下面是范文網(wǎng)小編收集的立體幾何練習(xí)題6篇 數(shù)學(xué)立體幾何專題訓(xùn)練，供大家賞析。
立體幾何練習(xí)題1
立體幾何練習(xí)題2
立體幾何證明
立體幾何證明高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：
Ⅰ.平行關(guān)系：
線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。
Ⅱ.垂直關(guān)系：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的`性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。
2
四個(gè)判定定理：
① 若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
② 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。
③ 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。
④ 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。
從平面拓展到空間的角相等或互補(bǔ)的判定定理：
空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
四個(gè)性質(zhì)定理：
① 一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行。
② 兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行。
③ 垂直于同一平面的兩條直線平行。
④ 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。
標(biāo)準(zhǔn)只要求對于四個(gè)性質(zhì)定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。
(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學(xué)生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時(shí)，要充分發(fā)揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導(dǎo)。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很
立體幾何練習(xí)題3
一、逐漸提高邏輯論證能力
立體幾何的證明是數(shù)學(xué)學(xué)科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時(shí)，首先要保持嚴(yán)密性，對任何一個(gè)定義、定理及推論的理解要做到準(zhǔn)確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論。其次，在論證問題時(shí)，思考應(yīng)多用分析法，即逐步地找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(“推出法”)形式寫出。
二、立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)
學(xué)習(xí)立體幾何的一個(gè)捷徑就是認(rèn)真學(xué)習(xí)課本中定理的證明，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的證明。定理的內(nèi)容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的聯(lián)系的闡述。但定理的證明在初學(xué)的時(shí)候一般都很復(fù)雜，甚至很抽象。深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。
三、培養(yǎng)空間想象力
為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學(xué)習(xí)時(shí)，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系。通過模型中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個(gè)平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實(shí)形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。
四、“轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用
我個(gè)人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如：
(1) 兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。
(2) 異面直線的距離可以轉(zhuǎn)化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉(zhuǎn)化。而面面距離可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離又可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離。
(3) 面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直。
五、建立數(shù)學(xué)模型
新課程標(biāo)準(zhǔn)中多次提到“數(shù)學(xué)模型”一詞，目的是進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。數(shù)學(xué)模型是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的描述。數(shù)學(xué)模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函數(shù)解析式等等。實(shí)際問題越復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也越復(fù)雜。
從形狀的角度反映現(xiàn)實(shí)世界的物體時(shí)，經(jīng)過抽象得到的空間幾何體就是現(xiàn)實(shí)世界物體的幾何模型。由于立體幾何學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容與學(xué)生的聯(lián)系非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現(xiàn)實(shí)世界中的許多物體。他們直觀、具體、對培養(yǎng)大家的幾何直觀能力有很大的幫助。空間幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關(guān)系，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的直觀載體。學(xué)習(xí)時(shí)，一方面要注意從實(shí)際出發(fā)，把學(xué)習(xí)的知識與周圍的實(shí)物聯(lián)系起來，另一方面，也要注意經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關(guān)系，歸納、概括它們的判定定理和性質(zhì)定理。
六、總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓(xùn)練
立體幾何解題過程中，常有顯著的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負(fù)值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計(jì)算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉(zhuǎn)換，如能建立空間坐標(biāo)系可用空間向量來解決。只有不斷總結(jié)，才能不斷高。
還要注重規(guī)范訓(xùn)練，高考中反映的這方面的不足十分嚴(yán)重，不少考生對作、證、求三個(gè)環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，因果聯(lián)系不充分，圖形中各元素聯(lián)系理解錯(cuò)誤，符號語言不會運(yùn)用等。這就要求我們在平時(shí)養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學(xué)的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因?yàn)樗⒅剡壿嬐评?。對于即將參加高考的同學(xué)來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，以平時(shí)的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很顯著的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。
立體幾何練習(xí)題4
立體幾何證明題
立體幾何證明題如圖，原題意就是一個(gè)正方體，然后E、F分別是A'B、B'C的中點(diǎn)，求證EF//面ABCD。
那些虛線是我做的輔助線，EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，連接MN;然后EG⊥BB'，連接FG，EF。然后證那個(gè)五面體EGF-MBN是個(gè)三棱柱，從而證得EF//面ABCD，可不可以?
3
證明:(1)連接BG并延長交PA于點(diǎn)H..
因?yàn)镻A,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因?yàn)镚為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因?yàn)镻F=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因?yàn)镻B在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取異于E的一點(diǎn)K,,使得CK=1/3BC...
因?yàn)锽F=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因?yàn)镋為BK中點(diǎn),,BF=FK..所以FE⊥BC...
4
1.設(shè)P點(diǎn)的射影是H因?yàn)镻B=PC=PD，所以H必是BC,DC的中垂線的交點(diǎn)，因?yàn)锽H^2+PH^2=CH^2+PH^2=DH^2+PH^2又因?yàn)锳是BC,DC的中垂線的`交點(diǎn)，所以A與P重合，PA垂直于平面ABCD.2.取AB中點(diǎn)F，過F做FM垂直AB于M，則∠EMF為所求角因?yàn)镋F=1/2AP=1,FM=1/2BN=√3/2(N為AC中點(diǎn))則可求得
5
取CD和BC的中點(diǎn)M,N,連接PM,PN,AM,AN,因?yàn)槿切蜛BC和三角形PBC都為等腰三角形，所以PN垂直于BC,AN還垂直于BC,所以BC垂直于面PAN,所以BC垂直于PA,同理證PA垂直于CD,即可。第二問，建空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)面的法向量，再用向量夾角公式就可求出，結(jié)果為arccos(根號下21)/7.
6
PA⊥AB PA⊥AC，∴PA⊥面ABC
∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AE
又因?yàn)?AE⊥PB
∴AE⊥面PBC，∴AE⊥PC
又∵ AF⊥PC
∴ PC⊥平面AEF
7
3
證明:(1)連接BG并延長交PA于點(diǎn)H..
因?yàn)镻A,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因?yàn)镚為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因?yàn)镻F=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因?yàn)镻B在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取異于E的一點(diǎn)K,,使得CK=1/3BC...
因?yàn)锽F=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因?yàn)镋為BK中點(diǎn),,BF=FK..所以FE⊥BC...
立體幾何練習(xí)題5
立體幾何測試題
1．∥，a，b與，都垂直，則a，b的關(guān)系是
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行、相交、異面都有可能
2．異面直線a，b，a⊥b，c與a成300，則c與b成角范圍是
A．[600，900] B．[300，900] C．[600，1200] D．[300，1200]
3．正方體AC1中，E、F分別是AB、BB1的中點(diǎn)，則A1E與C1F所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
4．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，這時(shí)二面角B—AD—C大小為
A．600 B．900 C．450 D．1200
5．一個(gè)山坡面與水平面成600的二面角，坡腳的水平線（即二面角的棱）為AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同時(shí)乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的點(diǎn)，若PQ=10m，這時(shí)甲、乙2個(gè)人之間的距離為
A． B． C． D．
6．E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點(diǎn)，EF交BD于O，以EF為棱將正方形
折成直二面角如圖，則∠BOD=
A．1350 B．1200 C．1500 D．900
7．三棱錐V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，側(cè)面與底面ABC所成的二面角分別為α，β，γ（都是銳角），則cosα+cosβ+cosγ等于
A．1 B．2 C． D．
8．正n棱錐側(cè)棱與底面所成的角為α，側(cè)面與底面所成的角為β，tanα∶tanβ等于
A． B． C． D．
9．一個(gè)簡單多面體的各面都是三角形，且有6個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)簡單多面體的面數(shù)是
A．4 B．6 C．8 D．10
10．三棱錐P—ABC中，3條側(cè)棱兩兩垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC的面積為S，則P到平面ABC的距離為
A． B． C． D．
11．三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是
A． B． C． D．
12．多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為
A． B．5 C．6 D．
13．已知異面直線a與b所成的角是500，空間有一定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P與a，b所成的角都是300的直線有________條．
14．線段AB的端點(diǎn)到平面α的`距離分別為6cm和2cm，AB在α上的射影A’B’的長為3cm，則線段AB的長為__________．
15．正n棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的取值范圍是____________．
16．如果一個(gè)簡單多面體的每個(gè)面都是奇數(shù)的多邊形，那么它的面數(shù)是__________．
17．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)．
求證：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C．
18．如圖，三棱錐D—ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，
∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600．
⑴求異面直線DA與BC所成的角；⑵求異面直線BD與AC所成的角；
⑶求D到BC的距離； ⑷求異面直線BD與AC的距離．
19．如圖，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，當(dāng)x為何值時(shí)，A、B的距離最?。坎⑶蟠司嚯x．
20．如圖，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為 b，側(cè)棱AA’與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積．
參考答案：
1.D; 2.A; 3.C; 4.A; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5或; 15. ; 16. 偶數(shù);
17. 解析：
⑴欲證EG∥平面BB1D1D，須在平面BB1D1D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構(gòu)造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’，顯然BO’即是。
⑵按線線平行線面平行面面平行的思路，在平面B1D1H內(nèi)尋找B1D1和O’H兩條關(guān)鍵的相交直線，轉(zhuǎn)化為證明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF
⑶A1O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A1O，再尋A1O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線。猜想A1O⊥OF。借助于正方體棱長及有關(guān)線段的關(guān)系計(jì)算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
⑷∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF
∴ 平面BDF⊥平面AA1C
18. 解析：
在平面ABC內(nèi)作AE∥BC，從而得∠DAE=600
∴ DA與BC成600角
過B作BF∥AC，交EA延長線于F，則∠DBF為BD與AC所成的角
由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200∴ DF2=a2+a2-2a2·=3a2 ∴ DF=a
DBF中，BF=AC=a∴ cos∠DBF=∴ 異面直線BD與AC成角arccos
（3）∵ BA⊥平面ADE∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中點(diǎn)M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點(diǎn)N，由MN⊥BC，根據(jù)三垂線定理，DN⊥BC
∴ DN是D到BC的距離 在△DMN中，DM=a，MN=a∴ DN=a
（4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF
∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離∵ ，
由，即異面直線BD與AC的距離為.
19. 解析：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，則EF為異面直線AE、BF的公垂段，AE與BF成600角，可求得|AB|=，當(dāng)x=時(shí)，|AB|有最小值.
20. 解析：在側(cè)面AB’內(nèi)作BD⊥AA’于D 連結(jié)CD
∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD
∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=
∴ △DBC的周長=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面積=
∴ S側(cè)=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’=
立體幾何練習(xí)題6
第一要建立空間觀念，提高空間想象力。
從認(rèn)識平面圖形到認(rèn)識立體圖形是一次飛躍，要有一個(gè)過程。有的同學(xué)自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個(gè)好辦法。有的同學(xué)有空就對一些立體圖形進(jìn)行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對于建立空間觀念也是好方法。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”，對于建立空間觀念也是很有幫助的。
第二要掌握基礎(chǔ)知識和基本技能。
要用圖形、文字、符號三種形式表達(dá)概念、定理、公式，要及時(shí)不斷地復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容。這是因?yàn)椤读Ⅲw幾何》內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，前面內(nèi)容是后面內(nèi)容的根據(jù)，后面內(nèi)容既鞏固了前面的內(nèi)容，又發(fā)展和推廣了前面內(nèi)容。在解題中，要書寫規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時(shí)，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉;要寫出解題根據(jù)，不論對于計(jì)算題還是證明題都應(yīng)該如此，不能想當(dāng)然或全憑直觀;對于文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖;用定理時(shí)，必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚，自己心中有數(shù)而不把它寫出來是不行的。要學(xué)會用圖(畫圖、分解圖、變換圖)幫助解決問題;要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法——分析法、綜合法、反證法。
第三要不斷提高各方面能力。
通過聯(lián)系實(shí)際、觀察模型或類比平面幾何的結(jié)論來提出命題;對于提出的命題，不要輕易肯定或否定它，要多用幾個(gè)特例進(jìn)行檢驗(yàn)，最好做到否定舉出反面例子，肯定給出證明。歐拉公式的內(nèi)容是以研究性課題的形式給出的，要從中體驗(yàn)創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。要不斷地將所學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。所謂結(jié)構(gòu)化，是指從整體到局部、從高層到低層來認(rèn)識、組織所學(xué)知識，并領(lǐng)會其中隱含的思想、方法。所謂系統(tǒng)化，是指將同類問題如平行的問題、垂直的問題、角的問題、距離的問題、惟一性的問題集中起來，比較它們的異同，形成對它們的整體認(rèn)識。牢固地把握一些能統(tǒng)攝全局、組織整體的概念，用這些概念統(tǒng)攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關(guān)系的已知知識間的聯(lián)系，提高整體觀念。
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