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集合學(xué)習(xí)過程集合與元素的理解 知識點 1:集合與元素的理解 (1)一般地,研究對象統(tǒng)稱為元素,常用 a,b,c…表示,一些元素組成的總體叫集合, 常用 A,B,C…表示,也簡稱集,如果 a 是集合 A 的元素,就說 a 屬于 A,記作 a∈A,如果a 不是集合 A 的元素,就說 a 不屬于 A,記作 a ? A。
(2)注意凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對象。
(3)集合是一個整體已經(jīng)暗含所有、全部、全體的意思,因此一些對象一旦組成了集合, 那么這個集合就是這些對象的全體,而非個別對象,例如{x|x>0}就是指所有大于 0 的實數(shù)。
(4)集合與元素之間的關(guān)系是整體與個體的關(guān)系這種寫法是錯誤的{1}∈{1、2、3}。
知識點 2:集合中元素的三個特性 (1)確定性:設(shè) A 是一個給定的集合,x 是某一個具體對象,則或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。
(2)互異性:一個給定集合中的元素,指屬于這個集合的互不相同的個體(對象) ,因此, 同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。
(3)無序性:{a,b,c}與{b,a,c}是同一個集合。
知識點 3:集合的表示方法 (1)列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。一般有這樣 幾種不同的寫法{1,2,3,4},{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n,…} (2)描述法:{x|x∈p(x)},其中一對大括號是必須的,x 是代表元素,他說明這個集合是 點集還是數(shù)集等,p(x)是代表元素滿足的性質(zhì)。豎線不可省。
(3)自然語言:如{2,4,6,8}用自然語言敘述為:大于等于 2 且小于等于 8 的偶數(shù)組成 的集合。
(4)集合的圖形表示法:1、韋恩(Venn)圖,用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合 2、數(shù)軸法,如下表示集合{x|-4<x<2},實點表示能取到該值,空點表示取不到。知識點 4:集合的運算 1、子集、真子集:如果集合 A 中的每一個元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集 合 B 的子集,記作 A ? B 或 B ? A . 符號語言:若 x∈A 則 x∈B 圖形語言:如圖 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素, 那么 P 不包含于 Q, Q 不包含 P.記作:P ? Q ; 或 若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一個元素不屬于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真 子集. A ? B 或 B ? A .注意任何一個集合都是他本身的子集,不含任何元素的集合叫做空 n 集Ф,規(guī)定空集是任何集合的子集。牢記以下四個結(jié)論:n 個元素的集合有 2 個子集;n 個 n n n 元素的集合有 2 -1 個真子集;n 個元素的集合有 2 -1 個非空子集;n 個元素的集合有 2 -2 個非空真子集。2、并集:一般地,對于給定的兩個集合 A,B 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 A,B 的并集.記作 A∪B(讀作"A 并 B") , 符號語言:A∪B={x|x∈A,或 x∈B} .Veen 圖: 如: {1,2,3,6}∪{1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10} . 又如:A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.則 A∪B={a,b,c,d,e,f} 注意 1、A∪B 是所有屬于 A 和 B 的元素放在一起,并且滿足互異性。2、A∪B 仍然是個集 合。
A∪B 共有以下五種圖示:3、交集:一般的所有屬于 A 且屬于 B 的元素組成的集合叫做 A 與 B 的交集。記作:A∩B 讀作:A 交 B,符號語言:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}Veen 圖: A∪B 共有以下五種圖示:4、補(bǔ)集:若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不屬于 A 的元素構(gòu)成的集合,叫做 A 在 U 中的補(bǔ) 集,記作 CU A ,讀作:A 在 U 中的補(bǔ)集 CU A ={x|x ? A}學(xué)習(xí)結(jié)論1、 凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的元素。
2、 集合的三個特性:確定性、互異性、無序性。
3、 集合的表示方法:列舉法、描述法、自然語言;圖形表示法:數(shù)軸法、Veen 圖約定俗成的特定集合:非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集) ,記作 N;;整數(shù)集,記作 N*或 N+; 整數(shù)集,記作 Z;有理數(shù)集,記作 Q;實數(shù)集,記作 R,不能隨意延伸,造作。
4、 關(guān)于子集、真子集、非空真子集、個數(shù)的四個結(jié)論。
5、 熟練掌握子交并補(bǔ)的三種語言表示,即文字語言、符合語言、圖形語言。典型例題例題 1、已知集合 A = ? x1 1? ? ≥ ? , B = {x 2m ? 1 ≤ x ≤ m + 1, m ∈ R},且 B ? A ,求 ? x + 2 7?m 的取值范圍.解析: 解析: A = { x | ?2 < x ≤ 5} ∵B ? A 當(dāng) 2m ? 1 > m + 1 即 m > 2 時, B = ? ? A 當(dāng) 2m ? 1 = m + 1 即 m = 2 時, B = {3} ? A 當(dāng) 2m ? 1 < m + 1 即 m < 2 時, ? 綜上得 m > ?? ?2 < 2 m ? 1 1 1 ? ? < m ≤ 4 ,∴ ? < m < 2 2 2 ?m + 1 ≤ 51 2例題 2、已知 A = 集合 x 2 < x < 3 , 集合 B = x kx + 2 x + 6k > 0 ,實數(shù)集 R .2{}{}(1) 若 A = B ,求實數(shù) k 的值; (2) 若 B ∩ R = R ,求實數(shù) k 的取值范圍.2 解析: (1) 由 A = B 知不等式 kx + 2 x + 6k > 0 的解集是 x 2 < x < 3 ,所以 x1 = 2, x 2 = 3 解析:{}? 2 ?? k = 2 + 3 = 5 2 ? 2 是方程 kx + 2 x + 6k = 0 的兩個根, 由韋達(dá)定理得 ? , 且 k < 0. ? k = ? . 5 ? 6k = 2 × 3 = 6 ?k ?(2)由 B ∩ R = R 知不等式 kx + 2 x + 6k > 0 的解集是 R, 顯然 k ≠ 0,2?k > 0 6 ∴B∩R = R ? ? ,解之得 k > . 2 6 ?? = 2 ? 4 k ? 6 k < 0例題 3、解關(guān)于 x 的不等式:1 > a, (a ∈ R ). 2? x 1 1 1 + a ( x ? 2) ax ? (2a ? 1) 解析: >a? +a<0? <0? < 0. 解析: 2? x x?2 x?2 x?2 1 (1)當(dāng) a = 0 時, 原不等式 ? > 0. ∴ 原不等式的解集為 {x x < 2}; 2? x1 x ? (2 ? ) a < 0. 這時 2 ? 1 < 2, ∴ 原不等式的解集為 (2) 當(dāng) a > 0 時, 原不等式 ? x?2 a1 ? ? ? x 2 ? < x < 2? ; a ? ?1 x ? (2 ? ) a > 0. 這時 2 ? 1 > 2, ∴ 原不等式的解集為 (3) 當(dāng) a < 0 時, 原不等式 ? x?2 a1? ? ? x | x < 2, 或x > 2 ? ? . a? ?例題 4、 已知集合 求實數(shù) 的取值范圍。
解:方法 1 , 一個負(fù)根。
中至少含有一個負(fù)數(shù),即方程 至少有 , , 若 ,當(dāng)方程有兩個負(fù)根時,,,當(dāng)方程有一個負(fù)根與一個正根時,當(dāng)方程有一個負(fù)根與一個零根時, 或 或從而實數(shù) 的取值范圍為 方法 2 , 中至少含有一個負(fù)數(shù)取全集 當(dāng) A 中的元素全是非負(fù)數(shù)時,,,所以當(dāng) 從而當(dāng)時的實數(shù) a 的取值范圍為 時的實數(shù) a 的取值范圍為
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期中測試一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把正確答案的 選擇題:代號填在題后的括號內(nèi)(每小題 5 分,共 50 分) 。
1.滿足條件{0,1}∪A={0,1}的所有集合A的個數(shù)是 A.1個 答案:D B. 2個 C. 3個 D.4個 ( )解析: φ , 1} , 0} 1, 2} 。
2.下列四個命題中,設(shè)U為全集,則不正確的命題是 A.若A∩B= φ ,則(CUA)∪(CUB)=U C.若A∪B=U,則(CUA)∩(CUB)= φ ? 答案:B B.若A∩B= φ ,則A=B= φ D.若A∪B= φ ,則A=B= φ ( ){ { {?2 x ? x 2 (0 ≤ x ≤ 3) ? 3.函數(shù) f(x)= ? 的值域是 ? x 2 + 6 x(?2 ≤ x ≤ 0) ?A.R B.[-9,+ ∞ ) C.[-8,1] D.[-9,1]()答案:C 解析:分段求值域再求并集。
4.某學(xué)生離家去學(xué)校,由于怕遲到,所以一開始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下 圖中縱軸表示離學(xué)校的距離, 橫軸表示出發(fā)后的時間, 則下圖中的四個圖形中較符合該 學(xué)生走法的是 ( ) d d0 d d0 d d0 d d0O A.2t0 t B.Ot0 tO C.t0 tO D.t0 t ( )5.函數(shù) y=x -3x(x<1)的反函數(shù)是 A.y=3 9 9 + x + (x>- ) 2 4 4 3 9 + x + (x>-2) 2 4B.y=3 9 9 ? x + (x>- ) 2 4 4 3 9 ? x + (x>-2) 2 4C.y=D.y=答案:D 解析:特別要注意原函數(shù)的值域為反函數(shù)的定義域。
6.已知 A、B 兩地相距 150 千米,某人開汽車以 60 千米/小時的速度從 A 地到達(dá) B 地,在 B 地停留 1 小時后再以 50 千米/小時的速度返回 A 地,把汽車離開 A 地的距離 x 表示 為時間 t(小時)的函數(shù)表達(dá)式是 ( ) A.x=60t B.x=60t+50t?60t , (0 ≤ t ≤ 2.5) C.x= ? ?150 ? 50t , (t > 3.5)?60t , (0 ≤ t ≤ 2.5) ? D.x= ?150, ( 2.5 < t ≤ 3.5) ?150 ? 50(t ? 3.5), (3.5 < t ≤ 6.5) ?答案:D 解析:不同的路程不同的速度,特別注意返回時的函數(shù)。
7.函數(shù) f(x)=loga x + 1 ,在(-1,0)上有 f(x)>0,那么 A.f(x)(- ∞ ,0)上是增函數(shù) C.f(x)在(- ∞ ,-1)上是增函數(shù) 答案:C B.f(x)在(- ∞ ,0)上是減函數(shù) D.f(x)在(- ∞ ,-1)上是減函數(shù) ( )解析:由 f(x)=loga x + 1 ,在(-1,0)上有 f(x)>0 得 0 < a < 1 故選 C。
8.某工廠去年 12 月份的產(chǎn)值是去年 1 月份產(chǎn)值的 m 倍,則該廠去年產(chǎn)值的月平均增長率 為 ( A.m 11)B.m 12C. 12 m ? 1D. 11 m ? 1答案:D 9.設(shè) f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函數(shù),g(x)=4x ? b 是奇函數(shù),那么 a+b 的值為( 2x)A. 1B.-1C.-1 2D.1 2答案:D 10.某地的中國移動“神州行”卡與中國聯(lián)通130網(wǎng)的收費標(biāo)準(zhǔn)如下表: 網(wǎng)絡(luò) 甲:聯(lián)通130網(wǎng) 乙:移動“神州行”卡 月租費 12元 無 本地話費 每分鐘0.36元 每分鐘0.6元 長途話費 每 6 秒 鐘 0.06 元 每 6 秒 鐘 0.07 元(注:本地話費以分鐘為單位計費,長途話費以6秒鐘為單位計費) 若某人每月?lián)艽虮镜仉娫挄r間是長途電話時間的5倍,且每月通話時間(分鐘)的范圍在區(qū) 間(60,70)內(nèi),則選擇較為省錢的網(wǎng)絡(luò)為 ( ) A.甲 B.乙 C.甲乙均一樣 D.分情況確定 答案:A 填空題: 二、填空題:請把答案填在題中橫線上(每小題 4 分,共 16 分). 11.用集合分別表示下列各圖中的陰影部分: (1) (2) (3) (4)答案:(1)(A∩C)∪(B∩C)(或(A∪B)∩C);(2)(A∩C)∪B(或(A∪B)∩(C∪B)); (3)(A∩CUB)∪(B∩C);(4)A∪(B∩C)。
12.已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x),當(dāng) x>0 時, f ( x) = x + | x | ?1 ,那么 x<0 時, f(x)= . 2 答案: ? x + x + 1 。213.若 f(x)= 答案:a>ax + 1 在區(qū)間(-2,+ ∞ )上是增函數(shù),則 a 的取值范圍是 x+2.1 。
2.14.函數(shù)f(x) = log 3 | 2 x + a | 的圖象的對稱軸方程為x=2,則常數(shù)a= 答案:-4。三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共44分). 解答題:15、 (10 分)設(shè) x1,x2 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-2(m-1)x+m+1=0 的兩個實根,又 y=x21 +x22,求 y=f(m)的解析式及此函數(shù)的定義域.。
答案:y=f(m)=4m2-10m+2(m ≤ 0 或 m ≥ 3) 解析:∵x1,x2 是 x2-2(m-1)x+m+1=0 的兩個實根, ∴ ? =4(m-1)2-4(m+1) ≥ 0,解得 m ≤ 0 或 m ≥ 3。
又∵x1+x2=2(m-1), x1·x2=m+1, ∴y=f(m)=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-10m+2, 即 y=f(m)=4m2-10m+2(m ≤ 0 或 m ≥ 3)。
16、 (10 分)設(shè)函數(shù) f(x)對任意 x,y ∈ R ,都有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,且 x > 0 時,f(x)<0, f(1)=-2. ⑴求證:f(x)是奇函數(shù); ⑵試問在 ? 3 ≤ x ≤ 3 時,f(x)是否有最值?如果有求出最值;如果沒有,說出理由. 答案: (2)函數(shù)最大值為 6,最小值為-6 解析:⑴證明:令 x=y=0,則有 f (0) = 2 f (0) ? f (0) = 0 . 令 y=-x,則有 f (0) = f ( x ) + f ( ? x ) . 即 f ( ? x ) = ? f ( x) ,∴ f (x) 是奇函數(shù).⑵任取 x1 < x 2 ,則 x2 ? x1 > 0. ? f ( x2 ? x1 ) < 0. 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f ( ? x 2 ) = f ( x1 ? x 2 ) = ? f ( x 2 ? x1 ) > 0 .∴ f ( x1 ) < f ( x 2 ) . ∴ y = f (x) 在 R 上為減函數(shù).因此 f (3) 為函數(shù)的最小值, f (?3) 為函數(shù)的最大值. f (3) = f (1) + f ( 2) = 3 f (1) = 6 ,f (?3) = ? f (3) = ?6 , ∴ 函數(shù)最大值為 6,最小值為-6。17、 (12 分)設(shè)函數(shù) f ( x ) = 2 +xa ? 1 (a 為實數(shù)) 2x(1)當(dāng) a=0 時,若函數(shù) y = g ( x ) 的圖象與 f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱,求函數(shù)y = g ( x) 的解析式;(2)當(dāng)a<0時,求關(guān)于x的方程 f ( x ) =0在實數(shù)集R上的解. 答案: (1) g ( x) = 22? x?1;x(2) x = log 21 + 1 ? 4a 2。解析: (1)當(dāng) a=0 時, f ( x ) = 2 ? 1 設(shè) y = g ( x ) 圖像上任意一點 P(x、y) ,則 P 關(guān)于 x=1 的對稱點為 P/(2-x,y) 由題意 P/(2-x,y)在 f ( x ) 圖像上,所以, y = 22 ? x ? 1 ,即 g ( x ) = 22 ? x ? 1 ; (2) f ( x ) = 0 ,即 2 +xa ? 1 = 0 ,整理,得: (2 x ) 2 ? 2 x + a = 0 x 2 1 ? 4a >1所以 2 =x1 ± 1 ? 4a ,又 a<0,所以 2所以 2 =x1 + 1 ? 4a 1 + 1 ? 4a ,從而 x = log 2 2 2。18、 (12 分)設(shè)函數(shù) f ( x ) = log 2x +1 + log 2 ( x ? 1) + log 2 ( p ? x) , x ?1(1)求 f ( x ) 的定義域; (2) f ( x ) 是否存在最大值或最小值?如果存在,請把它求出來;若不存在,請說明理由.。答案: (1,p) (1)( p + 1) 2 (2) f ( x ) 有最大值 log 2 ,但沒有最小值 4?x +1 >0 ? x >1 ? 解析: (1)由 ? x ? 1 得? , ?x ? 1 > 0 ?x < p ?p ? x > 0 ? ?因為函數(shù)的定義域是非空集合,故 p>1,所以 f(x)的定義域為(1,p) 。p ? 1 2 ( p + 1)2 (2)∵ f ( x ) = log 2 [( x + 1)( p ? x )] = log 2 [?( x ? ) + ] 2 4∴當(dāng)p ?1 ≤ 1 ,即 1 < p ≤ 3 時, f ( x) 既無最大值又無最小值; 2 p ?1 p ?1 ( p + 1) 2 < p ,即 p > 3 時,當(dāng) x = 時, f ( x ) 有最大值 log 2 , 2 2 4當(dāng)1 <但沒有最小值. 綜上可知: 1 < p ≤ 3 , f ( x ) 既無最大值又無最小值p > 3 , f ( x) 有最大值 log 2( p + 1) 2 ,但沒有最小值。
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2012 年 3 月 1 日,北京中關(guān)村核心區(qū)中科大廈蓬蓽生輝、喜氣盈人。在大廈禮堂,北銀消費金融公司 與新華教育集團(tuán)隆重簽訂“中國培訓(xùn)--北銀助學(xué)貸款”項目,助學(xué)貸款合作正式啟動。人力資源和社會保 障部副部長孫寶樹、商務(wù)部副部長姜增偉、中國銀監(jiān)會副主席蔡鍔生、人力資源和社會保障部培訓(xùn)協(xié)會會 長畢結(jié)禮等領(lǐng)導(dǎo)見證了現(xiàn)場簽約,《北京晚報》、金融界、中金在線等數(shù)家媒體給予了高度關(guān)注和報道。汪總與北銀常務(wù)副總經(jīng)理宋文昌簽訂協(xié)議簽約儀式現(xiàn)場“中國培訓(xùn)--北銀助學(xué)貸款”項目,是惠及學(xué)生、幫扶貧困學(xué)子圓滿完成學(xué)業(yè)的一項愛心工程,作為中 國銀監(jiān)會獲準(zhǔn)籌建、北京銀行獨資設(shè)立的國內(nèi)首家金融公司、北銀在選擇合作方時注重對方社會口碑及對 國家的貢獻(xiàn)。正是新華教育集團(tuán) 24 年來持續(xù)推動職業(yè)教育改革、創(chuàng)新發(fā)展的模式,50 多萬技能型、應(yīng)用 型人才的脫穎而出,奠定了國內(nèi)教育大品牌的聲譽(yù),也為率先啟動“中國培訓(xùn)--北銀消費金融助學(xué)貸款” 項目創(chuàng)造了條件。簽約活動后,人力資源和社會保障部副部長孫寶樹接見了新華教育集團(tuán)副總經(jīng)理汪俊,并高度肯定了新 華教育集團(tuán)的辦學(xué)模式和“中國培訓(xùn)--北銀助學(xué)貸款”的舉措。人力資源和社會保障部副部長孫寶樹接見新華教育集團(tuán)副總經(jīng)理汪俊新華教育集團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)陪同相關(guān)與會領(lǐng)導(dǎo)參觀北銀
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