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　　集合學(xué)習(xí)過程集合與元素的理解 知識點 1：集合與元素的理解 （1）一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素，常用 a，b，c…表示，一些元素組成的總體叫集合， 常用 A,B,C…表示，也簡稱集，如果 a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于 A，記作 a∈A，如果a 不是集合 A 的元素，就說 a 不屬于 A，記作 a ? A。

（2）注意凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對象。

（3）集合是一個整體已經(jīng)暗含所有、全部、全體的意思，因此一些對象一旦組成了集合， 那么這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象，例如{x|x>0}就是指所有大于 0 的實數(shù)。

（4）集合與元素之間的關(guān)系是整體與個體的關(guān)系這種寫法是錯誤的{1}∈{1、2、3}。

　　知識點 2：集合中元素的三個特性 （1）確定性：設(shè) A 是一個給定的集合，x 是某一個具體對象，則或者是 A 的元素，或者不 是 A 的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象） ，因此， 同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。

（3）無序性：{a，b，c}與{b，a，c}是同一個集合。

　　知識點 3：集合的表示方法 （1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。一般有這樣 幾種不同的寫法{1，2，3，4}，{1，2，3，…，100}，{1，2，3，4，…,n,…} （2）描述法：{x|x∈p(x)}，其中一對大括號是必須的，x 是代表元素，他說明這個集合是 點集還是數(shù)集等，p(x)是代表元素滿足的性質(zhì)。豎線不可省。

（3）自然語言：如{2，4，6，8}用自然語言敘述為：大于等于 2 且小于等于 8 的偶數(shù)組成 的集合。

（4）集合的圖形表示法：1、韋恩（Venn）圖，用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合 2、數(shù)軸法，如下表示集合{x|-4<x<2}，實點表示能取到該值，空點表示取不到。知識點 4：集合的運算 1、子集、真子集：如果集合 A 中的每一個元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集 合 B 的子集，記作 A ? B 或 B ? A . 符號語言：若 x∈A 則 x∈B 圖形語言：如圖 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素， 那么 P 不包含于 Q， Q 不包含 P.記作：P ? Q ； 或 若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一個元素不屬于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真 子集. A ? B 或 B ? A .注意任何一個集合都是他本身的子集，不含任何元素的集合叫做空 n 集Ф，規(guī)定空集是任何集合的子集。牢記以下四個結(jié)論：n 個元素的集合有 2 個子集；n 個 n n n 元素的集合有 2 -1 個真子集；n 個元素的集合有 2 -1 個非空子集；n 個元素的集合有 2 -2 個非空真子集。2、并集：一般地，對于給定的兩個集合 A,B 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 A,B 的并集．記作 A∪B（讀作＂A 并 B＂） ， 符號語言：A∪B=｛x|x∈A，或 x∈B｝ ．Veen 圖： 如： ｛1,2,3,6｝∪｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝ ． 又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.則 A∪B={a,b,c,d,e,f} 注意 1、A∪B 是所有屬于 A 和 B 的元素放在一起，并且滿足互異性。2、A∪B 仍然是個集 合。

　　A∪B 共有以下五種圖示：3、交集：一般的所有屬于 A 且屬于 B 的元素組成的集合叫做 A 與 B 的交集。記作：A∩B 讀作：A 交 B，符號語言：A∩B=｛x|x∈A，且 x∈B｝Veen 圖： A∪B 共有以下五種圖示：4、補(bǔ)集：若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不屬于 A 的元素構(gòu)成的集合，叫做 A 在 U 中的補(bǔ) 集，記作 CU A ，讀作：A 在 U 中的補(bǔ)集 CU A =｛x|x ? A｝學(xué)習(xí)結(jié)論1、 凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的元素。

　　2、 集合的三個特性：確定性、互異性、無序性。

　　3、 集合的表示方法：列舉法、描述法、自然語言；圖形表示法：數(shù)軸法、Veen 圖約定俗成的特定集合：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集） ，記作 N;；整數(shù)集，記作 N*或 N+； 整數(shù)集，記作 Z；有理數(shù)集，記作 Q；實數(shù)集，記作 R，不能隨意延伸，造作。

　　4、 關(guān)于子集、真子集、非空真子集、個數(shù)的四個結(jié)論。

　　5、 熟練掌握子交并補(bǔ)的三種語言表示，即文字語言、符合語言、圖形語言。典型例題例題 1、已知集合 A = ? x1 1? ? ≥ ? ， B = {x 2m ? 1 ≤ x ≤ m + 1, m ∈ R}，且 B ? A ，求 ? x + 2 7?m 的取值范圍．解析： 解析： A = { x | ?2 < x ≤ 5} ∵B ? A 當(dāng) 2m ? 1 > m + 1 即 m > 2 時， B = ? ? A 當(dāng) 2m ? 1 = m + 1 即 m = 2 時， B = {3} ? A 當(dāng) 2m ? 1 < m + 1 即 m < 2 時， ? 綜上得 m > ?? ?2 < 2 m ? 1 1 1 ? ? < m ≤ 4 ，∴ ? < m < 2 2 2 ?m + 1 ≤ 51 2例題 2、已知 A = 集合 x 2 < x < 3 ， 集合 B = x kx + 2 x + 6k > 0 ，實數(shù)集 R .2{}{}(1) 若 A = B ,求實數(shù) k 的值； (2) 若 B ∩ R = R ，求實數(shù) k 的取值范圍.2 解析： (1) 由 A = B 知不等式 kx + 2 x + 6k > 0 的解集是 x 2 < x < 3 ,所以 x1 = 2, x 2 = 3 解析：{}? 2 ?? k = 2 + 3 = 5 2 ? 2 是方程 kx + 2 x + 6k = 0 的兩個根, 由韋達(dá)定理得 ? , 且 k < 0. ? k = ? . 5 ? 6k = 2 × 3 = 6 ?k ?(2)由 B ∩ R = R 知不等式 kx + 2 x + 6k > 0 的解集是 R, 顯然 k ≠ 0,2?k > 0 6 ∴B∩R = R ? ? ,解之得 k > . 2 6 ?? = 2 ? 4 k ? 6 k < 0例題 3、解關(guān)于 x 的不等式：1 > a, (a ∈ R ). 2? x 1 1 1 + a ( x ? 2) ax ? (2a ? 1) 解析： >a? +a<0? <0? < 0. 解析： 2? x x?2 x?2 x?2 1 （1）當(dāng) a = 0 時, 原不等式 ? > 0. ∴ 原不等式的解集為 {x x < 2}; 2? x1 x ? (2 ? ) a < 0. 這時 2 ? 1 < 2, ∴ 原不等式的解集為 (2) 當(dāng) a > 0 時, 原不等式 ? x?2 a1 ? ? ? x 2 ? < x < 2? ; a ? ?1 x ? (2 ? ) a > 0. 這時 2 ? 1 > 2, ∴ 原不等式的解集為 (3) 當(dāng) a < 0 時, 原不等式 ? x?2 a1? ? ? x | x < 2, 或x > 2 ? ? . a? ?例題 4、 已知集合 求實數(shù) 的取值范圍。

　　解：方法 1 ， 一個負(fù)根。

　　中至少含有一個負(fù)數(shù)，即方程 至少有 ， ， 若 ，當(dāng)方程有兩個負(fù)根時，，，當(dāng)方程有一個負(fù)根與一個正根時，當(dāng)方程有一個負(fù)根與一個零根時， 或 或從而實數(shù) 的取值范圍為 方法 2 ， 中至少含有一個負(fù)數(shù)取全集 當(dāng) A 中的元素全是非負(fù)數(shù)時，，，所以當(dāng) 從而當(dāng)時的實數(shù) a 的取值范圍為 時的實數(shù) a 的取值范圍為

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　　期中測試一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的 選擇題：代號填在題后的括號內(nèi)（每小題 5 分，共 50 分） 。

　　1．滿足條件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的個數(shù)是 A．1個 答案：D B． 2個 C． 3個 D．4個 （ ）解析： φ , 1} , 0} 1, 2} 。

　　2．下列四個命題中，設(shè)U為全集，則不正確的命題是 A．若A∩B＝ φ ，則(CUA)∪(CUB)＝U C．若A∪B＝U，則(CUA)∩(CUB)＝ φ ? 答案：B B．若A∩B＝ φ ，則A＝B＝ φ D．若A∪B＝ φ ，則A＝B＝ φ （ ）{ { {?2 x ? x 2 (0 ≤ x ≤ 3) ? 3．函數(shù) f(x)= ? 的值域是 ? x 2 + 6 x(?2 ≤ x ≤ 0) ?A．R B．[－9，＋ ∞ ) C．[－8，1] D．[－9，1]（）答案：C 解析：分段求值域再求并集。

　　4．某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下 圖中縱軸表示離學(xué)校的距離， 橫軸表示出發(fā)后的時間， 則下圖中的四個圖形中較符合該 學(xué)生走法的是 （ ） d d0 d d0 d d0 d d0O A．2t0 t B．Ot0 tO C．t0 tO D．t0 t （ ）5．函數(shù) y=x －3x(x<1)的反函數(shù)是 A．y=3 9 9 + x + (x>－ ) 2 4 4 3 9 + x + (x>－2) 2 4B．y=3 9 9 ? x + (x>－ ) 2 4 4 3 9 ? x + (x>－2) 2 4C．y=D．y=答案：D 解析：特別要注意原函數(shù)的值域為反函數(shù)的定義域。

　　6．已知 A、B 兩地相距 150 千米，某人開汽車以 60 千米/小時的速度從 A 地到達(dá) B 地，在 B 地停留 1 小時后再以 50 千米/小時的速度返回 A 地，把汽車離開 A 地的距離 x 表示 為時間 t（小時）的函數(shù)表達(dá)式是 （ ） A．x=60t B．x=60t＋50t?60t , (0 ≤ t ≤ 2.5) C．x= ? ?150 ? 50t , (t > 3.5)?60t , (0 ≤ t ≤ 2.5) ? D．x= ?150, ( 2.5 < t ≤ 3.5) ?150 ? 50(t ? 3.5), (3.5 < t ≤ 6.5) ?答案：D 解析：不同的路程不同的速度，特別注意返回時的函數(shù)。

　　7．函數(shù) f(x)=loga x + 1 ,在（－1，0）上有 f(x)>0，那么 A．f(x)(－ ∞ ,0)上是增函數(shù) C．f(x)在（－ ∞ ，－1）上是增函數(shù) 答案：C B．f(x)在（－ ∞ ，0）上是減函數(shù) D．f(x)在（－ ∞ ，－1）上是減函數(shù) （ ）解析：由 f(x)=loga x + 1 ,在（－1，0）上有 f(x)>0 得 0 < a < 1 故選 C。

　　8．某工廠去年 12 月份的產(chǎn)值是去年 1 月份產(chǎn)值的 m 倍，則該廠去年產(chǎn)值的月平均增長率 為 （ A.m 11）B.m 12C. 12 m ? 1D. 11 m ? 1答案：D 9．設(shè) f（x）＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函數(shù)，g（x）＝4x ? b 是奇函數(shù)，那么 a＋b 的值為（ 2x）A． 1B．－1C．－1 2D．1 2答案：D 10．某地的中國移動“神州行”卡與中國聯(lián)通130網(wǎng)的收費標(biāo)準(zhǔn)如下表： 網(wǎng)絡(luò) 甲：聯(lián)通130網(wǎng) 乙：移動“神州行”卡 月租費 12元 無 本地話費 每分鐘0.36元 每分鐘0.6元 長途話費 每 6 秒 鐘 0.06 元 每 6 秒 鐘 0.07 元(注:本地話費以分鐘為單位計費,長途話費以6秒鐘為單位計費) 若某人每月?lián)艽虮镜仉娫挄r間是長途電話時間的5倍,且每月通話時間(分鐘)的范圍在區(qū) 間(60,70)內(nèi),則選擇較為省錢的網(wǎng)絡(luò)為 （ ） A.甲 B.乙 C.甲乙均一樣 D.分情況確定 答案：A 填空題： 二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題 4 分，共 16 分）. 11．用集合分別表示下列各圖中的陰影部分： (1) (2) (3) (4)答案：(1)(A∩C)∪(B∩C)(或(A∪B)∩C)；(2)(A∩C)∪B(或(A∪B)∩(C∪B))； (3)(A∩CUB)∪(B∩C)；(4)A∪(B∩C)。

　　12．已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)，當(dāng) x>0 時， f ( x) = x + | x | ?1 ，那么 x<0 時， f(x)= . 2 答案： ? x + x + 1 。213．若 f(x)= 答案：a>ax + 1 在區(qū)間（－2，＋ ∞ ）上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 x+2.1 。

　　2.14．函數(shù)f(x) = log 3 | 2 x + a | 的圖象的對稱軸方程為x=2，則常數(shù)a= 答案：-4。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共44分). 解答題：15、 （10 分）設(shè) x1,x2 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2－2(m－1)x＋m＋1=0 的兩個實根，又 y=x21 ＋x22，求 y=f(m)的解析式及此函數(shù)的定義域.。

　　答案：y=f(m)=4m2－10m＋2(m ≤ 0 或 m ≥ 3) 解析：∵x1,x2 是 x2－2(m－1)x＋m＋1=0 的兩個實根， ∴ ? =4（m－1）2－4(m＋1) ≥ 0,解得 m ≤ 0 或 m ≥ 3。

　　又∵x1＋x2=2(m－1), x1·x2=m＋1, ∴y=f(m)=x12＋x22=(x1＋x2)2－2x1x2=4m2－10m＋2, 即 y=f(m)=4m2－10m＋2(m ≤ 0 或 m ≥ 3)。

　　16、 （10 分）設(shè)函數(shù) f(x)對任意 x,y ∈ R ，都有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ，且 x > 0 時，f(x)<0， f(1)=－2． ⑴求證：f(x)是奇函數(shù)； ⑵試問在 ? 3 ≤ x ≤ 3 時，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果沒有，說出理由. 答案： （2）函數(shù)最大值為 6，最小值為－６ 解析：⑴證明：令 x=y=0，則有 f (0) = 2 f (0) ? f (0) = 0 ． 令 y=－x，則有 f (0) = f ( x ) + f ( ? x ) ． 即 f ( ? x ) = ? f ( x) ，∴ f (x) 是奇函數(shù)．⑵任取 x1 < x 2 ，則 x2 ? x1 > 0. ? f ( x2 ? x1 ) < 0. 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f ( ? x 2 ) = f ( x1 ? x 2 ) = ? f ( x 2 ? x1 ) > 0 ．∴ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ． ∴ y = f (x) 在 R 上為減函數(shù)．因此 f (3) 為函數(shù)的最小值， f (?3) 為函數(shù)的最大值． f (3) = f (1) + f ( 2) = 3 f (1) = 6 ，f (?3) = ? f (3) = ?6 ， ∴ 函數(shù)最大值為 6，最小值為－６。17、 （12 分）設(shè)函數(shù) f ( x ) = 2 +xa ? 1 （a 為實數(shù)） 2x（1）當(dāng) a＝0 時，若函數(shù) y = g ( x ) 的圖象與 f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱，求函數(shù)y = g ( x) 的解析式；（2）當(dāng)a<0時，求關(guān)于x的方程 f ( x ) ＝0在實數(shù)集R上的解. 答案： （1） g ( x) = 22? x?1;x（2） x = log 21 + 1 ? 4a 2。解析： （1）當(dāng) a=0 時， f ( x ) = 2 ? 1 設(shè) y = g ( x ) 圖像上任意一點 P（x、y） ，則 P 關(guān)于 x=1 的對稱點為 P/（2－x，y） 由題意 P/（2－x，y）在 f ( x ) 圖像上,所以, y = 22 ? x ? 1 ,即 g ( x ) = 22 ? x ? 1 ; （2） f ( x ) = 0 ,即 2 +xa ? 1 = 0 ,整理，得： (2 x ) 2 ? 2 x + a = 0 x 2 1 ? 4a >1所以 2 =x1 ± 1 ? 4a ，又 a<0，所以 2所以 2 =x1 + 1 ? 4a 1 + 1 ? 4a ，從而 x = log 2 2 2。18、 （12 分）設(shè)函數(shù) f ( x ) = log 2x +1 + log 2 ( x ? 1) + log 2 ( p ? x) ， x ?1（1）求 f ( x ) 的定義域； （2） f ( x ) 是否存在最大值或最小值？如果存在，請把它求出來；若不存在，請說明理由.。答案： （1，p） （1）( p + 1) 2 （2） f ( x ) 有最大值 log 2 ，但沒有最小值 4?x +1 >0 ? x >1 ? 解析： （1）由 ? x ? 1 得? ， ?x ? 1 > 0 ?x < p ?p ? x > 0 ? ?因為函數(shù)的定義域是非空集合，故 p>1，所以 f(x)的定義域為（1，p） 。p ? 1 2 ( p + 1)2 （2）∵ f ( x ) = log 2 [( x + 1)( p ? x )] = log 2 [?( x ? ) + ] 2 4∴當(dāng)p ?1 ≤ 1 ，即 1 < p ≤ 3 時， f ( x) 既無最大值又無最小值； 2 p ?1 p ?1 ( p + 1) 2 < p ，即 p > 3 時，當(dāng) x = 時， f ( x ) 有最大值 log 2 ， 2 2 4當(dāng)1 <但沒有最小值. 綜上可知： 1 < p ≤ 3 ， f ( x ) 既無最大值又無最小值p > 3 ， f ( x) 有最大值 log 2( p + 1) 2 ，但沒有最小值。

　　4

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　　2012 年 3 月 1 日，北京中關(guān)村核心區(qū)中科大廈蓬蓽生輝、喜氣盈人。在大廈禮堂，北銀消費金融公司 與新華教育集團(tuán)隆重簽訂“中國培訓(xùn)--北銀助學(xué)貸款”項目，助學(xué)貸款合作正式啟動。人力資源和社會保 障部副部長孫寶樹、商務(wù)部副部長姜增偉、中國銀監(jiān)會副主席蔡鍔生、人力資源和社會保障部培訓(xùn)協(xié)會會 長畢結(jié)禮等領(lǐng)導(dǎo)見證了現(xiàn)場簽約，《北京晚報》、金融界、中金在線等數(shù)家媒體給予了高度關(guān)注和報道。汪總與北銀常務(wù)副總經(jīng)理宋文昌簽訂協(xié)議簽約儀式現(xiàn)場“中國培訓(xùn)--北銀助學(xué)貸款”項目，是惠及學(xué)生、幫扶貧困學(xué)子圓滿完成學(xué)業(yè)的一項愛心工程，作為中 國銀監(jiān)會獲準(zhǔn)籌建、北京銀行獨資設(shè)立的國內(nèi)首家金融公司、北銀在選擇合作方時注重對方社會口碑及對 國家的貢獻(xiàn)。正是新華教育集團(tuán) 24 年來持續(xù)推動職業(yè)教育改革、創(chuàng)新發(fā)展的模式，50 多萬技能型、應(yīng)用 型人才的脫穎而出，奠定了國內(nèi)教育大品牌的聲譽(yù)，也為率先啟動“中國培訓(xùn)--北銀消費金融助學(xué)貸款” 項目創(chuàng)造了條件。簽約活動后，人力資源和社會保障部副部長孫寶樹接見了新華教育集團(tuán)副總經(jīng)理汪俊，并高度肯定了新 華教育集團(tuán)的辦學(xué)模式和“中國培訓(xùn)--北銀助學(xué)貸款”的舉措。人力資源和社會保障部副部長孫寶樹接見新華教育集團(tuán)副總經(jīng)理汪俊新華教育集團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)陪同相關(guān)與會領(lǐng)導(dǎo)參觀北銀

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