下面是范文網(wǎng)小編整理的證明菱形共5篇 菱形的幾種證明方法，歡迎參閱。

證明菱形共1

11、平行四邊形ABCD中，AB⊥AC,AB=1，BC= 根號5，對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC,AD于點E,F.(1) 證明：當旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形。

(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等。

(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由

1、平行四邊形ABCD中，AB⊥AC,AB=1，BC= 根號5，對角線AC,BD相交于點O,將直

　　線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC,AD于點E,F.

(1) 證明：當旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形。

(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等。

(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由

　　并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)地度數(shù)。

　　如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．

（1）證明：當旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

　　分析：（1）當旋轉(zhuǎn)角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；

（2）證明△AOF≌△COE即可；

（3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據(jù)勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB

⊥AC，∴∠AOB=45°．

　　證明：（1）當∠AOF=90°時，AB∥EF，

　　又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE． ∴△AOF≌△COE．

∴AF=EC．

（3）四邊形BEDF可以是菱形．

　　理由：如圖，連接BF，

　　DE

　　由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF與BD互相平分．

∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．

　　在Rt△ABC中，AC＝

， ∴OA=1=AB，又AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°時，四邊形BEDF為菱形．

證明菱形共2

　　絕密★啟用前

　　樂學教育菱形證明專題訓練

1.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,E,F為對角線AC上兩點,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求證:四邊形ABCD為菱形.【答案】∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF.

∵DF∥BE, ∴∠BEF=∠DFE, ∴∠AEB=∠CFD.

　　又∵AE=CF, ∴△AEB≌∠CFD, ∴AB=CD.

∵AB∥CD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵AC平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAF.

　　又∠BAE=∠DCF, ∴∠DAF=∠DCF, ∴AD=CD, ∴四邊形ABCD是菱形.

2.如圖，矩形ABCD中，點O為AC的中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BF交AC于點M，連接DE，BO.若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC.

　　求證:

(1)四邊形EBFD是菱形;

【答案】連接OD.∵點O為矩形ABCD的對角線AC的中點，

∴B,D, O三點共線且BD=DO=CO=AO. 在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO. 在△CFO和△AEO中，

∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO. 又∵BO=DO，∴四邊形BEFD是平行四邊形. ∵BO=CO，∠COB=60°，

∴△COB是等邊三角形.∴∠OCB=60°.

∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.

∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.

∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.

∴EF⊥BD.∴平行四邊形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC，∴點B在線段OC的垂直平分線上.

∵FO=FC，∴點F在線段OC的垂直平分線上.

∴BF是線段OC的垂直平分線.

∴∠FMO=∠OMB=90°.

∴∠OBM=30°.∴OF=BF.

∵∠FOC=30°，∴FM=OF.

∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.

　　即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.

3.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC邊上的中線,過點C作CE⊥BD于點E,過點A作BD的平行線,交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG,DF.求證:四邊形BGFD是菱形.

【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四邊形BGFD是平行四邊形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,點D是AC的中點,∴BD=DF=AC,

∴平行四邊形BGFD是菱形.

4.如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,DE∥AC,CE∥BD,連接OE. 求證:OE=BC.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四邊形OCED是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OB=OD, ∴∠BOC=∠COD=90°,

∴四邊形OCED是矩形, ∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,

∴BC=,OE=,

∵DE=OC. ∴OE=BC.

5.[2015·蘭州中考,25] (9分)如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.

(1)求證:AD=BC;

【答案】作BM∥AC,BM交DC的延長線于點M,則∠ACD=∠BMD.

　　1分

∵AB∥CD,BM∥AC, ∴四邊形ABMC為平行四邊形.

　　2分

∴AC=BM.

∵BD=AC,∴BM=BD.

∴∠BDM=∠BMD.

∴∠BDC=∠ACD.

　　在△BDC和△ACD中,

∴△BDC≌△ACD.

　　4分

∴BC=AD.

　　5分

(2)若E,F,G,H分別是AB,CD,AC,BD的中點.求證:線段EF與線段GH互相垂直平分.【答案】連接EG,GF,FH,HE.

　　6分

∵E,H為AB,BD的中點,∴EH=AD.

　　同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.

∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.

　　8分

∴四邊形EGFH為菱形, ∴EF與GH互相垂直平分.

　　9分

6.[2015·長春中考,18] (7分)如圖,CE是△ABC外角∠ACD的平分線,AF∥CD交CE于點F,FG∥AC交CD于點G,求證:四邊形ACGF是菱形.

【答案】因為AF∥CD,FG∥AC, 所以四邊形ACGF是平行四邊形①,

　　又因為∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC, 所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,

　　由①②得四邊形ACGF是菱形.

7.[2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如圖所示)，∠BAD的平分線AE交BC于點E，連結(jié)DE.

(1)在圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE(保留作圖痕跡，不寫作法)，并證明四邊形ABED是菱形； 【答案】

∵∠BAE＝∠DAE， ∠DAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，

　　AD∥BE，∴四邊形ABED的平行四邊形，又AB＝AD， ∴四邊形ABED為菱形

(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求證：ED⊥DC.【答案】過D作DF∥AE，則DF＝CF＝1，

∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°，

∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.

8.[2010·沈陽中考，19]如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于O，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，連接EF，OE，OF，求證：四邊形AEOF是菱形.

【答案】∵點E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點

∴AE＝AB，AF＝AD(2分)

　　又∵四邊形ABCD是菱形

∴AB＝AD

∴AE＝AF(4分) 又∵菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O

∴O為BD的中點

∴OE，OF是△ABD的中位線(6分) ∴OE∥AD，OF∥AB

∴四邊形AEOF是平行四邊形(8分) ∵AE＝AF

∴四邊形AEOF是菱形(10分)

9. [2010·安徽中考，20]如圖，AD∥FE，點B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.

(1)求證：四邊形BCEF是菱形； 【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.

∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.

∴BF＝EF

∵BF＝BC，∴BC＝EF. ∴四邊形BCEF是平行四邊形

∵BF＝BC，

∴四邊形BCEF是菱形(5分)

(2)若AB＝BC＝CD，求證：△ACF≌△BDE.【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，

∴四邊形ABEF、四邊形CDEF均為平行四邊形，∴AF＝BE，F(xiàn)C＝ED.(8分) 又∵AC＝2BC＝BD，(9分) ∴△ACF≌△BDE.(10分)

10.[2013·長沙中考，24]如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，∠AND＝90°，連接CM交DN于點O.

(1)求證：△ABN≌△CDM；

【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，

　　BN＝BC＝AD＝DM，

∴△ABN≌△CDM(SAS).

(2)過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的長.

【答案】∵M，O分別為AD，ND的中點，

∴AN∥MO且AN＝2MO，

∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四邊形CDMN是菱形，

　　在Rt△MOD與Rt△NEC中，

∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，

∴MO＝NE. 根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，

　　即AN＝2.

11.如圖,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于點H,∠B的平分線交AC于點D,交AH于點E,DF⊥BC于點F,求證:四邊形AEFD是菱形.

【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,

∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.

　　又∠ABE=∠FBE,BE=BE, ∴△ABE≌△FBE.

∴∠BAE=∠BFE.

　　又∠BAE=90°-∠ABC=∠C, ∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.

∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.

∴四邊形AEFD是平行四邊形.

　　又AD=DF,∴四邊形AEFD是菱形.12.[2012·南寧中考,25]如圖,已知矩形紙片ABCD,AD＝2,AB＝4,將紙片折疊,使頂點A與邊CD上的點E重合,折痕FG分別與AB,CD交于點G,F,AE與FG交于點O.

　　圖1圖2

(1)如圖1,求證：A,G,E,F四點圍成的四邊形是菱形； 【答案】證法一：

　　證明：在矩形ABCD中,CD∥AB

∴∠1＝∠3(1分) 由折疊可知：AG＝EG,∠1＝∠2

∴∠2＝∠3

∴EF＝EG(2分) ∴EF＝AG

∴四邊形AGEF是菱形(3分) 證法二：

　　證明：連接AF,由折疊可知

　　OA＝OE,AG＝EG(1分) 在矩形ABCD中,AB∥CD

∴∠AEF＝∠EAG

∵∠AOG＝∠EOF

∴△AOG≌△EOF(ASA)(2分) ∴AG＝EF

∴四邊形AGEF是菱形(3分)

(2)如圖2,當△AED的外接圓與BC相切于點N時,求證,點N是線段BC的中點； 【答案】證明：連接ON,O是Rt△ADE外接圓圓心.

∵⊙O與BC相切于點N

∴ON⊥BC(4分) 在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC

∴CD∥ON∥AB

∴＝(5分)

∵OA＝OE ∴CN＝NB

　　即N為BC的中點(6分)

(3)如圖2,在第2問的條件下,求折痕FG的長.【答案】解法一：

　　過點O作OM⊥AB于點M,則四邊形OMBN是矩形

　　設(shè)⊙O半徑為x,則OA＝OE＝ON＝x(7分) ∵AB＝4,AD＝2 ∴AM＝4－x

　　由第2問得,NB＝OM＝1 在Rt△AOM中,OA＝AM＋OM

∴x＝(4－x)＋1 ∴x＝(8分)

　　2AM＝4－＝

∵∠FEO＝∠OAM

　　又∵∠FOE＝∠OMA＝90° ∴Rt△EFO∽Rt△AOM

∴＝ ∴＝(9分) ∴OF＝ ∴FG＝2OF＝(10分) 解法二：

　　延長NO交AD于點M

∴四邊形ABNM是矩形 ∴AM＝BN＝AD＝1 ∵O為Rt△ADE外接圓圓心 ∴OA＝OE＝ON

　　設(shè)ON為x,則OM＝4－x(7分) 22

　　2 在Rt△AMO中,AM＋OM＝OA 即1＋(4－x)＝x x＝(8分) 222∴OM＝4－＝

∵FG⊥AE,MN∥DC ∴∠FEO＝∠MOA ∠AMO＝∠EOF＝90° ∴△EOF∽△OMA ∴＝ ∴＝(9分) ∴OF＝ FG＝2OF＝(10分)

13.[2013·葫蘆島中考,20] (本小題滿分8分) 如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于點E.

(1)求證:△ABD≌△EBD; 【答案】如圖,

∵AD∥BC, ∴∠1=∠DBC.

∵BC=DC,∠2=∠DBC.

∴∠1=∠2.

　　2分

　　又∵∠BAD=∠BED=90°,

　　BD=BD,∴△ABD≌△EBD.

　　4分

(2)過點E作EF∥DA,交BD于點F,連接AF.求證:四邊形AFED是菱形.【答案】由第1問得,AD=ED,∠1=∠2.

∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.

∴EF=ED.

　　5分

∴EF=AD.

　　6分

∴四邊形AFED是平行四邊形.

　　又∵AD=ED.

∴四邊形AFED是菱形.

　　8分

14.[2013·貴陽中考，20] 已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為BC上的任意一點，連接AF交對角線BD于點E，連接EC.

(1)求證：AE＝EC；

【答案】

　　證明：連接AC. ∵BD是菱形ABCD的對角線，

∴BD垂直平分AC. ∴AE＝EC.

(2)當∠ABC＝60°，∠CEF＝60°時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由.【答案】點F是線段BC的中點. 理由：∵菱形ABCD中，AB＝BC，

　　又∵∠ABC＝60°.

∴△ABC是等邊三角形，∠BAC＝60°.

∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.

∴AF是△ABC的角平分線. ∵AF交BC于點F，

∴AF是△ABC的BC邊上的中線. ∴點F是線段BC的中點.15.[2012·上海中考,23]已知：如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,∠BAF＝∠DAE,AE與BD交于點G.

(1)求證：BE＝DF；

【答案】∵四邊形ABCD為菱形, ∴AB＝AD＝BC＝CD, ∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB, ∠ABE＝∠ADF

∵∠BAF＝∠DAE, 且∠BAF＝∠BAE＋∠EAF, ∠DAE＝∠DAF＋∠EAF

∴∠BAE＝∠DAF. ∴△ABE≌△ADF(ASA). ∴BE＝DF.

(2)當＝時,求證：四邊形BEFG是平行四邊形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC, ∴∠DAE＝∠BEA,∠ADB＝∠EBD. ∴△AGD∽△EGB. ∴＝.

　　又∵＝,BE＝DF,

∴＝＝＝

∴GF∥BE. ∴∠DGF＝∠DBC. ∵∠DBC＝∠CDB, ∴∠DGF＝∠GDF, ∴GF＝DF, ∴BE＝GF. ∴BEGF,

∴四邊形BEFG是平行四邊形.

16.[2013·烏魯木齊中考,19]如圖,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分別與BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,連接FH.求證：四邊形CFHE是菱形.

【答案】∵AE平分∠BAC,∴∠CAE＝∠EAH,而∠ACB＝90°,CD⊥AB, ∴∠CEA＋∠CAE＝∠AFD＋∠EAH＝90°,又∠APD＝∠CFE,

∴∠CFE＝∠CEF,∴CF＝CE.又∵AE平分∠BAC,∠ACB＝90°.EH⊥AB,∴CE＝EH, ∴CF＝EH＝CE,∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH, ∴四邊形CFHE是菱形.

17.如圖所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于點E,CF⊥AD于點F,求證:AE=AF.

【答案】證法1：如圖所示,連接AC,

∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.

　　在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(AAS),∴AE=AF.

　　證法2：∵四邊形ABCD是菱形, ∴BC=DC=AD=AB,∠B=∠D.

　　又∵在△BCE和△DCF中,∠BEC=∠DFC=90°,

∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AE=AF.

18.[2013·南寧中考，23]如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點.

(1)求證：△ABE≌△CDF；

【答案】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA(或AB＝CD，BC＝DA). ∠B＝∠D. ∵點E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點，

∴BE＝DF. ∴△ABE≌△CDF.

(2)若∠B＝60°，AB＝4，求線段AE的長.【答案】解法一：∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等邊三角形. ∵點E是BC邊的中點. ∴AE⊥BC. 在Rt△ABE中，sinB＝.

∴AE＝AB·sinB＝4×＝.

　　解法二：∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等邊三角形. ∵點E是BC邊的中點，∴AE⊥BC. ∴∠BAE＝30°.

　　在Rt△ABE中，BE＝AB＝2.

∴AE＝＝＝.

19.[2012·溫州中考,19](本題8分) 如圖,△ABC中,∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm,將△ABC沿射線BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的對應(yīng)點分別是D,E,F,連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形.

【答案】法一：∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm. ∴AC＝10cm. 由平移變換的性質(zhì)得CF＝AD＝10cm,DF＝AC, ∴AD＝CF＝AC＝DF, ∴四邊形ACFD是菱形. 法二：由平移變換的性質(zhì)得AD∥CF, AD＝CF＝10cm, ∴四邊形ACFD是平行四邊形, ∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm, ∴AC＝10cm, ∴AC＝CF, ∴?ACFD是菱形.

20.[2011?蘭州中考，27](本小題滿分12分) 已知：如圖17所示的一張矩形紙片ABCD(AD＞AB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F.分別連接AF和CE.

(1)求證：四邊形AFCE是菱形；

【答案】由題意可知OA＝OC，EF⊥AO.

∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，

∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形(2分)

∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形.(4分)

(2)若AE＝10 cm，△ABF的面積為24 cm，求△ABF的周長； 【答案】∵四邊形AECF是菱形，

∴AF＝AE＝10 cm.

　　設(shè)AB＝a，BF＝b，

∵△ABF的面積為24 cma＋b＝100，ab＝48(6分)

(a＋b)＝196，a＋b＝14或a＋b＝－14(不合題意，舍去)(7分)

△ABF的周長為a＋b＋10＝24 cm(8分) 2

　　2,

　　2

　　2

　　2(3)在線段AC上是否存在一點P，使得2AE＝ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.

【答案】存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點(9分)

　　證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，

∴△AOE∽△AEP，∴＝，

∴AE＝AOAP(11分)

∵四邊形AECF是菱形，

∴AO＝AC，∴AE＝ACAP，

∴2AE＝ACAP.(12分) 222

221.[2013·營口中考,19]如圖 ,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC一個外角的平分線,且∠BAC=∠ACD.

(1)求證:△ABC≌△CDA;

【答案】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB

　　又∵∠FAC是△ABC的一個外角, ∴∠FAC=∠B+∠ACB

∴∠FAC=2∠ACB

　　2分

　　又∵AD是∠FAC的角平分線,∴∠FAC=2∠CAD, ∴∠ACB=∠CAD

　　3分

　　又∵AC=CA,∠BAC=∠DCA

∴△ABC≌△CDA

　　4分

(2)若∠ACB=60°,求證:四邊形ABCD是菱形.【答案】∵∠BAC=∠ACD

∴AB∥CD

　　5分

　　又∵∠ACB=∠CAD, ∴AD∥BC.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

　　6分

∵AB=AC,∠ACB=60°,

∴等腰三角形ABC是等邊三角形.

　　7分

∴AB=BC.

∴四邊形ABCD是菱形.

　　8分

22.[2011?寧波中考,23](本小題滿分8分) 如圖13,在ABCD中,E,F分別為邊AB,CD的中點,BD是對角線,過A點作AG∥DB交CB的延長線于點G.

(1)求證：DE∥BF；

【答案】在ABCD中,AB∥CD,AB＝CD

∵E,F分別為邊AB,CD的中點

∴DF＝DC,BE＝AB

∴DF∥BE,DF＝BE(2分) ∴四邊形DEBF為平行四邊形(3分) ∴DE∥BF(4分)

(2)若∠G＝90°,求證：四邊形DEBF是菱形.【答案】∵AG∥BD

∴∠G＝∠DBC＝90°

∴△DBC為直角三角形(5分) 又∵F為邊CD的中點

∴BF＝DC＝DF.(7分)

　　又∵四邊形DEBF為平行四邊形

∴四邊形DEBF是菱形(8分)

23.[2013·黃岡中考，17]如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO＝∠DCO.

【答案】四邊形ABCD是菱形，

∴OD＝OB，∠COD＝90°，

∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°，

∴∠OHB＝∠OBH，

　　又∵AB∥CD.∴∠OBH＝∠ODC，

∴∠OHB＝∠ODC. 在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，

　　在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，

∴∠DHO＝∠DCO.

24.[2013·錦州中考,20]如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,DE∥AC,CE∥BD,連接OE.

　　求證:OE=BC.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD

∴四邊形OCED是平行四邊形

　　2分

　　又∵AC,BD是菱形ABCD的對角線

∴AC⊥BD,即∠COD=90°

　　4分 ∴平行四邊形OCED是矩形

　　6分 ∴OE=CD

　　8分 又∵BC=CD

　　9分 ∴OE=BC

　　10分

(學生用其他方法證明,請參照評分標準酌情給分)

證明菱形共3

　　菱形的判定證明題練習

　　1如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點E．求證：四邊形AECD是菱形．

　　C

　　BAE

　　2 已知：如圖，在ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE?DG；

（2）若?B?60°，當AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論． D

　　BE

　　F

　　3如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，AB，CD滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形？請證明你的結(jié)論．

　　4如圖，在□ABCD中，EF∥BD，分別交BC、CD于點P、Q，分別交AB、AD的延長線于點E、F．已知BE=BP．

　　求證：（1）∠E=∠F．

（2）□ABCD是菱形．

　　BE平分?ABC交AD于點E，DF平分?ADC5.如圖，在平行四邊形ABCD中，

　　交BC于點F.求證：（1）△ABE≌CDF；

（2）若BD⊥EF，則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請證明你的結(jié)論.

　　DEA

　　BCF

6.如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．

（1）求證：△BDF≌△CDE；

（2）若AB＝AC，求證：四邊形BFCE是菱形．

7.如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．

（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四邊形OCED的面積．

　　AOE

　　B

8.已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC?CD，AD⊥BD，E為AB中點．

　　求證：四邊形BCDE是菱形．

9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE．

（1）說明四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由．

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AG∥DB交CB的延長線于點G.（1）求證：DE∥BF；

（2）若?G?90°，求證：四邊形DEBF是菱形．

　　k的圖像經(jīng)過點（1，x

　　4），菱形OABC的頂點A在函數(shù)的圖像上，對角線OB在x軸上.

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）直接寫出菱形OABC的面積.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，反比例函數(shù)y?

13.如圖，在平行四邊形ABCD中，點P是對角線AC上一點，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為點E、F，且PE=PF，平行四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？

　　F A B C E

14.(2011 山東省濟寧市) 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作直線EF?BD，分別交AD、BC于點E和F．求證：四邊形BEDF是菱形．

　　D

　　C F

15.(2011 山東省臨沂市) 如圖，△ABC中，AB?AC，AD、CD分別是△ABC兩個外角的平分線． F （1）求證：AC?AD；

（2）若?B?60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

　　A

　　B E C

16.(2011 山東省青島市) 已知：□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AF、CE．

（1）求證：△BEC≌△DFA；

（2）連接AC，當CA＝CB時，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

　　D

　　EFC

證明菱形共4

　　選擇題（共30小題）

1、（2011?益陽）如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（

）

　　A、矩形 B、菱形

　　C、正方形

　　D、等腰梯形

2、（2011?清遠）如圖．若要使平行四邊形ABCD成為菱形．則需要添加的條件是（

）

　　A、AB=CD

　　B、AD=BC

　　C、AB=BC

　　D、AC=BD

3、（2011?昆明）如圖，在?ABCD中，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的是（

）

（3）

（4） A、AB=BC B、AC⊥B

　　C、BD平分∠ABC

　　D、AC=BD

4、（2010?義烏市）如圖，將三角形紙片△ABC沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，且DE∥BC，下列結(jié)論中，一定正確的個數(shù)是（

）

①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；

③四邊形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．

　　A、1 C、3 B、

　　2D、4

（5）

（第6題）

　　B、對角線互相垂直的四邊形是菱形

　　D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

5、（2010?天津）下列命題中正確的是（

）

　　A、對角線相等的四邊形是菱形

　　C、對角線相等的平行四邊形是菱形

6、（2010?連云港）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是（

）

　　A、BA=BC B、AC、BD互相平分

　　C、AC=BD

　　D、AB∥CD 1

7、（2008?泰安）如圖，下列條件之一能使平行四邊行ABCD是菱形的為（

） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③ C、③④

　　B、②③

　　D、①②③

（8）

8、（2008?麗水）如圖，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分別是AB、AC上的點，△ADE沿線段DE翻折，使點A落在邊BC上，記為A′．若四邊形ADA′E是菱形，則下列說法正確的是（

）

A、DE是△ABC的中位線 C、AA′是BC邊上的高

　　B、AA′是BC邊上的中線 D、AA′是△ABC的角平分線

9、（2007?衢州）紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標志，人們將紅絲帶剪成小段，并用別針將折疊好的紅絲帶別在胸前，如圖所示．紅絲帶重疊部分形成的圖形是（

）

　　A、正方形 B、等腰梯形

　　C、菱形

　　D、矩形

10、（2007?青海）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形EFGH是（

） A、等腰梯形 B、矩形

　　C、菱形

　　D、正方形

11、（2007?瀘州）在同一平面內(nèi)，用兩個邊長為a的等邊三角形紙片（紙片不能裁剪）可以拼成的四邊形是（

） A、矩形 B、菱形

　　C、正方形

　　D、梯形

12、（2007?連云港）如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四個判斷中，不正確的是（

）

A、四邊形AEDF是平行四邊形

　　B、如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是矩形

　　D、如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDFC、如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是矩形

　　是菱形

13、（2007?哈爾濱）下列說法中，正確的說法有（

）

①對角線互相平分且相等的四邊形是菱形；

②一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根是x1=4，x2=﹣1； ③依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形；④一元一次不等式2x+5＜11的正整數(shù)解有3個；⑤在數(shù)據(jù)1，3，3，0，2中，眾數(shù)是3，中位數(shù)是3． A、1個 B、2個

　　C、3個

　　D、4個

　　2

14、（2007?福州）下列命題中，錯誤的是（

）

　　A、矩形的對角線互相平分且相等 C、等腰梯形的兩條對角線相等

　　A、正方形

　　B、對角線互相垂直的四邊形是菱形 D、等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等

　　D、梯形

　　D、等腰三角形

15、（2006?雙流縣）順次連接矩形的各邊中點，所得的四邊形一定是（

）

　　B、菱形

　　C、矩形

　　B、矩形

　　C、菱形

16、（2006?黔東南州）兩個全等的直角三角形不能拼成的圖形是（

）

　　A、平行四邊形

17、（2006?連云港）如圖所示，正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，連接BE，BF，DE，DF，則添加下列哪一個條件可以判定四邊形BEDF是菱形（

）

　　A、∠1=∠2 A、梯形

　　C、菱形

　　A、等腰梯形 A、等腰梯形 B、BE=DF

　　C、∠EDF=60°

　　B、矩形 D、正方形

　　B、正方形

　　C、矩形

　　D、菱形 D、矩形 D、AB=AF

18、（2005?寧波）若四邊形的兩條對角線相等，則順次連接該四邊形各邊中點所得的四邊形是（

）

19、（2004?南京）用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（

） 20、（2004?昆明）順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是（

）

　　B、正方形

　　C、菱形

21、（2004?郴州）在一個四邊形ABCD中，依次連接各邊中點的四邊形是菱形，則對角線AC與BD需要滿足條件（

）

A、垂直 B、相等

　　C、相交

　　D、不再需要條件

22、（2003?四川）下列說法正確的是（

）

　　A、有兩邊相等的平行四邊形是菱形

　　C、四個角相等的菱形是正方形

　　A、對角線相等

　　B、有一個角是直角的四邊形是矩形 D、任何正多邊形都可以密鋪

23、（2002?湛江）下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是（

）

　　B、對角線互相平分

　　D、對角線互相垂直平分 C、對角線互相垂直

24、（2002?荊州）如下圖過矩形ABCD的四個頂點作對角線AC、BD的平行線，分別交于E、F、G、H四點，則四邊形EFGH為（

）

　　A、梯形 B、矩形

　　C、菱形

　　D、正方形

25、（2000?天津）以下有四個結(jié)論：

①順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得的四邊形是菱形； ②等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；

　　3 ③頂點在圓上的角叫做圓周角；

④邊數(shù)相同的正多邊形都是相似形．其中正確的有（

）

　　A、1個 C、3個 B、2個 D、4個

26、（2000?荊門）順次連接四邊形ABCD各邊中點所成的四邊形為菱形，那么四邊形ABCD的對角線AC和BD只需滿足的條件是 （

）

　　A、相等

　　A、正方形 B、互相垂直

　　C、相等且互相垂直 B、矩形

　　C、菱形

　　D、相等且互相平分

27、（1999?煙臺）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是（

）

　　D、等腰梯形

　　B、兩條對角線相等的四邊形是矩形

　　D、兩條對角線平分且相等的四邊形是正方形

28、（1999?昆明）下列命題中，正確命題是（

）

　　A、兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形 C、兩條對角線互相垂直平分的四邊邊是菱形 A、兩條對角線垂直的四邊形是菱形

　　C、兩條對角線相等的四邊形是矩形

29、下列命題中，真命題是（

）

　　B、對角線垂直且相等的四邊形是正方形 D、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

一、解答題

1、（2010?盤錦）如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F． （1）若點D是BC邊的中點（如圖①），求證：EF=CD； （2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；

（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由．

2、（2010?黔南州）已知：如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G． （1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

．

　　4

證明菱形共5

　　專題矩形、菱形、正方形的證明

1、如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于O點，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求證：BE=CF.

　　A

2.如圖，△ABC中，∠ACB=900，點D、E分別為AC、AB的中點，點F在BC延長線上，且∠CDF=∠A，求證：四邊形DECF是平行四邊形；

4、在△ABC中，∠C=90O，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于點E， PF⊥BC于點F。求證：DE=DF

5、平行四邊形ABCD，E是CD的中點，△ABE是等邊三角形，求證：四邊形ABCD是矩形

6、在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，EF過點O，且AF⊥BC，求證：四邊形AFCE是矩形

7、平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點Ｏ，點Ｐ是四邊形外一點，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足為Ｐ。求證：四邊形ABCD為矩形

8、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形 EFGH為矩形．

　　E O F D B C 9、如圖，△ABC中，點O是AC上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F， (1)求證：OE=OF； (2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論。

12、已知：如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F． 求證：四邊形AEDF是菱形；

14、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于E，又點F在DE的延長線上，且AF=CE，求證：四邊形ACEF是菱形。

15、如圖，在已知平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，與BC相交于點E，EF//AB，與AD相交于點F.求證:四邊形ABEF是菱形.

16、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四邊形AEFG是菱形嗎?

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