下面是范文網(wǎng)小編整理的證明菱形共5篇 菱形的幾種證明方法,歡迎參閱。
證明菱形共1
11、平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= 根號5,對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F.(1) 證明:當旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形。
(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等。
(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由
1、平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= 根號5,對角線AC,BD相交于點O,將直
線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F.
(1) 證明:當旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形。
(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等。
(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由
并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)地度數(shù)。
如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=5.對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F(xiàn).
(1)證明:當旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).
分析:(1)當旋轉(zhuǎn)角為90°時,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可證明四邊形ABEF為平行四邊形;
(2)證明△AOF≌△COE即可;
(3)EF⊥BD時,四邊形BEDF為菱形,可根據(jù)勾股定理求得AC=2,∴OA=1=AB,又AB
⊥AC,∴∠AOB=45°.
證明:(1)當∠AOF=90°時,AB∥EF,
又∵AF∥BE,
∴四邊形ABEF為平行四邊形.
(2)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE. ∴△AOF≌△COE.
∴AF=EC.
(3)四邊形BEDF可以是菱形.
理由:如圖,連接BF,
DE
由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,
∴EF與BD互相平分.
∴當EF⊥BD時,四邊形BEDF為菱形.
在Rt△ABC中,AC=
, ∴OA=1=AB,又AB⊥AC,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOF=45°,
∴AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°時,四邊形BEDF為菱形.
證明菱形共2
絕密★啟用前
樂學教育菱形證明專題訓練
1.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,E,F為對角線AC上兩點,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求證:四邊形ABCD為菱形.【答案】∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF.
∵DF∥BE, ∴∠BEF=∠DFE, ∴∠AEB=∠CFD.
又∵AE=CF, ∴△AEB≌∠CFD, ∴AB=CD.
∵AB∥CD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵AC平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAF.
又∠BAE=∠DCF, ∴∠DAF=∠DCF, ∴AD=CD, ∴四邊形ABCD是菱形.
2.如圖,矩形ABCD中,點O為AC的中點,過點O的直線分別與AB,CD交于點E,F(xiàn),連接BF交AC于點M,連接DE,BO.若∠COB=60°,F(xiàn)O=FC.
求證:
(1)四邊形EBFD是菱形;
【答案】連接OD.∵點O為矩形ABCD的對角線AC的中點,
∴B,D, O三點共線且BD=DO=CO=AO. 在矩形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,∴∠FCO=∠EAO. 在△CFO和△AEO中,
∴△CFO≌△AEO,∴FO=EO. 又∵BO=DO,∴四邊形BEFD是平行四邊形. ∵BO=CO,∠COB=60°,
∴△COB是等邊三角形.∴∠OCB=60°.
∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.
∵FO=FC,∴∠FOC=∠FCO=30°.
∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.
∴EF⊥BD.∴平行四邊形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC,∴點B在線段OC的垂直平分線上.
∵FO=FC,∴點F在線段OC的垂直平分線上.
∴BF是線段OC的垂直平分線.
∴∠FMO=∠OMB=90°.
∴∠OBM=30°.∴OF=BF.
∵∠FOC=30°,∴FM=OF.
∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.
即FO=EO,∴BM∶OE=3∶2.
3.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC邊上的中線,過點C作CE⊥BD于點E,過點A作BD的平行線,交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG,DF.求證:四邊形BGFD是菱形.
【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四邊形BGFD是平行四邊形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,點D是AC的中點,∴BD=DF=AC,
∴平行四邊形BGFD是菱形.
4.如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,DE∥AC,CE∥BD,連接OE. 求證:OE=BC.
【答案】∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四邊形OCED是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OB=OD, ∴∠BOC=∠COD=90°,
∴四邊形OCED是矩形, ∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,
∴BC=,OE=,
∵DE=OC. ∴OE=BC.
5.[2015·蘭州中考,25] (9分)如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求證:AD=BC;
【答案】作BM∥AC,BM交DC的延長線于點M,則∠ACD=∠BMD.
1分
∵AB∥CD,BM∥AC, ∴四邊形ABMC為平行四邊形.
2分
∴AC=BM.
∵BD=AC,∴BM=BD.
∴∠BDM=∠BMD.
∴∠BDC=∠ACD.
在△BDC和△ACD中,
∴△BDC≌△ACD.
4分
∴BC=AD.
5分
(2)若E,F,G,H分別是AB,CD,AC,BD的中點.求證:線段EF與線段GH互相垂直平分.【答案】連接EG,GF,FH,HE.
6分
∵E,H為AB,BD的中點,∴EH=AD.
同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.
∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.
8分
∴四邊形EGFH為菱形, ∴EF與GH互相垂直平分.
9分
6.[2015·長春中考,18] (7分)如圖,CE是△ABC外角∠ACD的平分線,AF∥CD交CE于點F,FG∥AC交CD于點G,求證:四邊形ACGF是菱形.
【答案】因為AF∥CD,FG∥AC, 所以四邊形ACGF是平行四邊形①,
又因為∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC, 所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,
由①②得四邊形ACGF是菱形.
7.[2010·上海中考,23]已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD(如圖所示),∠BAD的平分線AE交BC于點E,連結(jié)DE.
(1)在圖中,用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE(保留作圖痕跡,不寫作法),并證明四邊形ABED是菱形; 【答案】
∵∠BAE=∠DAE, ∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,AB=BE=AD,
AD∥BE,∴四邊形ABED的平行四邊形,又AB=AD, ∴四邊形ABED為菱形
(2)∠ABC=60°,EC=2BE,求證:ED⊥DC.【答案】過D作DF∥AE,則DF=CF=1,
∴∠C=30°,而∠DEC=60°,
∴∠EDC=90°,∴ED⊥DC.
8.[2010·沈陽中考,19]如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD相交于O,點E,F(xiàn)分別為邊AB,AD的中點,連接EF,OE,OF,求證:四邊形AEOF是菱形.
【答案】∵點E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點
∴AE=AB,AF=AD(2分)
又∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴AE=AF(4分) 又∵菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O
∴O為BD的中點
∴OE,OF是△ABD的中位線(6分) ∴OE∥AD,OF∥AB
∴四邊形AEOF是平行四邊形(8分) ∵AE=AF
∴四邊形AEOF是菱形(10分)
9. [2010·安徽中考,20]如圖,AD∥FE,點B,C在AD上,∠1=∠2,BF=BC.
(1)求證:四邊形BCEF是菱形; 【答案】∵AD∥FE,∴∠FEB=∠2.
∵∠1=∠2,∴∠FEB=∠1.
∴BF=EF
∵BF=BC,∴BC=EF. ∴四邊形BCEF是平行四邊形
∵BF=BC,
∴四邊形BCEF是菱形(5分)
(2)若AB=BC=CD,求證:△ACF≌△BDE.【答案】∵EF=BC,AB=BC=CD,AD∥FE,
∴四邊形ABEF、四邊形CDEF均為平行四邊形,∴AF=BE,F(xiàn)C=ED.(8分) 又∵AC=2BC=BD,(9分) ∴△ACF≌△BDE.(10分)
10.[2013·長沙中考,24]如圖,在?ABCD中,M,N分別是AD,BC的中點,∠AND=90°,連接CM交DN于點O.
(1)求證:△ABN≌△CDM;
【答案】∵∠ABN=∠CDM,AB=CD,
BN=BC=AD=DM,
∴△ABN≌△CDM(SAS).
(2)過點C作CE⊥MN于點E,交DN于點P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的長.
【答案】∵M,O分別為AD,ND的中點,
∴AN∥MO且AN=2MO,
∴∠MOD=∠AND=90°,即平行四邊形CDMN是菱形,
在Rt△MOD與Rt△NEC中,
∵∠1=∠2,MD=NC,∴Rt△MOD≌Rt△NEC,
∴MO=NE. 根據(jù)菱形的性質(zhì)可知,∠MND=∠CND,∠1=∠CND,所以∠MND=∠CND=∠2=30°,所以在Rt△ENP中NE=PE÷tan30°=,
即AN=2.
11.如圖,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于點H,∠B的平分線交AC于點D,交AH于點E,DF⊥BC于點F,求證:四邊形AEFD是菱形.
【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,
∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.
又∠ABE=∠FBE,BE=BE, ∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE=∠BFE.
又∠BAE=90°-∠ABC=∠C, ∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.
∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
又AD=DF,∴四邊形AEFD是菱形.12.[2012·南寧中考,25]如圖,已知矩形紙片ABCD,AD=2,AB=4,將紙片折疊,使頂點A與邊CD上的點E重合,折痕FG分別與AB,CD交于點G,F,AE與FG交于點O.
圖1圖2
(1)如圖1,求證:A,G,E,F四點圍成的四邊形是菱形; 【答案】證法一:
證明:在矩形ABCD中,CD∥AB
∴∠1=∠3(1分) 由折疊可知:AG=EG,∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴EF=EG(2分) ∴EF=AG
∴四邊形AGEF是菱形(3分) 證法二:
證明:連接AF,由折疊可知
OA=OE,AG=EG(1分) 在矩形ABCD中,AB∥CD
∴∠AEF=∠EAG
∵∠AOG=∠EOF
∴△AOG≌△EOF(ASA)(2分) ∴AG=EF
∴四邊形AGEF是菱形(3分)
(2)如圖2,當△AED的外接圓與BC相切于點N時,求證,點N是線段BC的中點; 【答案】證明:連接ON,O是Rt△ADE外接圓圓心.
∵⊙O與BC相切于點N
∴ON⊥BC(4分) 在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC
∴CD∥ON∥AB
∴=(5分)
∵OA=OE ∴CN=NB
即N為BC的中點(6分)
(3)如圖2,在第2問的條件下,求折痕FG的長.【答案】解法一:
過點O作OM⊥AB于點M,則四邊形OMBN是矩形
設(shè)⊙O半徑為x,則OA=OE=ON=x(7分) ∵AB=4,AD=2 ∴AM=4-x
由第2問得,NB=OM=1 在Rt△AOM中,OA=AM+OM
∴x=(4-x)+1 ∴x=(8分)
2AM=4-=
∵∠FEO=∠OAM
又∵∠FOE=∠OMA=90° ∴Rt△EFO∽Rt△AOM
∴= ∴=(9分) ∴OF= ∴FG=2OF=(10分) 解法二:
延長NO交AD于點M
∴四邊形ABNM是矩形 ∴AM=BN=AD=1 ∵O為Rt△ADE外接圓圓心 ∴OA=OE=ON
設(shè)ON為x,則OM=4-x(7分) 22
2 在Rt△AMO中,AM+OM=OA 即1+(4-x)=x x=(8分) 222∴OM=4-=
∵FG⊥AE,MN∥DC ∴∠FEO=∠MOA ∠AMO=∠EOF=90° ∴△EOF∽△OMA ∴= ∴=(9分) ∴OF= FG=2OF=(10分)
13.[2013·葫蘆島中考,20] (本小題滿分8分) 如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于點E.
(1)求證:△ABD≌△EBD; 【答案】如圖,
∵AD∥BC, ∴∠1=∠DBC.
∵BC=DC,∠2=∠DBC.
∴∠1=∠2.
2分
又∵∠BAD=∠BED=90°,
BD=BD,∴△ABD≌△EBD.
4分
(2)過點E作EF∥DA,交BD于點F,連接AF.求證:四邊形AFED是菱形.【答案】由第1問得,AD=ED,∠1=∠2.
∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.
∴EF=ED.
5分
∴EF=AD.
6分
∴四邊形AFED是平行四邊形.
又∵AD=ED.
∴四邊形AFED是菱形.
8分
14.[2013·貴陽中考,20] 已知:如圖,在菱形ABCD中,F(xiàn)為BC上的任意一點,連接AF交對角線BD于點E,連接EC.
(1)求證:AE=EC;
【答案】
證明:連接AC. ∵BD是菱形ABCD的對角線,
∴BD垂直平分AC. ∴AE=EC.
(2)當∠ABC=60°,∠CEF=60°時,點F在線段BC上的什么位置?說明理由.【答案】點F是線段BC的中點. 理由:∵菱形ABCD中,AB=BC,
又∵∠ABC=60°.
∴△ABC是等邊三角形,∠BAC=60°.
∵AE=EC,∠CEF=60°,∴∠EAC=30°.
∴AF是△ABC的角平分線. ∵AF交BC于點F,
∴AF是△ABC的BC邊上的中線. ∴點F是線段BC的中點.15.[2012·上海中考,23]已知:如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,∠BAF=∠DAE,AE與BD交于點G.
(1)求證:BE=DF;
【答案】∵四邊形ABCD為菱形, ∴AB=AD=BC=CD, ∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB, ∠ABE=∠ADF
∵∠BAF=∠DAE, 且∠BAF=∠BAE+∠EAF, ∠DAE=∠DAF+∠EAF
∴∠BAE=∠DAF. ∴△ABE≌△ADF(ASA). ∴BE=DF.
(2)當=時,求證:四邊形BEFG是平行四邊形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC, ∴∠DAE=∠BEA,∠ADB=∠EBD. ∴△AGD∽△EGB. ∴=.
又∵=,BE=DF,
∴===
∴GF∥BE. ∴∠DGF=∠DBC. ∵∠DBC=∠CDB, ∴∠DGF=∠GDF, ∴GF=DF, ∴BE=GF. ∴BEGF,
∴四邊形BEFG是平行四邊形.
16.[2013·烏魯木齊中考,19]如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分別與BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,連接FH.求證:四邊形CFHE是菱形.
【答案】∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠EAH,而∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠EAH=90°,又∠APD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF,∴CF=CE.又∵AE平分∠BAC,∠ACB=90°.EH⊥AB,∴CE=EH, ∴CF=EH=CE,∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH, ∴四邊形CFHE是菱形.
17.如圖所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于點E,CF⊥AD于點F,求證:AE=AF.
【答案】證法1:如圖所示,連接AC,
∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.
在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(AAS),∴AE=AF.
證法2:∵四邊形ABCD是菱形, ∴BC=DC=AD=AB,∠B=∠D.
又∵在△BCE和△DCF中,∠BEC=∠DFC=90°,
∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AE=AF.
18.[2013·南寧中考,23]如圖,在菱形ABCD中,AC是對角線,點E,F(xiàn)分別是邊BC,AD的中點.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
【答案】在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA(或AB=CD,BC=DA). ∠B=∠D. ∵點E,F(xiàn)分別是邊BC,AD的中點,
∴BE=DF. ∴△ABE≌△CDF.
(2)若∠B=60°,AB=4,求線段AE的長.【答案】解法一:∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形. ∵點E是BC邊的中點. ∴AE⊥BC. 在Rt△ABE中,sinB=.
∴AE=AB·sinB=4×=.
解法二:∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形. ∵點E是BC邊的中點,∴AE⊥BC. ∴∠BAE=30°.
在Rt△ABE中,BE=AB=2.
∴AE===.
19.[2012·溫州中考,19](本題8分) 如圖,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,將△ABC沿射線BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的對應(yīng)點分別是D,E,F,連接AD.求證:四邊形ACFD是菱形.
【答案】法一:∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm. ∴AC=10cm. 由平移變換的性質(zhì)得CF=AD=10cm,DF=AC, ∴AD=CF=AC=DF, ∴四邊形ACFD是菱形. 法二:由平移變換的性質(zhì)得AD∥CF, AD=CF=10cm, ∴四邊形ACFD是平行四邊形, ∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, ∴AC=10cm, ∴AC=CF, ∴?ACFD是菱形.
20.[2011?蘭州中考,27](本小題滿分12分) 已知:如圖17所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F.分別連接AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
【答案】由題意可知OA=OC,EF⊥AO.
∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又AE∥CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形(2分)
∵AC⊥EF,∴四邊形AECF是菱形.(4分)
(2)若AE=10 cm,△ABF的面積為24 cm,求△ABF的周長; 【答案】∵四邊形AECF是菱形,
∴AF=AE=10 cm.
設(shè)AB=a,BF=b,
∵△ABF的面積為24 cma+b=100,ab=48(6分)
(a+b)=196,a+b=14或a+b=-14(不合題意,舍去)(7分)
△ABF的周長為a+b+10=24 cm(8分) 2
2,
2
2
2(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE=ACAP?若存在,請說明點P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由.
【答案】存在,過點E作AD的垂線,交AC于點P,點P就是符合條件的點(9分)
證明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAO=∠EAP,
∴△AOE∽△AEP,∴=,
∴AE=AOAP(11分)
∵四邊形AECF是菱形,
∴AO=AC,∴AE=ACAP,
∴2AE=ACAP.(12分) 222
221.[2013·營口中考,19]如圖 ,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC一個外角的平分線,且∠BAC=∠ACD.
(1)求證:△ABC≌△CDA;
【答案】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB
又∵∠FAC是△ABC的一個外角, ∴∠FAC=∠B+∠ACB
∴∠FAC=2∠ACB
2分
又∵AD是∠FAC的角平分線,∴∠FAC=2∠CAD, ∴∠ACB=∠CAD
3分
又∵AC=CA,∠BAC=∠DCA
∴△ABC≌△CDA
4分
(2)若∠ACB=60°,求證:四邊形ABCD是菱形.【答案】∵∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD
5分
又∵∠ACB=∠CAD, ∴AD∥BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
6分
∵AB=AC,∠ACB=60°,
∴等腰三角形ABC是等邊三角形.
7分
∴AB=BC.
∴四邊形ABCD是菱形.
8分
22.[2011?寧波中考,23](本小題滿分8分) 如圖13,在ABCD中,E,F分別為邊AB,CD的中點,BD是對角線,過A點作AG∥DB交CB的延長線于點G.
(1)求證:DE∥BF;
【答案】在ABCD中,AB∥CD,AB=CD
∵E,F分別為邊AB,CD的中點
∴DF=DC,BE=AB
∴DF∥BE,DF=BE(2分) ∴四邊形DEBF為平行四邊形(3分) ∴DE∥BF(4分)
(2)若∠G=90°,求證:四邊形DEBF是菱形.【答案】∵AG∥BD
∴∠G=∠DBC=90°
∴△DBC為直角三角形(5分) 又∵F為邊CD的中點
∴BF=DC=DF.(7分)
又∵四邊形DEBF為平行四邊形
∴四邊形DEBF是菱形(8分)
23.[2013·黃岡中考,17]如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,DH⊥AB于H,連接OH,求證:∠DHO=∠DCO.
【答案】四邊形ABCD是菱形,
∴OD=OB,∠COD=90°,
∵DH⊥AB于H,∴∠DHB=90°,
∴∠OHB=∠OBH,
又∵AB∥CD.∴∠OBH=∠ODC,
∴∠OHB=∠ODC. 在Rt△COD中,∠ODC+∠OCD=90°,
在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,
∴∠DHO=∠DCO.
24.[2013·錦州中考,20]如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,DE∥AC,CE∥BD,連接OE.
求證:OE=BC.
【答案】∵DE∥AC,CE∥BD
∴四邊形OCED是平行四邊形
2分
又∵AC,BD是菱形ABCD的對角線
∴AC⊥BD,即∠COD=90°
4分 ∴平行四邊形OCED是矩形
6分 ∴OE=CD
8分 又∵BC=CD
9分 ∴OE=BC
10分
(學生用其他方法證明,請參照評分標準酌情給分)
證明菱形共3
菱形的判定證明題練習
1如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于點E.求證:四邊形AECD是菱形.
C
BAE
2 已知:如圖,在ABCD中,AE是BC邊上的高,將△ABE沿BC方向平移,使點E與點C重合,得△GFC.
(1)求證:BE?DG;
(2)若?B?60°,當AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形ABFG是菱形?證明你的結(jié)論. D
BE
F
3如圖,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點,G,H分別是BD,AC的中點,AB,CD滿足什么條件時,四邊形EGFH是菱形?請證明你的結(jié)論.
4如圖,在□ABCD中,EF∥BD,分別交BC、CD于點P、Q,分別交AB、AD的延長線于點E、F.已知BE=BP.
求證:(1)∠E=∠F.
(2)□ABCD是菱形.
BE平分?ABC交AD于點E,DF平分?ADC5.如圖,在平行四邊形ABCD中,
交BC于點F.求證:(1)△ABE≌CDF;
(2)若BD⊥EF,則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形,請證明你的結(jié)論.
DEA
BCF
6.如圖,在△ABC中,D是BC邊的中點,E、F分別在AD及其延長線上,CE∥BF,連接BE、CF.
(1)求證:△BDF≌△CDE;
(2)若AB=AC,求證:四邊形BFCE是菱形.
7.如圖,O為矩形ABCD對角線的交點,DE∥AC,CE∥BD.
(1)試判斷四邊形OCED的形狀,并說明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的面積.
AOE
B
8.已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC?CD,AD⊥BD,E為AB中點.
求證:四邊形BCDE是菱形.
9.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F(xiàn)在DE上,且AF=CE=AE.
(1)說明四邊形ACEF是平行四邊形;
(2)當∠B滿足什么條件時,四邊形ACEF是菱形,并說明理由.
11.如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,過A點作AG∥DB交CB的延長線于點G.(1)求證:DE∥BF;
(2)若?G?90°,求證:四邊形DEBF是菱形.
k的圖像經(jīng)過點(1,x
4),菱形OABC的頂點A在函數(shù)的圖像上,對角線OB在x軸上.
(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)直接寫出菱形OABC的面積.
12.如圖,在平面直角坐標系中,點O為原點,反比例函數(shù)y?
13.如圖,在平行四邊形ABCD中,點P是對角線AC上一點,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分別為點E、F,且PE=PF,平行四邊形ABCD是菱形嗎?為什么?
F A B C E
14.(2011 山東省濟寧市) 如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點O作直線EF?BD,分別交AD、BC于點E和F.求證:四邊形BEDF是菱形.
D
C F
15.(2011 山東省臨沂市) 如圖,△ABC中,AB?AC,AD、CD分別是△ABC兩個外角的平分線. F (1)求證:AC?AD;
(2)若?B?60°,求證:四邊形ABCD是菱形.
A
B E C
16.(2011 山東省青島市) 已知:□ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點,連接AF、CE.
(1)求證:△BEC≌△DFA;
(2)連接AC,當CA=CB時,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
D
EFC
證明菱形共4
選擇題(共30小題)
1、(2011?益陽)如圖,小聰在作線段AB的垂直平分線時,他是這樣操作的:分別以A和B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于C、D,則直線CD即為所求.根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(
)
A、矩形 B、菱形
C、正方形
D、等腰梯形
2、(2011?清遠)如圖.若要使平行四邊形ABCD成為菱形.則需要添加的條件是(
)
A、AB=CD
B、AD=BC
C、AB=BC
D、AC=BD
3、(2011?昆明)如圖,在?ABCD中,添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的是(
)
(3)
(4) A、AB=BC B、AC⊥B
C、BD平分∠ABC
D、AC=BD
4、(2010?義烏市)如圖,將三角形紙片△ABC沿DE折疊,使點A落在BC邊上的點F處,且DE∥BC,下列結(jié)論中,一定正確的個數(shù)是(
)
①△BDF是等腰三角形;②DE=BC;
③四邊形ADFE是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.
A、1 C、3 B、
2D、4
(5)
(第6題)
B、對角線互相垂直的四邊形是菱形
D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
5、(2010?天津)下列命題中正確的是(
)
A、對角線相等的四邊形是菱形
C、對角線相等的平行四邊形是菱形
6、(2010?連云港)如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD互相垂直,則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是(
)
A、BA=BC B、AC、BD互相平分
C、AC=BD
D、AB∥CD 1
7、(2008?泰安)如圖,下列條件之一能使平行四邊行ABCD是菱形的為(
) ①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.
A、①③ C、③④
B、②③
D、①②③
(8)
8、(2008?麗水)如圖,在三角形ABC中,AB>AC,D、E分別是AB、AC上的點,△ADE沿線段DE翻折,使點A落在邊BC上,記為A′.若四邊形ADA′E是菱形,則下列說法正確的是(
)
A、DE是△ABC的中位線 C、AA′是BC邊上的高
B、AA′是BC邊上的中線 D、AA′是△ABC的角平分線
9、(2007?衢州)紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標志,人們將紅絲帶剪成小段,并用別針將折疊好的紅絲帶別在胸前,如圖所示.紅絲帶重疊部分形成的圖形是(
)
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形
D、矩形
10、(2007?青海)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,則四邊形EFGH是(
) A、等腰梯形 B、矩形
C、菱形
D、正方形
11、(2007?瀘州)在同一平面內(nèi),用兩個邊長為a的等邊三角形紙片(紙片不能裁剪)可以拼成的四邊形是(
) A、矩形 B、菱形
C、正方形
D、梯形
12、(2007?連云港)如圖,在△ABC中,點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四個判斷中,不正確的是(
)
A、四邊形AEDF是平行四邊形
B、如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形
D、如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDFC、如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是矩形
是菱形
13、(2007?哈爾濱)下列說法中,正確的說法有(
)
①對角線互相平分且相等的四邊形是菱形;
②一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根是x1=4,x2=﹣1; ③依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形;④一元一次不等式2x+5<11的正整數(shù)解有3個;⑤在數(shù)據(jù)1,3,3,0,2中,眾數(shù)是3,中位數(shù)是3. A、1個 B、2個
C、3個
D、4個
2
14、(2007?福州)下列命題中,錯誤的是(
)
A、矩形的對角線互相平分且相等 C、等腰梯形的兩條對角線相等
A、正方形
B、對角線互相垂直的四邊形是菱形 D、等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等
D、梯形
D、等腰三角形
15、(2006?雙流縣)順次連接矩形的各邊中點,所得的四邊形一定是(
)
B、菱形
C、矩形
B、矩形
C、菱形
16、(2006?黔東南州)兩個全等的直角三角形不能拼成的圖形是(
)
A、平行四邊形
17、(2006?連云港)如圖所示,正方形ABCD中,E,F(xiàn)是對角線AC上兩點,連接BE,BF,DE,DF,則添加下列哪一個條件可以判定四邊形BEDF是菱形(
)
A、∠1=∠2 A、梯形
C、菱形
A、等腰梯形 A、等腰梯形 B、BE=DF
C、∠EDF=60°
B、矩形 D、正方形
B、正方形
C、矩形
D、菱形 D、矩形 D、AB=AF
18、(2005?寧波)若四邊形的兩條對角線相等,則順次連接該四邊形各邊中點所得的四邊形是(
)
19、(2004?南京)用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是(
) 20、(2004?昆明)順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是(
)
B、正方形
C、菱形
21、(2004?郴州)在一個四邊形ABCD中,依次連接各邊中點的四邊形是菱形,則對角線AC與BD需要滿足條件(
)
A、垂直 B、相等
C、相交
D、不再需要條件
22、(2003?四川)下列說法正確的是(
)
A、有兩邊相等的平行四邊形是菱形
C、四個角相等的菱形是正方形
A、對角線相等
B、有一個角是直角的四邊形是矩形 D、任何正多邊形都可以密鋪
23、(2002?湛江)下列條件中,能判斷四邊形是菱形的是(
)
B、對角線互相平分
D、對角線互相垂直平分 C、對角線互相垂直
24、(2002?荊州)如下圖過矩形ABCD的四個頂點作對角線AC、BD的平行線,分別交于E、F、G、H四點,則四邊形EFGH為(
)
A、梯形 B、矩形
C、菱形
D、正方形
25、(2000?天津)以下有四個結(jié)論:
①順次連接對角線相等的四邊形各邊中點,所得的四邊形是菱形; ②等邊三角形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形;
3 ③頂點在圓上的角叫做圓周角;
④邊數(shù)相同的正多邊形都是相似形.其中正確的有(
)
A、1個 C、3個 B、2個 D、4個
26、(2000?荊門)順次連接四邊形ABCD各邊中點所成的四邊形為菱形,那么四邊形ABCD的對角線AC和BD只需滿足的條件是 (
)
A、相等
A、正方形 B、互相垂直
C、相等且互相垂直 B、矩形
C、菱形
D、相等且互相平分
27、(1999?煙臺)順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是(
)
D、等腰梯形
B、兩條對角線相等的四邊形是矩形
D、兩條對角線平分且相等的四邊形是正方形
28、(1999?昆明)下列命題中,正確命題是(
)
A、兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形 C、兩條對角線互相垂直平分的四邊邊是菱形 A、兩條對角線垂直的四邊形是菱形
C、兩條對角線相等的四邊形是矩形
29、下列命題中,真命題是(
)
B、對角線垂直且相等的四邊形是正方形 D、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
一、解答題
1、(2010?盤錦)如圖,△ABC是等邊三角形,點D是邊BC上的一點,以AD為邊作等邊△ADE,過點C作CF∥DE交AB于點F. (1)若點D是BC邊的中點(如圖①),求證:EF=CD; (2)在(1)的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比;
(3)若點D是BC邊上的任意一點(除B、C外如圖②),那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明:若不成立,請說明理由.
2、(2010?黔南州)已知:如圖,在?ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G. (1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若四邊形BEDF是菱形,則四邊形AGBD是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
.
4
證明菱形共5
專題矩形、菱形、正方形的證明
1、如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于O點,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F. 求證:BE=CF.
A
2.如圖,△ABC中,∠ACB=900,點D、E分別為AC、AB的中點,點F在BC延長線上,且∠CDF=∠A,求證:四邊形DECF是平行四邊形;
4、在△ABC中,∠C=90O,AC=BC,AD=BD,PE⊥AC于點E, PF⊥BC于點F。求證:DE=DF
5、平行四邊形ABCD,E是CD的中點,△ABE是等邊三角形,求證:四邊形ABCD是矩形
6、在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于O,EF過點O,且AF⊥BC,求證:四邊形AFCE是矩形
7、平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,點P是四邊形外一點,且PA⊥PC,PB⊥PD,垂足為P。求證:四邊形ABCD為矩形
8、已知:如圖,平行四邊形ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H,求證:四邊形 EFGH為矩形.
E O F D B C 9、如圖,△ABC中,點O是AC上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F, (1)求證:OE=OF; (2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形,并證明你的結(jié)論。
12、已知:如圖,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E, DF∥AB交AC于F. 求證:四邊形AEDF是菱形;
14、如圖,Rt△ABC中,∠ACB=900,∠BAC=600,DE垂直平分BC,垂足為D,交AB于E,又點F在DE的延長線上,且AF=CE,求證:四邊形ACEF是菱形。
15、如圖,在已知平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,與BC相交于點E,EF//AB,與AD相交于點F.求證:四邊形ABEF是菱形.
16、如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F,四邊形AEFG是菱形嗎?
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