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幾何證明3篇(簡單的幾何證明)

時間:2022-10-26 08:41:34 綜合范文

  下面是范文網(wǎng)小編收集的幾何證明3篇(簡單的幾何證明),供大家閱讀。

幾何證明3篇(簡單的幾何證明)

幾何證明1

  2013幾何證明

  1.(2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(理)試題(含答案))如圖,在ABC

  中,?C?900,?A?600,AB?20,過C作ABC的外接圓的切線CD,BD?CD,BD與外接

  圓交于點E,則DE的長為_____

  _____

  2.(2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(理)試題(含答案))如圖, △ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦, 且BD//AC.過點A 做圓的切線與DB的延長線交于點E, AD與BC交于點F.若AB =

  AC, AE = 6, BD = 5, 則線段CF的長為

  ______.3.(2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(理)卷(純WORD版))(幾何證明選講選做題)如圖,AB

  是圓O的直徑,點C在圓O上,延長BC到D使BC?CD,過C作圓O的切線交AD于E.若

  AB?6,ED?2,則BC?_________.E

  第15題圖

  4.(2013年高考四川卷(理))設P1,P2,Pn為平面?內(nèi)的n個點,在平面?內(nèi)的所有點中,若點P到

  P1,P2,Pn點的距離之和最小,則稱點P為P1,P2,Pn點的一個“中位點”.例如,線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點.則有下列命題:

①若A,B,C三個點共線,C在線AB上,則C是A,B,C的中位點;[來源:學#科#網(wǎng)] ②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點;③若四個點A,B,C,D共線,則它們的中位點存在且唯一;④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.其中的真命題是____________.(寫出所有真命題的序號數(shù)學社區(qū))

  5.(2013年高考陜西卷(理))B.(幾何證明選做題)如圖, 弦AB與CD相交于O內(nèi)一點E, 過E作

  BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知PD=2DA=2, 則PE=_____.6.(2013年高考湖南卷(理))如圖2,O中,弦AB,CD相交于點

  P,PA?PB?

  2,PD?1,則圓心O到弦CD的距離為____________.7.(2013年高考湖北卷(理))如圖,圓O上一點C在直線AB上的射影為D,點D在半徑OC上的射

  影為E.若AB?3AD,則CE

  EO的值為___________.C

  A

  B

  第15題圖

  8.(2013年高考北京卷(理))如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓11.修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分.如圖,AB和BC分別與圓O相切于點D,C,AC經(jīng)過圓心O,且BC?2OC O相交于D.若PA=3,PD:DB?9:16,則PD=_________;AB=___________.求證:AC?2AD[來源:學.科.網(wǎng)]

  9.選修4—1幾何證明選講:如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點

  D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC?AE?DC?AF,B,E,F,C四點共圓.(Ⅰ)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;

(Ⅱ)若DB?BE?EA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.10.選修4-1:幾何證明選講

  如圖,AB為O直徑,直線CD與O相切于垂直于CD于D,BC垂直于CD于

  C,EF,垂直于F,連接AE,BE.證明:

(I)?FEB??CEB;(II)EF2?ADBC.

幾何證明2

  1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的________________成比例.推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______;相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于

  _________________;

  相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________;

  4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1:同弧或等弧所對的圓周角_________;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧_______.o推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是____;90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理:

  圓的內(nèi)接四邊形的對角______;圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點______;如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角,那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的__________.推論:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______;經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦,_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長____;

  圓心和這點的連線平分_____的夾角.

幾何證明3

  龍文教育浦東分校學生個性化教案

  學生:錢寒松教師:周亞新時間:2010-11-27

  學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學】

  一、命題

  1.概念:對事情進行判斷的句子叫做命題.

  2.組成部分:命題由題設和結(jié)論兩部分組成.每個命題都可以寫成“如果??,那么??”的形式,“如果”的內(nèi)容部分是題設,“那么”的內(nèi)容部分是結(jié)論.

  3.分類:命題分為真命題和假命題兩種.判斷正確的命題稱為真命題,反之稱為假命題.驗證一個命題是真命題,要經(jīng)過證明;驗證一個命題是假命題,可以舉出一個反例.

  二、互逆命題

  1.概念:在兩個命題中,如果第一個命題的題設是第二個命題的結(jié)論,而第一個

  命題的結(jié)論是第二個命題的題設,那么這兩個命題叫做互逆命題,其中一個叫做原命題,則另一個就叫做它的逆命題.

  2.說明:

(1)任何一個命題都有逆命題,它們互為逆命題,“互逆”是指兩個命題之間的關(guān)系;

(2)把一個命題的題設和結(jié)論交換,就得到它的逆命題;

(3)原命題成立,它的逆命題不一定成立,反之亦然.

  三、互逆定理

  1.概念:如果一個定理的逆命題也是定理(即真命題),那么這兩個定理叫做互逆定理,其中一個定理叫做另一個定理的逆定理.

  2.說明:

(1)不是所有的定理都有逆定理,如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等,那么這兩個角是對頂角”,這是一個假命題,所以“對頂角相等”沒有逆定理.

(2)互逆定理和互逆命題的關(guān)系:互逆定理首先是互逆命題,是互逆命題中要求更為嚴謹?shù)囊活?,即互逆命題包含互逆定理.

  所以∠C=∠C’=90°,即△ABC是直角三角形.

【點石成金】

  例1. 指出下列命題的題設和結(jié)論,并寫出它們的逆命題.

(1)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補;

(2)直角三角形的兩個銳角互余;

(3)對頂角相等.

  分析:解題的關(guān)鍵是找出原命題的題設和結(jié)論,然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題.

(1)題設是“兩條平行線被第三條直線所截”,結(jié)論是“同旁內(nèi)角互補”;逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行”.

(2)題設是“如果一個三角形是直角三角形”,結(jié)論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”;逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余,那么這個三角形是直角三角形”.

(3)題設是“如果兩個角是對頂角”,結(jié)論是“那么這兩個角相等”;逆命題是“如果有兩個角相等,那么它們是課題:幾何證明

  對頂角”.

  名師點金:當一個命題的逆命題不容易寫時,可以先把這個命題寫成“如果??,那么??”的形式,然后再把題設和結(jié)論倒過來即可.

  例2.某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,那么這個三角形是直角三角形”,你認為他寫得對嗎?

  分析:寫出一個命題的逆命題,是把原命題的題設和結(jié)論互換,但有時需要適當?shù)淖兺?,例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”,因為我們還沒有判斷出是等腰三角形,所以不能有“底角”這個概念.

  解:上面的寫法不對.原命題條件是直角三角形,斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼,該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊,就已經(jīng)承認了直角三角形,就不需要再得這個結(jié)論了.因此,逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形”.

  名師點金:在寫一個命題的逆命題時,千萬要注意一些專用詞的用法.

  例3.如圖,在△ABD和△ACE中,有下列四個等式:① AB=AC;②AD=AE;③ ∠1=∠2;④BD=CE.請你以其中三個等式作為題設,余下的作為結(jié)論,寫出一個真命題(要求寫出已知,求證及證明過程)

  解:選①②③作為題設,④作為結(jié)論.

  已知:如圖19—4—103,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.

  求證:BD=CE,證明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD.

  即∠BAD=∠CAE.

  在△BAD和△CAE中,AB=AC.∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(S.A.S.)∴BD=CE.

  名師點金:本題考查的是證明三角形的全等,但條件較為開放.當然,此題的條件還可以任選其他三個.

【練習】

  1.“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”的題設是____________________,結(jié)論是_________________________

  2.判斷:(1)任何一個命題都有逆命題.()

(2)任何一個定理都有逆定理.()

【升級演練】

  一、基礎鞏固

  1.下列語言是命題的是()

  A.畫兩條相等的線段B.等于同一個角的兩個角相等嗎

  C.延長線段AD到C,使OC=OAD.兩直線平行,內(nèi)錯角相等

  2.下列命題的逆命題是真命題的是()

  A.直角都相等B.鈍角都小于180。

  龍文教育浦東分校個性化教案

  C.如果x+y=0,那么x=y=0D.對頂角相等

  3.下列說法中,正確的是()

  A.一個定理的逆命題是正確的B.命題“如果x<0,y>0,那么xy<0”的逆命題是正確的C.任何命題都有逆命題

  D.定理、公理都應經(jīng)過證明后才能用

  4.下列這些真命題中,其逆命題也真的是()

  A.全等三角形的對應角相等

  B.兩個圖形關(guān)于軸對稱,則這兩個圖形是全等形

  C.等邊三角形是銳角三角形

  D.直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

  5.證明一個命題是假命題的方法有__________.

  6.將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

  7.舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題。

  二、探究提高

  8.下列說法中,正確的是()

  A.每個命題不一定都有逆命題B.每個定理都有逆定理

  C.真命題的逆命題仍是真命題D.假命題的逆命題未必是假命題

  9.下列定理中,沒有逆定理的是()

  A.內(nèi)錯角相等,兩直線平行B.直角三角形中兩銳角互余

  C.相反數(shù)的絕對值相等D.同位角相等,兩直線平行

  三、拓展延伸

  10.下列命題中的真命題是()

  A.銳角大于它的余角B.銳角大于它的補角

  C.鈍角大于它的補角D.銳角與鈍角之和等于平角

  11.已知下列命題:①相等的角是對頂角;②互補的角就是平角;③互補的兩個角一定是一個銳角,另一個為鈍角;④平行于同一條直線的兩直線平行;⑤鄰補角的平分線互相垂直.其中,正確命題的個數(shù)為()

  A.0個B.1個C.2個D.3個

  龍文教育浦東分校個性化教案

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