下面是范文網(wǎng)小編整理的證明函數(shù)可導(dǎo)共3篇(若一個(gè)函數(shù)可導(dǎo),可以證明什么)，供大家品鑒。

證明函數(shù)可導(dǎo)共1

　　函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系教案

　　教學(xué)目的

　　1．使學(xué)生理解函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件．

　　2．使學(xué)生了解左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的概念．

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系．

　　教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

　　1．導(dǎo)數(shù)的定義是什么？

　　2．函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義是什么？

　　在學(xué)生回答定義基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須具備以

∴f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．

　　綜合(1)(2)原命題得證．

　　在復(fù)習(xí)以上三個(gè)問(wèn)題基礎(chǔ)上，直接提出本節(jié)課題．先由學(xué)生回答函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系．

二、新課

　　1．如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．

∴f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．

　　提問(wèn)：一個(gè)函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)處連續(xù)，那么f(x)在點(diǎn)x0處一定可導(dǎo)嗎？為什么？若不可導(dǎo)，舉例說(shuō)明．

　　如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么f(x)在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)．

　　例如：函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x＝0處連續(xù)，但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)．從圖2－3看出，曲線y＝f(x)在點(diǎn)O(0，0)處沒(méi)有切線．

　　證明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，

∴函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x0處是連續(xù)的．

　　2．左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)的概念．

(2)左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是導(dǎo)數(shù)存在的充要條件(利用左右極限存在且相等是極限存在的充要條件，可以加以證明，本節(jié)不證明)．

(3)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上可導(dǎo)的定義．

　　如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，在左端點(diǎn)x＝a處存在右導(dǎo)數(shù)，在右端點(diǎn)x＝b處存在左導(dǎo)數(shù)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)．

三、小結(jié)

　　1．函數(shù)f(x)在x0處有定義是f(x)在x0處連續(xù)的必要而不充分條件．

　　2．函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處有極限的充分而不必要條件．

　　3．函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處可導(dǎo)的必要而不充分的條件．

四、布置作業(yè)

　　作業(yè)解答的提示：

=f(1)．

∴ f(x)在點(diǎn)x＝1處連續(xù)．

∴ f(x)在x=1處不可導(dǎo)．

　　證明可導(dǎo)

　　證明函數(shù)fx

　　凸函數(shù)證明

　　證明偶函數(shù)

　　函數(shù)極限證明

證明函數(shù)可導(dǎo)共2

1.討論函數(shù)f(x)??2.已知f(x)???x?1,x?1在x?1處的連續(xù)性。

?1?x,x?1?2x,x?1在x?1處的連續(xù)，試求a值。

?ax?b,x?1?ex,x?03.設(shè)函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)，試求a值。

?a?x,x?04.討論函數(shù)f(x)???x,x?0在x?0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。

??x,x?0?sinx,x?05.設(shè)函數(shù)f(x)??，求f?(0)。

?x,x?01??xarctan,x?06.證明函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)但不可導(dǎo)。 x?0,x?0?1?sinx)?a?2,x?0?b（7.確定a.與b的值，使f(x)??在x?0處可導(dǎo)。 axe?1,x?0??x2,x?08.已知函數(shù)f(x)??，求f??(0)及f??(0)又f?(0)是否存在？

??x,x?0?x2,x?0?9.設(shè)函數(shù)f(x)??A,x?0，則A為何值時(shí)f(x)在x?0處的連續(xù)，并討?x,x?0?論此時(shí)函數(shù)在x?0處是否可導(dǎo)。

?x2,x?310.確定a.與b的值，使f(x)??在x?3處可導(dǎo)。

　　ax?b,x?3?

證明函數(shù)可導(dǎo)共3

　　構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)證明不等式

◎李思陽(yáng)本溪市機(jī)電工程學(xué)校

【內(nèi)容簡(jiǎn)要】構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式。而如何構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。本文從熱門(mén)的高考題及模擬題中選出四種類(lèi)型題供師生們參考。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造輔助函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；不等式。

　　一．直接作差

　　1（2011·遼寧文科）設(shè)函數(shù)f(x)?x?ax2?blnx，曲線y?f(x)過(guò)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2.

（1） 求a，b的值；

（2） 證明：f(x)?2x?2。

（1）解：f?(x)=1+2ax??1?a?0b.由已知條件得f(1)?0，f?(1)=2，即? x?1?2a?b?2

　　解得??a??1。

?b?3

(2)證明:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f(x)?x?x2?3lnx。

　　設(shè)g(x)?f(x)?(2x?2)=2?x?x?3lnx，

　　則g?(x)=?1?2x?23(x?1)(2x?3)=。 xx

　　當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g?(x)＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g?(x)＜0。

　　所以g(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減。而g(1)=0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)?2x?2。

　　總結(jié)：直接作差g(x)?f(x)?(2x?2)，用導(dǎo)數(shù)得gmax(x)?g(1)=0，從而得證。直接作差是證這類(lèi)題最常用的方法。

　　二．分離函數(shù)

2.（2011·課標(biāo)全國(guó)卷文科）已知函數(shù)f(x)?

　　處的切線方程為x?2y?3?0。

（1）求a，b的值；

（2）證明：當(dāng)x＞0，且x?1時(shí)，f(x)＞

(1) 解:略a?1，b?1。 alnxb?，曲線y?f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）x?1xlnx。 x?1

　　lnx1lnx1x2?1?，所以f(x)?(2lnx?)。 （2）證明：由（1）知f(x)?=x?1xx?11?x2x

　　x2?1考慮函數(shù)h(x)=2lnx?（x＞0），則 x

　　22x2?(x2?1)(x?1)2

=。 h?(x)=?22xxx

　　所以當(dāng)x?1時(shí)，h?(x)＜0，而h(1)?0

　　當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h(x)＞0，可得，故 1h(x)＞0； 21?x

　　1h(x)＞0。 當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h(x)＜0，可得1?x2

　　lnx從而當(dāng)x＞0，且x?1時(shí)，f(x)＞。 x?1

　　總結(jié)：作差后的函數(shù)如可分為兩個(gè)函數(shù)的積，直接求導(dǎo)很繁，可取其中一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，再討論證明。

　　三．巧妙變形

3.（2010·遼寧文科）已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1。

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)a??2，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)?f(x2)?4x1?x2。 解：（1）略。

（2） 不妨設(shè)x1≥x2，由于a??2，故f(x)在（0，+∞）減少。所以

　　f(x1)?f(x2)?4x1?x2等價(jià)于f(x2)?f(x1)≥x1-x2，即f(x2)?x2≥f(x1)?x1。

　　a?12ax2?4x?a?1?2ax?4=令g(x)?f(x)?x，則g?(x)=。于是 xx

?4x2?4x?1?(2x?1)2

?g?(x)≤≤0。 xx

　　從而g(x)在（0，+∞）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)。即f(x1)?x1≤f(x2)?x2， 故，對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)?f(x2)?4x1?x2。

　　總結(jié)：通過(guò)等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用g(x)的單調(diào)性得證。

　　四．作函數(shù)積

　　12?。 exex

　　1212證明: 對(duì)任意的x?（0，﹢∞），lnx?1＞x??x(lnx?1)>x(x?) exexee

　　x2設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx?x，g(x)=x+。 ee

　　111f?(x)=lnx?2，f?(x)=0，得x?2，易知fmin(x)=f(2)=—2。 eee4.（2011·本溪一中模擬）對(duì)任意的x?（0，﹢∞），求證：lnx?1＞

　　1ex?xex

??，=0，得1，易知==。 g(1)g?(x)=g(x)g(x)x?maxee2x

　　11??，∴fmin(x)＞gmax(x)，∴f(x)?g(x)。 ee2

　　x212∴xlnx?x?x+。因此lnx?1＞x?。 exeee∵?

　　總結(jié)：直接做不好做，不等式兩邊同乘以一個(gè)函數(shù)，先進(jìn)行證明，得到結(jié)果后再同除以這個(gè)函數(shù)，從而證得。

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