）證：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立．
（在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）
數(shù)學(xué)歸納法證明共5
人教版選修4—5不等式選講
課題：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
教學(xué)目標(biāo)：
1、牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過程。
2、通過事例，學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，證明不等式的思想方法。
3、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力和分析問題，解決問題的能力。
重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1、鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路。
2、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇和解題技巧。
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：
1、上節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請(qǐng)同學(xué)們回顧，說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？
（1）數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。
（2）步驟：1）歸納奠基;
2）歸納遞推。
2、作業(yè)講評(píng)：（出示小黑板）
習(xí)題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
如采用下面的證法，對(duì)嗎？
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2=右邊，則等式成立。
②假設(shè)n=k時(shí)，（k∈N，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)
當(dāng)n=k+1時(shí)，
2+4+6+8+……+2k+2(k+1)
∴ n=k+1時(shí)，等式成立。
由①②可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，原等式都成立。
（1）學(xué)生思考討論。
（2）師生總結(jié)： 1）不正確
2）因?yàn)樵谧C明n=k+1時(shí)，未用到歸納假設(shè)，直接用等差數(shù)列求和公式，
違背了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)：遞推性。
二、新知探究
明確了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)，我們共同討論如何用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。 (出示小黑板)
例1觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an始終小于bn？證明你的結(jié)論。 ｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）學(xué)生觀察思考 （2）師生分析
（3）解：從第5項(xiàng)起，an ＜ bn ，即 n2＜2,n∈N+（n≥5）
證明：（1）當(dāng) n=5時(shí)，有52＜25，命題成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時(shí)命題成立 即k＜
2當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?/p>
（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2
由（1）（2）可知n2＜2n（n∈N+，n≥5）
學(xué)生思考、小組討論：①放縮技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k
2②歸納假設(shè)：2k
例2
證明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)
k n
n2
2k
分析：這是一個(gè)涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對(duì)值有關(guān)，在證明遞推關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意利用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式。
證明：（1）當(dāng) n=1時(shí)，上式左邊=│Sinθ│=右邊，不等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立， 即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│
當(dāng)n=k+1時(shí)，
│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立。
學(xué)生思考、小組討論：①絕對(duì)值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│
②三角函數(shù)的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1 ③三角函數(shù)的兩角和公式。
（板書）例3 證明貝努力（Bernoulli）不等式:
如果x是實(shí)數(shù)且x＞-1，x≠0,n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①貝努力不等式中涉幾個(gè)字母？（兩個(gè)：x,n）
②哪個(gè)字母與自然數(shù)有關(guān)？(n是大于1的自然是數(shù))
（板書）證：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）=1+2x+x，右邊=1+2x，因x＞0，則原不等式成立．
（在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）
（2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）＞1+（k+1）x，請(qǐng)同學(xué)考慮．
生：因?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)
k+1k
n=k+1時(shí)．應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因?yàn)閤＞
k
-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．
師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立．
k+
1k
2n
故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？
生：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法．
（提問的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時(shí)，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）
生：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x
=kx＞0（因x≠0，則x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用綜合法的放縮技巧．
（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．
因?yàn)閗x＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．
生：……
（學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)總結(jié)）
師：這些方法，哪種更簡(jiǎn)便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生用放縮技巧證明顯然更簡(jiǎn)便，利于書寫．
（板書）將例3的格式完整規(guī)范．
證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立， 即有（1+x）＞1+kx 當(dāng)n=k+1時(shí)，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）
k
k
=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由①②可知，貝努力不等式成立。
（通過例題的講解，在第二步證明過程中，通常要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化目的）
三、課堂小結(jié)
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)．
四、課后作業(yè)
1．課本P53：1，3，5 2．證明不等式：
數(shù)學(xué)歸納法證明共6
§用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;
2.重、難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.一、知識(shí)情景：
1.關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：
10.驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí)命題成立( 即n＝n?時(shí)命題成立) (歸納奠基） ；
20.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.30.由
10、20知，對(duì)于一切n≥n?的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）
要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：
例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.（n?N?）
證明：（1）當(dāng) n=1時(shí)，上式左邊=│Sinθ│=右邊，不等式成立。
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│
當(dāng)n=k+1時(shí)，│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│
≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│
=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│
≤│Sin kθ│+│Sin θ│≤k│Sinθ│+│Sin θ│=（k+1）│Sinθ│
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立。
例2． 證明貝努力（Bernoulli）不等式:
已知x?R,且x> ?1，且x?0，n?N*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx
當(dāng)n=k+1時(shí)，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由（1）（2）可知，貝努力不等式成立。
例3 證明: 如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,
那么它們的和a1?a2???an≥n.
三、當(dāng)堂檢測(cè)
1、（1）不等式2n?n4對(duì)哪些正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論。
1（2）求滿足不等式(1?)n?n的正整數(shù)n的范圍。n
n2*2?2?n(n?N)．
2、用數(shù)學(xué)歸納法證明
證明：（1） 當(dāng)n=1時(shí)， 2?2?1，不等式成立； 當(dāng)n=2時(shí)， 2?2?2，不等式成立；當(dāng)n=3時(shí)， 2?2?3，不等式成立．
*n?k(k?3,k?N)時(shí)不等式成立，即 2k?2?k2． （2）假設(shè)當(dāng)
k?1k222則當(dāng)n?k?1時(shí)， 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， 1222
322kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）
k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)從而， ∴． 即當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式
也成立． 由（1），（2）可知，2?2?n對(duì)一切n?N都成立．
四、課堂小結(jié)
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)．
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