下面是范文網(wǎng)小編整理的立體幾何證明題共6篇(幾何證明填空題)，供大家閱讀。

立體幾何證明題共1

　　立體幾何證明大題

　　1．如圖，四面體ABCD中，AD?平面BCD， E、F分別為AD、AC的中點，BC?CD． 求證：（1）EF//平面BCD（2）BC?平面ACD．

2、如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，

（1）求證：AC⊥平面B1D1DB;

（2）求證：BD1⊥平面ACB

　　1（3）求三棱錐B-ACB1體積．

　　1 D C A B D1 C1 AB1

3、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.DBC

　　1?面AB1D1．求證：（１） C1O∥面AB1D1（2 ）AC1

4.如圖，P為?ABC所在平面外一點，PA?平面ABC，

?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F 求證：（1）BC?平面PAB；

（2）AE?平面PBC；

（3）PC?平面AEF．

　　AC

　　BP

　　F

　　A

　　E

　　C

　　B

5、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中點。 求證：PA∥平面BDE

6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，

　　求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.7.如圖，在三棱錐S-ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?,, 證明SC⊥BC；

8、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

　　A

　　C

9、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O?面AB1D1；

?面AB1D1．（2 ）AC1

　　DAD

　　BC1

　　C

　　B

立體幾何證明題共2

　　高三數(shù)學(xué) 立體幾何證明題訓(xùn)練

　　班級姓名

1、如圖，在長方體

　　ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，AB?2a，E、F分別為C1D

1、

　　A1D1的中點． （Ⅰ）求證：DE?平面BCE；（Ⅱ）求證：AF//平面BDE．

　　D

　　1F

　　E

　　C1

　　A1

　　C

　　B

　　A

　　ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD

　　AD?AA1，F(xiàn)為棱AA1的中點， 1的中點，M為線段BD

（1）求證：MF//面ABCD；（2）求證：MF?面BDD1B1；

2、如圖，已知棱柱

，?DAB?60，

?

　　DC

　　1B1

　　M

　　AF

　　C

　　A

3、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點，F(xiàn)為ED

　　的中點。 （I）求證：平面PAC⊥平面PCD；（II）求證：CF//平面BAE。

4、如圖，

　　ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點。

（2）求三棱錐D?

　　D1BC//平面C1DE；

（1）求證：BD

15、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA?ABCD，E為PC的中點。PA＝AD＝AB＝1。

　　AD,,CD?AD,CD?2AB,PA? 底面

（1）證明：EB//平面PAD；（2）證明：BE?平面PDC；（3）求三棱錐B-PDC的體積V。

6、如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45?，底面ABCD為直角梯形，∠

　　1ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC =AD． (Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PCD；

　　2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB ？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

　　PB

　　C

　　D

7、已知ABCD是矩形，

　　AD?4,AB?2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA?面

(1) 證明：PF⊥FD；(2) 在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD.

　　A E

　　B

　　F

　　D

　　ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直

,AB?,AF?1,M

　　的中點。(Ⅰ)求三棱錐A?BDF的體積； (Ⅱ)求證:AM//平面BDE；

8、如圖，已知正方形

9、如圖，矩形

　　是線段EF

　　為CE上的點，且

　　ABCD

　　中，

　　AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F(xiàn)

　　的體積.BF?平面ACE。Ⅰ）求證：AE?平面BCE；

（Ⅱ）求證；

　　AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C?BGF

　　C

　　B

10、如圖，四棱錐P—ABCD中， PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．

(I) 求證：平面PDC?平面PAD；(II) 求證：BE//平面PAD．

11、如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）證明FO//平面CDE；（2）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

　　P

　　E

　　D

　　C

　　A

　　B

　　A

　　D

　　C

12、如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐C－BEP的體積．

13、如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求證：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′—ABD的體積。

14、如圖,在四棱錐P?

　　ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形

,側(cè)面PAD?底面ABCD，且

　　PA?PD?

(Ⅰ)

　　AD，若E、F分別為PC、BD的中點。 2

　　EF //平面PAD； (Ⅱ) 求證:平面PDC?平面PAD；

立體幾何證明題共3

　　立體幾何題型與方法

　　1．平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

(1)證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi) ，推出點在面內(nèi)）， 這樣可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。(2)證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。(3).證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合

2.空間直線（1）空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個公共點；平行直線：共面沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面 ，b與 的關(guān)系是相交、平行、在平面 內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）⑦ 是夾在兩平行平面間的線段，若 ，則 的位置關(guān)系為相交或平行或異面.⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）

（2）.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如右圖）.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

（3）.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.

　　空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]： 是異面直線，則過l外一點P，過點P且與l 都平行平面有一個或沒有，但與 l距離相等的點在同一平面內(nèi).（ 或 在這個做出的平面內(nèi)不能叫 與 l平行的平面）

3.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行? 線面平行”）[注]：①直線l與平面?內(nèi)一條直線m平行，則l∥m .（×）（平面外一條直線） ②直線 l與平面 ?內(nèi)一條直線m相交，則 l與平面?相交.（×）（平面外一條直線）

③若直線l與平面?平行，則?內(nèi)必存在無數(shù)條直線與?平行.（√）

④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（×）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）

⑥直線l與平面?、? 所成角相等，則 （?、?可能相交） ?∥? .（×）

（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行?線線平行”）

（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直?線面垂直”）

　　直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.（5）.a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.

[注]：垂線在平面的射影為一個點.[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。

4.平面平行與平面垂直.（1）.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.

（2）.平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行?面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.

（3）.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行?線線平行”）

（4）.兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.

　　兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.

　　注：如果兩個二面角的平面分別對應(yīng)互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.

（5）.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.

5.（1）.棱柱.a.①直棱柱側(cè)面積： （c為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（c是斜棱柱直截面周長，h 是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.

　　B.{四棱柱} {平行六面體} {直平行六面體} {長方體} {正四棱柱} {正方體}.

{直四棱柱} {平行六面體}={直平行六面體}.

　　C.棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.

③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（×） （直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.

　　D.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.

　　推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.

　　推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則 .

[注]：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）

③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）

（2）.棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.

[注]：①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.

②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以 .

　　A.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.

[注]：i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

　　ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等

　　iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積： （底面周長c，斜高為h ）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式： （側(cè)面與底面成的二面角為 ）

　　注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.

　　B.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.

②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.

　　C.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.

③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.

⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.

⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；

⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心 是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.

[注]：i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等） ii.若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.

　　iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.

　　iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.

（3）.球：a.球的截面是一個圓面.①球的表面積公式： .②球的體積公式： .

　　B.緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點 的緯度是指經(jīng)過 點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).

②經(jīng)度：地球上 兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點 的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是 點的經(jīng)度.附：①圓柱體積： （r為半徑，h為高）②圓錐體積： （ r為半徑， h為高）

③錐體體積： （ 為底面積， 為高）

（1）.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a,.注：球內(nèi)切于四面體： 。

②外接球：球外接于正四面體，

一、經(jīng)典例題剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；

2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點.(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積、已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．

（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S．

4、如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑∠ABD=60°

,∠BDC=45°,

△ADP～△BAD.(1)求線段PD的長；(2)若PC，求三棱錐P-ABC的體積.B

　　1P

　　B AD題3題4（第7題）

5、弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD外一點

　　F滿足FC?平面BED,FB=a（1）證明：EB?FD（2）求點B到平面FED的距離.6．如圖, 在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3，CC1?平面ABC，BC?4，AB?5,AA1?4，

　　點D是AB的中點，（1）求證：AC?BC1；（2）求證：AC1?平面

　　CDB1；（3）求三棱錐C1?CDB1的體積。

7、如圖，在底面是菱形的四棱錐S—ABCD中，SA=AB=2，SB?SD?（1）證明：BD?平面SAC；

（2）問：側(cè)棱SD上是否存在點E，使得SB//平面ACD？請證明你的結(jié)論；

（3）若?BAD?120，求幾何體A—SBD的體積。

　　8．某高速公路收費站入口處的安全標(biāo)識墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐P?EFGH，下半部分是長方體0ABCD?EFGH。圖

5、圖6分別是該標(biāo)識墩的正（主）視圖和俯視圖。（1）請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)（左）視圖；

（2）求該安全標(biāo)識墩的體積； （3）證明：直線BD?平面PEG.（第題）（第9 題）

　　10

　　9．如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC?平面ABC ,AB?2，

　　tan?EAB?（1）證明：平面ACD?平面ADE；（2）記AC?x，V(x)表示三棱錐A－CBE的體積，求V(x)的表達式；（3）當(dāng)V(x)取得最大值時，求證：AD=CE．

　　10．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在棱CC1的延長線上，且CC1?C1E?BC?1AB?1．

　　2（Ⅰ）求證：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求證：平面D1B1E?平面DCB1；（Ⅲ）求四面體D1B1AC的體積．

11、如圖（1），?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?4，E、F分別為AC、AB的中點，將?AEF沿EF折起， 使A?在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點，得到圖（2）．

（1）求證：EF?A?C；（2）求三棱錐F?A?BC的體積．

　　AA

　　DM

　　BBB

　　CC（第12題）（第11題） （第13題） 11

　　1?12.如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，?ABC?45，DC?1，AB?2，

　　PA?平面ABCD，PA?1． （1）求證：AB//平面PCD；

　　的中點，求三棱錐M—ACD的體積． （2）求證：BC?平面PAC；（3）若M是PC

　　BC?如圖,在三棱柱ABC?A側(cè)棱AA1?底面ABC,AB?BC,D為AC的中點, A1B1C1中，1A?AB?2,

（1）求證：AB1//平面BC1D； (2) 求四棱錐B?AAC11D的體積.13．如圖，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

　　2別是EC、BD的中點。（Ⅰ）求證：GF//底面ABC；（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V。

　　14．如圖,長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AA1?1,AD?2,E是BC的中點.

(Ⅰ)求證：直線BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求證：平面A1AE?平面D1DE；(Ⅲ)求三棱錐A?A1DE的體積.

　　C

（第14題）A1 BD1 1 A D AB E （第15題）

立體幾何證明題共4

　　立體幾何證明題舉例

(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.證明 (1)因為ABC ?A1B1C1是直三棱柱， 所以C C1⊥平面ABC.

　　又AD?平面ABC，所以C C1⊥AD.

　　又因為AD⊥DE，C C1，DE?平面BC C1 B1，

　　C C1∩DE＝E，

　　所以AD⊥平面BC C1 B1.

　　又AD?平面ADE，

　　所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.

(2)因為A1 B1＝A1 C1，F(xiàn)為B1 C1的中點，所以A1F⊥B1 C1.因為C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F?平面A1 B1 C1， 所以C C1⊥A1F.

　　又因為C C1，B1 C1?平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1， 所以A1F⊥平面BC C1 B1.

　　由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.

　　又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點．

(1)求證：BD⊥平面CDE；

(2)求證：GH∥平面CDE；

(3)求三棱錐D－CEF的體積．

[審題導(dǎo)引] (1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；

(3)變換頂點，求VC－DEF.

[規(guī)范解答] (1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形，

∴ED⊥AD，

　　又平面ADEF⊥平面ABCD，

　　平面ADEF∩平面ABCD＝AD.

∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.

　　又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，

∴BD⊥平面CDE.

(2)證明 ∵G是DF的中點，又易知H是FC的中點，

∴在△FCD中，GH∥CD，

　　又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

(3)設(shè)Rt△BCD中，BC邊上的高為h，

∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，

　　11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，

　　33∴h＝2C到平面DEF2，

　　1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；

(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－

　　BCM的體積．

[審題導(dǎo)引] (1)只要證明MD∥AP即可，根據(jù)三角形中位線定理可證；

(2)證明AP⊥BC；

(3)根據(jù)錐體體積公式進行計算．

[規(guī)范解答] (1)證明 由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.

(2)證明 因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，

　　所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.

　　又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.

　　因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC.

　　又BC⊥AC，AC∩AP＝A，

　　所以BC⊥平面APC.

　　因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.

(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，

　　所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，

　　11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.

　　33

立體幾何證明題共5

　　立體幾何證明大題答案

　　1．（本題滿分9分）

　　證明：

?（1）AE?ED???EF//DC?AF?FC???EF?平面BCD??EF//平面BCD

　　DC?平面BCD????

…………4分

?（2）AD?平面BCD??BC?AD??BC?平面BCD???………9分 BC?CD??BC?平面ACD

　　AD?CD?D????

1.證明：過A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC ，得AD⊥平面PBC，故AD

⊥BC，

　　又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB

2、證明：（1）連結(jié)A1C1，設(shè)AC11?B1D1?O1

　　連結(jié)AO1，? ABCD?A1B1C1D1是正方體?A1ACC1是平行四邊形

?AC11?AC11?AC且 AC

　　又O1,O分別是AC1C1?AO且O1C1?AO 11,AC的中點，?O

?AOC1O1是平行四邊形

?C1O?AO1,AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1

?C1O?面AB1D1

（2）?CC1?面A1B1C1D1?CC !1?B1D

　　又?AC11?B1D1，?B1D1?面A1C1C

　　即AC?B1D11

　　同理可證AC?AB1，1

　　又D1B1?AB1?B1

?面AB1D1?AC1

16.（滿分12分）如圖，在三棱錐S-ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?,, （Ⅰ）證明SC⊥BC；（Ⅱ）若已知AC?2,BC?,SB?29, 求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小。

　　解：（Ⅰ）證明: ∵?SAB??SAC?90? ∴SA⊥AB,SA⊥AC 又AB? AC=A∴SA⊥平面ABC …………2分

　　又BC?平面ABC∴BC⊥SA；……………3分

　　又?ACB?90?即BC?AC…………………4分 又AC? SA=A∴BC⊥平面SAC………5分

　　又SC?平面SAC∴SC⊥BC………………6分

（Ⅱ）解： ∵SC⊥BCAC⊥BC………………7分 ∴?SCA是側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的平面角………………………8分 在Rt?

　　SCB中，由BC?SB?

??4…9分 在Rt?SAC中，由AC=2,SC=4得COS?SCA=AC1?SC2??SCA?60?…10分 即側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60°.……………………12分

立體幾何證明題共6

　　立體幾何證明大題

　　1．如圖，四面體ABCD中，AD?平面BCD， E、F分別為AD、AC的中點，BC?CD． 求證：（1）EF//平面BCD（2）BC?平面ACD．

2、如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，

（1）求證：AC⊥平面B1D1DB;

（2）求證：BD1⊥平面ACB

　　1（3）求三棱錐B-ACB1體積．

　　D C A B D1 C1 AB1

　　D

3、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.C

　　1B?面AB1D1．求證：（１） C1O∥面AB1D1（2 ）AC1A

4.如圖，P為?ABC所在平面外一點，PA?平面ABC，

?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F

　　求證：（1）BC?平面PAB；

（2）AE?平面PBC； （3）PC?平面AEF．

　　B

　　P

　　F

　　A

　　E

　　C

　　B

5、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中點。求證：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC?平面BDE（3）若棱錐的棱長都為2，求棱錐的體積。

6.如圖，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC

　　求證：AB⊥BCP

　　A

7.如圖，在三棱錐S-ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?,, （Ⅰ）證明SC⊥BC；

（Ⅱ）若已知AC?2,BC?,SB?29, 求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小。

8.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知DA?DC?4,的余弦值 。.

　　DD1?3，求異面直線A1B與B1C所成角

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