下面是范文網(wǎng)小編收集的山東高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)教學(xué)案設(shè)計參考-導(dǎo)數(shù)概念及運算含答案解析，以供參考。

　　第 第 10 講 講 導(dǎo)數(shù)的概念及運算 [考綱解讀] 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 2．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù) y＝c(c 為常數(shù))，y＝x，y＝x 2 ，y＝x 3 ，y＝ 1x ，y＝ x的導(dǎo)數(shù)． 3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． [考向預(yù)測] 從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內(nèi)容．預(yù)測 2021年高考將會涉及導(dǎo)數(shù)的運算及幾何意義．以客觀題的形式考查導(dǎo)數(shù)的定義，求曲線的切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中低檔． 對應(yīng)學(xué)生用書 P042 1.變化率與導(dǎo)數(shù) (1)平均變化率 概念 對于函數(shù) y＝f(x)，□ 01 f?x2 ?－f?x 1 ?x 2 －x 1＝ ΔyΔx 叫做函數(shù) y＝f(x)從 x 1到 x 2 的平均變化率 幾何 意義 函數(shù) y＝f(x)圖象上兩點(x 1 ，f(x 1 ))，(x 2 ，f(x 2 ))連線的□ 02斜率 物理 意義 若函數(shù) y＝f(x)表示變速運動的質(zhì)點的運動方程，則 ΔyΔx 就是該質(zhì)點在[x 1 ，x 2 ]上的□ 03平均速度

　　(2)導(dǎo)數(shù) 定義 一般地，函數(shù) y＝f(x)在 x＝x 0 處的瞬時變化率 limΔx→0 ΔyΔx ＝ limΔx→0 f?x 0 ＋Δx?－f?x 0 ?Δx，稱它為函數(shù) y＝f(x)在□ 04x＝x 0 處的導(dǎo)數(shù)，記為□ 05f′(x 0 )或 y′|x＝x0，即□ 06f′(x 0 )＝ limΔx→0 ΔyΔx ＝ limΔx→0 f?x 0 ＋Δx?－f?x 0 ?Δx 幾何 意義 函數(shù) y＝f(x)在點 x＝x 0 處的導(dǎo)數(shù) f′(x 0 )就是函數(shù)圖象在該點處切線的□ 07斜率．曲線 y＝f(x)在點(x 0 ，f(x 0 ))處的切線方程是□ 08y－f(x 0 )＝f′(x 0 )(x－x 0 ) 續(xù)表 物理 意義 函數(shù) y＝f(x)表示變速運動的質(zhì)點的運動方程，則函數(shù)在 x＝x 0 處的導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)點在 x＝x 0 時的□ 09瞬時速度 2.導(dǎo)數(shù)的運算 常用 導(dǎo)數(shù) 公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 特例或推廣 常數(shù) 函數(shù) C′＝0(C 為常數(shù)) — 冪函數(shù) (x α )′＝αx α－ 1 (α∈Q * ) ??????1x′＝□01－1x 2 三角 函數(shù) (sinx)′＝□ 02cosx， (cosx)′＝□ 03－sinx 偶(奇)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇(偶)函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期函數(shù) 指數(shù) 函數(shù) (a x )′＝□04ax ln_a (a>0，且 a≠1) (e x )′＝□05ex 對數(shù) 函數(shù) (log a x)′＝□ 061xln a (x>0，a>0，且 a≠1) (ln x)′＝□ 07 1x (x>0) 四則 加減 [f(x)±g(x)]′＝ —

　　運算 法則 □ 08f_′(x)±g′(x) 乘法 [f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) [cf(x)]′ ＝cf ′(x) 除法 ?????? f?x?g?x?′＝ f ′?x?g?x?－g′?x?f?x?g 2 ?x? ??????1g?x?′ ＝ －g′?x?g 2 ?x? 1.概念辨析 (1)f′(x 0 )與(f(x 0 ))′表示的意義相同．( ) (2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．( ) (3)曲線 y＝f(x)在點 P(x 0 ，y 0 )處的切線與過點 P(x 0 ，y 0 )的切線相同．( ) (4)函數(shù) f(x)＝sinπ 的導(dǎo)數(shù) f′(x)＝cosπ.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.小題熱身 (1)下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為( ) ①(3 x )′＝3 x log 3 e；②(log 2 x)′＝1x·ln 2 ； ③(x 2 e x )′＝2x＋e x ；④ ? ?????1ln x′＝x. B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 ①中，(3 x )′＝3 x ln 3，錯誤；②中，(log 2 x)′＝1x·ln 2 ，正確；③中，(x2 e x )′＝(x 2 )′e x ＋x 2 (e x )′＝(2x＋x 2 )e x ，錯誤；④中，??????1ln x′＝0·ln x－ 1x?ln x? 2＝－1x?ln x? 2 ，錯誤，因此求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為 1. (2)有一機器人的運動方程為 s＝t 2 ＋ 3t (t 是時間，s 是位移)，則該機器人在時刻 t＝2 時的瞬時速度為( )

　　A. 194 B. 174 C. 154 D. 134 答案 D 解析 s′＝ ? ?????t 2 ＋ 3t′＝2t－ 3t 2 ，當(dāng) t＝2 時，s′＝2×2－32 2 ＝134，所以該機器人在 t＝2 時的瞬時速度為 134. (3)函數(shù) f(x)＝x 3 ＋4x＋5 的圖象在 x＝1 處的切線在 x 軸上的截距為( ) B．5 C．－1 D．－ 37 答案 D 解析 ∵f(x)＝x 3 ＋4x＋5， ∴f′(x)＝3x 2 ＋4， ∴f′(1)＝7，即切線的斜率為 7， 又 f(1)＝10，故切點坐標(biāo)為(1,10)， ∴切線的方程為 y－10＝7(x－1)， 當(dāng) y＝0 時，x＝－ 37 ，切線在 x 軸上的截距為－37 . (4)已知直線 y＝－x＋1 是函數(shù) f(x)＝－ 1a ·ex 圖象的切線，則實數(shù) a＝________. 答案 e 2 解析 設(shè)切點為(x 0 ，y 0 )，則 f′(x 0 )＝－ 1a ·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－1a ·ex0＝－x 0 ＋1，∴x 0 ＝2，a＝e 2 . 對應(yīng)學(xué)生用書 P043 題型 一 導(dǎo)數(shù)的運算

　　1.(2019·華中師范大學(xué)第一附中模擬)設(shè)函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)為 f′(x)，且 f(x)＝x 3＋ ? ?????f′ ? ?????23x 2 －x，則 f′(1)＝________. 答案 0 解析 因為 f(x)＝x 3 ＋ ? ?????f′ ? ?????23x 2 －x， 所以 f′(x)＝3x 2 ＋2 ? ?????f′ ? ?????23x－1. 所以 f′ ? ?????23＝3× ? ?????232 ＋2 ??????f′ ? ?????23× 23 －1. 解得 f′ ? ?????23＝－1. 所以 f′(x)＝3x 2 －2x－1，所以 f′(1)＝0. 2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

　　(1)y＝(2x 2 －1)(3x＋1)； (2)y＝x－sin x2 cosx2 ； (3)y＝e x cosx； (4)y＝ ln xx 2. 解 (1)因為 y＝(2x 2 －1)(3x＋1)＝6x 3 ＋2x 2 －3x－1， 所以 y′＝18x 2 ＋4x－3. (2)因為 y＝x－sin x2 cosx2 ， 所以 y＝x－ 12 sinx， 所以 y′＝1－ 12 cosx. (3)y′＝(e x cosx)′＝(e x )′cosx＋e x (cosx)′ ＝e x cosx－e x sinx＝e x (cosx－sinx)． (4)y′＝ ?ln x?′x2 －ln x?x 2 ?′?x 2 ? 2＝1x ·x2 －ln x·2xx 4＝ 1－2ln xx 3.

　　1.謹(jǐn)記一個原則 先化簡解析式，使之變成能用求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商，再求導(dǎo). 2.熟記求導(dǎo)函數(shù)的五種形式及解法 (1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)，如舉例說明 2(1)． (2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)； (3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)； (4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)； (5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)．如舉例說明 2(2). 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

　　(1)y＝ln x＋ 1x ；(2)y＝sinxx； (3)y＝x 2 cosx. 解 (1)y′＝ ? ?????ln x＋ 1x′＝(ln x)′＋ ? ?????1x′＝ 1x －1x 2 . (2)y′＝ ? ?????sinxx′＝ ?sinx?′x－sinx·x′x 2＝ xcosx－sinxx 2. (3)y′＝(x 2 )′cosx＋x 2 (cosx)′＝2xcosx＋x 2 (－sinx)＝2xcosx－x 2 sinx. 題型 二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 角度 1 求切線方程 1.過點(1，－2)且與 y＝x 3 －3x 相切的直線方程為( ) ＝－2 或 9x＋4y－1＝0 ＝－2 ＋4y＋1＝0 ＝0 或 9x＋4y＋1＝0 答案 A 解析 y′＝3x 2 －3，設(shè)切點坐標(biāo)為(x 0 ，x 3 0 －3x 0 )，此時在切點處的斜率為 y′x

　?。絰0＝3x 2 0 －3，所以切線方程為 y－(x 3 0 －3x 0 )＝(3x 2 0 －3)(x－x 0 )，將點(1，－2)代入切線方程，整理得 2x 3 0 －3x 2 0 ＋1＝0，即(x 0 －1) 2 (2x 0 ＋1)＝0，解得 x 0 ＝1或 x 0 ＝－ 12 ，分別代入切線方程可得 y＝－2 或 9x＋4y－1＝0. 2.(2019·全國卷Ⅰ)曲線 y＝3(x 2 ＋x)e x 在點(0,0)處的切線方程為________． 答案 y＝3x 解析 y′＝3(2x＋1)e x ＋3(x 2 ＋x)e x ＝e x (3x 2 ＋9x＋3)，∴斜率 k＝e 0 ×3＝3，∴切線方程為 y＝3x. 角度 2 求切點坐標(biāo) 3.(2019·廣州模擬)設(shè)函數(shù) f(x)＝x 3 ＋ax 2 ，若曲線 y＝f(x)在點 P(x 0 ，f(x 0 ))處的切線方程為 x＋y＝0，則點 P 的坐標(biāo)為( ) A.(0,0) B．(1，－1) C.(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1) 答案 D 解析 f′(x)＝(x 3 ＋ax 2 )′＝3x 2 ＋2ax， 由題意得 f′(x 0 )＝－1，x 0 ＋f(x 0 )＝0， 所以 ? ?? 3x 2 0 ＋2ax 0 ＝－1， ①x 0 ＋x 3 0 ＋ax 2 0 ＝0， ② 由①知 x 0 ≠0，故②可化為 1＋x 2 0 ＋ax 0 ＝0，所以 ax 0 ＝－1－x 2 0 代入①得 3x 2 0 ＋2(－1－x 2 0 )＝－1，即 x 2 0 ＝1， 解得 x 0 ＝±1. 當(dāng) x 0 ＝1 時，a＝－2，f(x 0 )＝x 3 0 ＋ax 2 0 ＝－1； 當(dāng) x 0 ＝－1 時，a＝2，f(x 0 )＝x 3 0 ＋ax 2 0 ＝1， 所以點 P 的坐標(biāo)為(1，－1)或(－1,1). 角度 3 求參數(shù)的值(范圍) 4.(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線 y＝ae x ＋xln x 在點(1，ae)處的切線方程為 y＝2x＋b，則( ) ＝e，b＝－1 B．a(chǎn)＝e，b＝1 ＝e－ 1 ，b＝1 D．a(chǎn)＝e－ 1 ，b＝－1 答案 D

　　解析 y′＝ae x ＋ln x＋1，k＝y(tǒng)′| x ＝ 1 ＝ae＋1， ∴切線方程為 y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即 y＝(ae＋1)x－1. 又∵切線方程為 y＝2x＋b， ∴ ? ?? ae＋1＝2，b＝－1，即 a＝e－ 1 ，b＝－1.故選 D. 5.若曲線 y＝f(x)＝ln x＋ax 2 (a 為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) A. ? ?????－ 12 ，＋∞ B. ? ?????－ 12 ，＋∞ C.(0，＋∞) D．[0，＋∞) 答案 D 解析 f′(x)＝ 1x ＋2ax＝2ax 2 ＋1x(x>0)，根據(jù)題意有 f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以 2ax 2 ＋1≥0(x>0)恒成立，即 2a≥－1x 2 (x>0)恒成立，所以 a≥0，故實數(shù) a的取值范圍為[0，＋∞). 求切線方程問題的兩種類型及方法 (1)求“在”曲線 y＝f(x)上一點 P(x 0 ，y 0 )處的切線方程：點 P(x 0 ，y 0 )為切點，切線斜率為k＝f′(x 0 )，有唯一的一條切線，對應(yīng)的切線方程為y－y 0 ＝f′(x 0 )(x－x 0 )．如舉例說明 2. (2)求“過”曲線 y＝f(x)上一點 P(x 0 ，y 0 )的切線方程：切線經(jīng)過點 P，點 P 可能是切點，也可能不是切點，這樣的直線可能有多條．如舉例說明 1，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用“待定切點法”，即：

　?、僭O(shè)切點 A(x 1 ，y 1 )，則以 A 為切點的切線方程為 y－y 1 ＝f′(x 1 )(x－x 1 )； ②根據(jù)題意知點 P(x 0 ，y 0 )在切線上，點 A(x 1 ，y 1 )在曲線 y＝f(x)上，得到方程組 ? ?? y 1 ＝f?x 1 ?，y 0 －y 1 ＝f′?x 1 ??x 0 －x 1 ?，求出切點 A(x 1 ，y 1 )，代入方程 y－y 1 ＝f′(x 1 )(x－x 1 )，化簡即得所求的切線方程．

　　1.若直線 y＝ax 是曲線 y＝2ln x＋1 的一條切線，則實數(shù) a＝( ) － 12 B．2e－ 12 C．e 12 D．2e 12 答案 B 解析 依題意，設(shè)直線 y＝ax 與曲線 y＝2ln x＋1 的切線的橫坐標(biāo)為 x 0 ，則有y′|x＝x0＝2x 0 ，于是有 ????? a＝2x 0 ，ax 0 ＝2ln x 0 ＋1，解得 x 0 ＝ e，則 a＝2x 0 ＝2e－12 ，故選 B. 2.(2019·長沙模擬)已知 f(x)是奇函數(shù)，當(dāng) x＞0 時，f(x)＝－xx－2 ，則曲線 f(x)在 x＝－1 處的切線方程是( ) －y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0 －y－1＝0 D．x＋2y－2＝0 答案 A 解析 當(dāng) x＜0 時，－x＞0，所以 f(－x)＝－xx＋2 .因為 f(x)是奇函數(shù)，所以 f(x)＝xx＋2 (x＜0)．所以 f′(x)＝2?x＋2? 2 ，所以曲線 f(x)在 x＝－1 處的切線的斜率k＝f′(－1)＝2.切點為(－1，－1)，所以曲線 f(x)在 x＝－1 處的切線方程為 y＋1＝2(x＋1)，即 2x－y＋1＝0. 3.已知直線 l 為曲線 y＝ a＋ln xx在點(1，a)處的切線，當(dāng)直線 l 與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 12 時，實數(shù) a 的值為________． 答案 0 或 34 解析 因為 y′＝ 1－a－ln xx 2，所以切線 l 的斜率為 1－a，則切線 l 的方程為y－a＝(1－a)(x－1)， 令 x＝0 得 y＝2a－1.

　　令 y＝0 得 x＝ 2a－1a－1. 所以直線 l 與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 12 |2a－1|·?????? 2a－1a－1＝ 12 ，即|2a－1|2 ＝|a－1|. 則 4a 2 －4a＋1＝1－a ①或 4a 2 －4a＋1＝a－1 ②， 由方程①解得 a＝0 或 a＝ 34 ，方程②無解． 所以 a＝0 或 a＝ 34 . 對應(yīng)學(xué)生用書 P232 組 基礎(chǔ)關(guān) 1.設(shè) f(x)＝x(2019＋ln x)，若 f′(x 0 )＝2020，則 x 0 等于( ) 2 B．1 C．ln 2 D．e 答案 B 解析 f′(x)＝2019＋ln x＋1＝2020＋ln x，由 f′(x 0 )＝2020，得 2020＋ln x 0＝2020，則 ln x 0 ＝0，解得 x 0 ＝1. 2.(2020·寧夏中衛(wèi)月考)函數(shù) y＝f(x)的圖象在點 P(5，f(5))處的切線方程是 y＝－x＋8，則 f(5)＋f′(5)＝( ) B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 由條件知 f′(5)＝－1，又在點 P 處的切線方程為 y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即 y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2. 3.若點 P 是曲線 y＝x 2 －ln x 上任意一點，則點 P 到直線 y＝x－2 的最小距離

　　為( ) B. 2 D. 3 答案 B 解析 設(shè) P(x 0 ，y 0 )，當(dāng)點 P 處的切線與直線 y＝x－2 平行時，點 P 到直線 y＝x－2 的距離最小．又 y′＝2x－ 1x ，則 y′x＝x0＝2x 0 －1x 0 ＝1，解得 x 0 ＝1或 x 0 ＝－ 12 (舍去)，則 y 0 ＝1，即 P(1,1)，所以最小距離為|1－1－2|1 2 ＋?－1? 2 ＝ 2. 4．已知函數(shù) f(x)的圖象如圖，f′(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是( )

　　所以 2(－e)＋e＋a＝0，解得 a＝e.所以 f(1)＝a＝e. 6.(2019·青島模擬)已知 f 1 (x)＝sinx＋cosx，f n ＋ 1 (x)是 f n (x)的導(dǎo)函數(shù)，即 f 2 (x)＝f 1 ′(x)，f 3 (x)＝f 2 ′(x)，…，f n ＋ 1 (x)＝f n ′(x)，n∈N * ，則 f 2022 (x)＝( ) A.－sinx－cosx B．sinx－cosx C.－sinx＋cosx D．sinx＋cosx 答案 C 解析 ∵f 1 (x)＝sinx＋cosx，∴f 2 (x)＝f 1 ′(x)＝cosx－sinx，∴f 3 (x)＝f 2 ′(x)＝－sinx－cosx，∴f 4 (x)＝f 3 ′(x)＝－cosx＋sinx，∴f 5 (x)＝f 4 ′(x)＝sinx＋cosx，∴f n (x)是以 4 為周期的函數(shù)，∴f 2022 (x)＝f 2 (x)＝cosx－sinx. 7.若曲線 y＝ x的一條切線經(jīng)過點(8,3)，則此切線的斜率為( ) A. 14 B. 12 C. 14 或18 D. 12 或14 答案 C 解析 由題意，可設(shè)切點坐標(biāo)為(x 0 ， x 0 )，由 y＝ x＝x 12 ，得 y′＝12 x ，切線斜率 k＝12 x 0 ，由點斜式可得切線方程為 y－ x0 ＝12 x 0 (x－x0 )，又切線過點(8,3)，所以 3－ x 0 ＝12 x 0 (8－x0 )，整理得 x 0 －6 x 0 ＋8＝0，解得 x 0 ＝4 或2，所以切線斜率 k＝ 14 或18 .故選 C. 8.曲線 y＝xx－2 在點(1，－1)處的切線方程為________． 答案 y＝－2x＋1 解析 由題意可得，y′＝－2?x－2? 2 ，則曲線在點(1，－1)處的切線斜率為－2，所以所求的切線方程為 y＝－2x＋1. 9.已知函數(shù) f(x)＝a x ln x，x∈(0，＋∞)，其中 a>0 且 a≠1，f′(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若 f′(1)＝3，則 a 的值為________． 答案 3

　　解析 因為 f(x)＝a x ln x，所以 f′(x)＝ln a·a x ln x＋ axx.又 f′(1)＝3，所以 a＝3. 10.已知 y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線 y＝kx＋2 是曲線 y＝f(x)在 x＝3 處的切線，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則 g′(3)＝________. 答案 0 解析 由題圖可知曲線 y＝f(x)在 x＝3 處切線的斜率等于－ 13 ，∴f′(3)＝－13 . ∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 又由題圖可知 f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3× ? ?????－ 13＝0. 組 能力關(guān) 1.已知函數(shù) f(x)＝4e x ＋1 ＋x3 ＋sinx，其導(dǎo)函數(shù)為 f′(x)，則 f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值為( ) B．4 C．2 D．0 答案 B 解析 函數(shù) f(x)＝4e x ＋1 ＋x3 ＋sinx?f(x)＋f(－x)＝4e x ＋1 ＋4e xe x ＋1 ＝4，因為 f′(x)＝－4e x?e x ＋1? 2 ＋3x2 ＋cosx 為偶函數(shù)，所以 f′(x)－f′(－x)＝0，所以 f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4. 2.(2019·蚌埠模擬)已知函數(shù) f(x)＝x＋a2x ，若曲線 y＝f(x)存在兩條過點(1,0)的切線，則 a 的取值范圍是( ) A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

　　答案 D 解析 f′(x)＝1－a2x 2 ，設(shè)切點坐標(biāo)為 ??????x 0 ，x 0 ＋a2x 0，則切線方程為 y－x 0 －a2x 0＝ ? ?????1－a2x 2 0(x－x 0 )，又切線過點(1,0)，可得－x 0 －a2x 0 ＝ ??????1－a2x 2 0(1－x 0 )，整理得 2x 2 0 ＋2ax 0 －a＝0，曲線存在兩條切線，故方程有兩個不等實根，即滿足 Δ＝4a 2 －8(－a)＞0，解得 a＞0 或 a＜－2. 3.設(shè)函數(shù) f(x)＝ax－ bx ，曲線 y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)證明：曲線 y＝f(x)上任一點處的切線與直線 x＝0 和直線 y＝x 所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． 解 (1)方程 7x－4y－12＝0 可化為 y＝ 74 x－3. 當(dāng) x＝2 時，y＝ 12 .又 f′(x)＝a＋bx 2 ， 于是????? 2a－ b2 ＝12 ，a＋ b4 ＝74 ，解得 ? ?? a＝1，b＝3.故 f(x)＝x－ 3x . (2)設(shè) P(x 0 ，y 0 )為曲線上任一點，由 y′＝1＋3x 2 ， 知曲線在點 P(x 0 ，y 0 )處的切線方程為 y－y 0 ＝ ? ?????1＋3x 2 0(x－x 0 )， 即 y－ ? ?????x 0 －3x 0＝ ? ?????1＋3x 2 0(x－x 0 )． 令 x＝0，得 y＝－6x 0 ， 從而得切線與直線 x＝0 的交點坐標(biāo)為 ? ?????0，－6x 0. 令 y＝x，得 y＝x＝2x 0 ， 從而得切線與直線 y＝x 的交點坐標(biāo)為(2x 0, 2x 0 )． 所以點 P(x 0 ，y 0 )處的切線與直線 x＝0，y＝x 所圍成的三角形的面積為 S＝ 12

　　??????－6x 0|2x 0 |＝6. 故曲線 y＝f(x)上任一點處的切線與直線 x＝0，y＝x 所圍成的三角形的面積為定值，且此定值為 6. 4.已知函數(shù) f(x)＝x 3 ＋x－16. (1)求曲線 y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程； (2)直線 l 為曲線 y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線 l 的方程及切點坐標(biāo)． 解 (1)可判定點(2，－6)在曲線 y＝f(x)上． 因為 f′(x)＝(x 3 ＋x－16)′＝3x 2 ＋1， 所以 f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為 f′(2)＝13. 所以切線方程為 y＋6＝13(x－2)，即 y＝13x－32. (2)設(shè)切點坐標(biāo)為(x 0 ，y 0 )， 則直線 l 的斜率 k 為 f′(x 0 )＝3x 2 0 ＋1， y 0 ＝x 3 0 ＋x 0 －16， 所以直線 l 的方程為 y＝(3x 2 0 ＋1)(x－x 0 )＋x 3 0 ＋x 0 －16. 又因為直線 l 過原點(0,0)， 所以 0＝(3x 2 0 ＋1)(－x 0 )＋x 3 0 ＋x 0 －16， 整理得，x 3 0 ＝－8，所以 x 0 ＝－2， 所以 y 0 ＝(－2) 3 ＋(－2)－16＝－26， 得切點坐標(biāo)為(－2，－26)，k＝3×(－2) 2 ＋1＝13. 所以直線 l 的方程為 y＝13x，切點坐標(biāo)為(－2，－26).

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