下面是范文網(wǎng)小編收集的趣味奧數(shù)教案模板共3篇(數(shù)學(xué)奧數(shù)教案)，供大家參閱。

趣味奧數(shù)教案模板共1

　　第一講 行程問(wèn)題

　　（一）

　　路程、時(shí)間、速度是行程問(wèn)題的三個(gè)基本量，它們之間的關(guān)系如下：

　　路程=時(shí)間×速度 時(shí)間=路程÷速度 速度=路程÷時(shí)間

　　這一講就是通過(guò)例題加深對(duì)這三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系的理解。

　　例1 一個(gè)車隊(duì)以4米/秒的速度緩緩?fù)ㄟ^(guò)一座長(zhǎng)200米的大橋，共用115秒。已知每輛車長(zhǎng)5米，兩車間隔10米。問(wèn)：這個(gè)車隊(duì)共有多少輛車？

　　分析與解：求車隊(duì)有多少輛車，需要先求出車隊(duì)的長(zhǎng)度，而車隊(duì)的長(zhǎng)度等于車隊(duì)115秒行的路程減去大橋的長(zhǎng)度。由“路程=時(shí)間×速度”可求出車隊(duì)115秒行的路程為4×115=460（米）。

　　故車隊(duì)長(zhǎng)度為460-200=260（米）。再由植樹問(wèn)題可得車隊(duì)共有車（260-5）÷（5+10）+1=18（輛）。

　　例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時(shí)的速度行進(jìn)，下午1點(diǎn)到；以15千米/時(shí)的速度行進(jìn)，上午11點(diǎn)到。如果希望中午12點(diǎn)到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進(jìn)？

　　分析與解：這道題沒(méi)有出發(fā)時(shí)間，沒(méi)有甲、乙兩地的距離，也就是說(shuō)既沒(méi)有時(shí)間又沒(méi)有路程，似乎無(wú)法求速度。這就需要通過(guò)已知條件，求出時(shí)間和路程。

　　假設(shè)A，B兩人同時(shí)從甲地出發(fā)到乙地，A每小時(shí)行10千米，下午1點(diǎn)到；B每小時(shí)行15千米，上午11點(diǎn)到。B到乙地時(shí)，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時(shí)間B比A多行的路程。因?yàn)锽比A每小時(shí)多行15-10=5（千米），所以B從甲地到乙地所用的時(shí)間是

　　20÷（15-10）=4（時(shí)）。

　　由此知，A，B是上午7點(diǎn)出發(fā)的，甲、乙兩地的距離是

　　15×4=60（千米）。

　　要想中午12點(diǎn)到，即想（12-7=）5時(shí)行60千米，速度應(yīng)為

　　60÷（12-7）=12（千米/時(shí)）。

　　例3 劃船比賽前討論了兩個(gè)比賽方案。第一個(gè)方案是在比賽中分別以米/秒和米/秒的速度各劃行賽程的一半；第二個(gè)方案是在比賽中分別以米/秒和米/秒的速度各劃行比賽時(shí)間的一半。這兩個(gè)方案哪個(gè)好？

　　分析與解：路程一定時(shí)，速度越快，所用時(shí)間越短。在這兩個(gè)方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個(gè)方案中，因?yàn)閮煞N速度劃行的時(shí)間相同，所以以米/秒的速度劃行的路程比以米/秒的速度劃行的路程長(zhǎng)。用單線表示以米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個(gè)方案的比較圖。其中，甲段+乙段=丙段。

　　在甲、丙兩段中，兩個(gè)方案所用時(shí)間相同；在乙段，因?yàn)槁烦滔嗤?，且第二種方案比第一種方案速度快，所以第二種方案比第一種方案所用時(shí)間短。

　　綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時(shí)間比第一種方案少，即第二種方案好。

　　例4 小明去爬山，上山時(shí)每小時(shí)行千米，下山時(shí)每小時(shí)行4千米，往返共用時(shí)。問(wèn)：小明往返一趟共行了多少千米？

　　分析與解：因?yàn)樯仙胶拖律降穆烦滔嗤?，所以若能求出上山?千米和下山走1千米一共需要的時(shí)間，則可以求出上山及下山的總路程。

　　因?yàn)樯仙健⑾律礁髯?千米共需

　　所以上山、下山的總路程為

　　在行程問(wèn)題中，還有一個(gè)平均速度的概念：平均速度=總路程÷總時(shí)間。

　　例如，例4中上山與下山的平均速度是

　　例5一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，如果它在三條邊上每分鐘分別爬行50，20，40厘米，那么螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？

　　解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為l厘米，則螞蟻爬行一周需要的時(shí)間為 （分鐘）

　　???螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行

　　311 31??29(厘米）

　　在行程問(wèn)題中有一類“流水行船”問(wèn)題，在利用路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系解答這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意各種速度的含義及相互關(guān)系：

　　順流速度=靜水速度+水流速度， 逆流速度=靜水速度-水流速度， 靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2， 水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。

　　此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。

　　例6 兩個(gè)碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時(shí)，逆流而上行完全程需19時(shí)。求這條河的水流速度。

　　解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2=（418÷11-418÷19）÷

　　2 =（38-22）÷2=8（千米/時(shí)）

　　答：這條河的水流速度為8千米/時(shí)。

　　課堂練習(xí)：

　　1.小燕上學(xué)時(shí)騎車，回家時(shí)步行，路上共用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時(shí)間。

　　2.已知鐵路橋長(zhǎng)1000米，一列火車從橋上通過(guò)，測(cè)得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時(shí)間為80秒。求火車的速度和長(zhǎng)度。

　　3.某人要到60千米外的農(nóng)場(chǎng)去，開始他以5千米/時(shí)的速度步行，后來(lái)有輛速度為18千米/時(shí)的拖拉機(jī)把他送到了農(nóng)場(chǎng)，總共用了時(shí)。問(wèn)：他步行了多遠(yuǎn)？

　　課后作業(yè)：

　　姓名：

　　分?jǐn)?shù)：

　　1.小紅上山時(shí)每走30分鐘休息10分鐘，下山時(shí)每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的倍，如果上山用了3時(shí)50分，那么下山用了多少時(shí)間？

　　2.汽車以72千米/時(shí)的速度從甲地到乙地，到達(dá)后立即以48千米/時(shí)的速度返回甲地。求該車的平均速度。

　　3.兩地相距480千米，一艘輪船在其間航行，順流需16時(shí)，逆流需20時(shí)，求水流的速度。

　　4.一艘輪船在河流的兩個(gè)碼頭間航行，順流需要6時(shí)，逆流需要8時(shí)，水流速度為千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度。

　　第二講 行程問(wèn)題

　　（二）

　　本講重點(diǎn)講相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題。在這兩個(gè)問(wèn)題中，路程、時(shí)間、速度的關(guān)系表現(xiàn)為：

　　在實(shí)際問(wèn)題中，總是已知路程、時(shí)間、速度中的兩個(gè)，求另一個(gè)。

　　例1甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米。兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后3時(shí)，甲車到達(dá)B地。求A，B兩地的距離。

　　分析與解：先畫示意圖如下：

　　圖中C點(diǎn)為相遇地點(diǎn)。因?yàn)閺腃點(diǎn)到B點(diǎn)，甲車行3時(shí)，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。

　　這120千米乙車行了120÷60=2（時(shí)），說(shuō)明相遇時(shí)兩車已各行駛了2時(shí)，所以A，B兩地的距離是 （40+60）×2=200（千米）。

　　例2小明每天早晨按時(shí)從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時(shí)刻相遇。有一天小明提前出門，因此比平時(shí)早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時(shí)提前多少分鐘出門？

　　分析與解：因?yàn)樘崆?分鐘相遇，說(shuō)明李大爺出門時(shí)，小明已經(jīng)比平時(shí)多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），

　　所以小明比平時(shí)早出門900÷60=15（分）。

　　例3小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時(shí)迎面開來(lái)一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過(guò)他身旁共用18秒。已知火車全長(zhǎng)342米，求火車的速度。

　　分析與解：

　　在上圖中，A是小剛與火車相遇地點(diǎn)，B是小剛與火車離開地點(diǎn)。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車頭從A走到C，因?yàn)镃到B正好是火車的長(zhǎng)度，所以18秒小剛與火車共行了342米，推知小剛與火車的速度和是342÷18=19（米/秒），

　　從而求出火車的速度為19-2=17（米/秒）。

　　例4 鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機(jī)正以20千米/時(shí)的速度行駛。這時(shí)，一列火車以56千米/時(shí)的速度從后面開過(guò)來(lái)，火車從車頭到車尾經(jīng)過(guò)拖拉機(jī)身旁用了37秒。求火車的全長(zhǎng)。

　　分析與解

　　與例3類似，只不過(guò)由相向而行的相遇問(wèn)題變成了同向而行的追及問(wèn)題。由上圖知，37秒火車頭從B走到C，拖拉機(jī)從B走到A，火車比拖拉機(jī)多行一個(gè)火車車長(zhǎng)的路程。用米作長(zhǎng)度單位，用秒作時(shí)間單位，求得火車車長(zhǎng)為

　　速度差×追及時(shí)間

　　= [（-）÷3600]×37

　　= 370（米）。

　　例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長(zhǎng)300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針?lè)较蛲瑫r(shí)出發(fā)。已知甲每分走90米，乙每分走70米。問(wèn)：至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲才能看到乙？

　　分析與解：當(dāng)甲、乙在同一條邊（包括端點(diǎn)）上時(shí)甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需 300÷（90-70）=15（分），此時(shí)甲、乙的距離是一條邊長(zhǎng)，而甲走了90×15÷300=（條邊），位于某條邊的中點(diǎn)，乙位于另一條邊的中點(diǎn)，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需

　　例6 獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動(dòng)作快，獵狗跑3步的時(shí)間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠(yuǎn)才能追上野兔？

　　分析與解：這道題條件比較隱蔽，時(shí)間、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關(guān)系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣變換）：

　　（1）獵狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；

　?。?）獵狗跑12步的時(shí)間等于兔子跑16步的時(shí)間。

　　由此知，在獵狗跑12步的這段時(shí)間里，獵狗能跑12步，相當(dāng)于兔子跑

　　也就是說(shuō)，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。

　　課堂練習(xí) ，B兩村相距2800米，小明從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發(fā)，又經(jīng)過(guò)10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？

　　2.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米，兔子一跳前進(jìn)米，狗跳3次的時(shí)間兔子跳4次。兔子跑出多遠(yuǎn)將被獵狗追上？

　　3.甲、乙兩人從周長(zhǎng)為1600米的正方形水池相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人第一次在同一邊上行走？

　　課后作業(yè)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的倍，求A，B兩地的距離。

　　2.小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)？

　　3.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長(zhǎng)是280米，慢長(zhǎng)的車長(zhǎng)是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過(guò)的時(shí)間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過(guò)的時(shí)間是多少秒？

　　4.甲、乙二人同時(shí)從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結(jié)果在甲即將休息的時(shí)刻兩人同時(shí)到達(dá)B地。問(wèn)：A，B兩地相距多遠(yuǎn)？

　　第三講 盈虧問(wèn)題

　　人們?cè)诜謻|西的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到剩余（盈）或不足（虧），根據(jù)分東西過(guò)程中的盈或虧所編成的應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。

　　例1 小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友分多少粒糖？

　　分析：由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之差為5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15÷1＝15（人），糖果的粒數(shù)為

　　4×15＋9＝69（粒）。 解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人）， 4×15＋9＝69（粒）。

　　答：有15個(gè)小朋友，分69粒糖。

　　例2 小朋友分糖果，若每人分3粒則剩2粒；若每人分5粒則少6粒。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友？多少粒糖果？

　　分析：本題與例1基本相同，例1中兩次分配數(shù)之差是5-4=1（粒），本題中兩次分配數(shù)之差是5-3＝2（粒）。例1中，兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為9＋6＝15（粒），本題中，兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。 解：（6＋2）÷（4—2）＝4（人），

　　3×4＋2＝14（粒）。

　　答：有4個(gè)小朋友，14粒糖果。

　　由例

　　1、例2看出，所謂盈虧問(wèn)題，就是把一定數(shù)量的東西分給一定數(shù)量的人，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過(guò)來(lái)求出分配的總?cè)藬?shù)與被分配東西的總數(shù)量。解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額（盈數(shù)+虧數(shù)），由此得到求解盈虧問(wèn)題的公式：

　　分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差。

　　需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果不一定總是一“盈”一“虧”，也會(huì)出現(xiàn)兩“盈”、兩“虧”、一“不盈不虧”一“盈”或“虧”等情況。

　　例3 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，則有3個(gè)小朋友分不到糖果。問(wèn)：有多少粒糖果？

　　分析與解：第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧16×3＝48（粒），所以盈虧總額是0＋48=48（粒），而兩次分配數(shù)之差是16—10＝6（粒）。由盈虧問(wèn)題的公式得

　　有小朋友（0＋16×3）÷（16—10）＝8（人），

　　有 糖10×8＝80（粒）。

　　例4 一批小朋友去買東西，若每人出10元?jiǎng)t多8元；若每人出7元?jiǎng)t少4元。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友？東西的價(jià)格是多少？ 分析與解：兩種購(gòu)物方案的盈虧總額是8＋4＝12（元），兩次分配數(shù)之差是10—7＝3（元）。由公式得到

　　小朋友的人數(shù)（8＋4）÷（10—7）＝4（人），

　　東西的價(jià)格是10×4—8＝32（元）。

　　例5 某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問(wèn)：學(xué)生有多少人？

　　分析：本題也是盈虧問(wèn)題，為清楚起見，我們將題中條件加以轉(zhuǎn)化。假設(shè)船數(shù)固定不變，題目的條件“如果增加一條船??”表示“如果每船坐6人，那么有6人無(wú)船可坐”；“如果減少一條船??”表示“如果每船坐9人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問(wèn)題來(lái)做，盈虧總額為6＋9=15（人），兩次分配的差為9—6＝3（人）。

　　解：（6＋9）÷（9—6）＝5（條），

　　6×5＋6=36（人）。

　　答：有36名學(xué)生。

　　例6在橋上用繩子測(cè)橋離水面的高度。若把繩子對(duì)折垂到水面，則余8米；若把繩子三折垂到水面，則余2米。問(wèn)：橋有多高？繩子有多長(zhǎng)？ 分析與解：因?yàn)榘牙K子對(duì)折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同樣，把繩子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。兩種方案都是“盈”，故盈虧總額為16——6=10（米），兩次分配數(shù)之差為3-2＝1（折），所以

　　橋高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），繩子的長(zhǎng)度為2×10＋8×2＝36（米）。

　　例7有若干個(gè)蘋果和若干個(gè)梨。如果按每1個(gè)蘋果配2個(gè)梨分堆，那么梨分完時(shí)還剩2個(gè)蘋果；如果按每3個(gè)蘋果配5個(gè)梨分堆，那么蘋果分完時(shí)還剩1個(gè)梨。問(wèn)：蘋果和梨各有多少個(gè)？

　　分析與解：容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到。原因在于第一種方案是1個(gè)蘋果“搭配”2個(gè)梨，第二種方案是3個(gè)蘋果“搭配”5個(gè)梨。如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個(gè)蘋果“搭配”若干個(gè)梨，那么問(wèn)題就好解決了。將原題條件變?yōu)椤?個(gè)蘋果搭配2個(gè)梨，缺4個(gè)梨；

　　有梨15×2-4＝26（個(gè)）。

　　例8樂(lè)樂(lè)家去學(xué)校上學(xué)，每分鐘走50米，走了2分鐘后，發(fā)覺(jué)按這樣的速度走下去，到學(xué)校就會(huì)遲到8分鐘。于是樂(lè)樂(lè)開始加快速度，每分鐘比原來(lái)多走10米，結(jié)果到達(dá)學(xué)校時(shí)離上課還有5分鐘。問(wèn)：樂(lè)樂(lè)家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

　　分析與解：樂(lè)樂(lè)從改變速度的那一點(diǎn)到學(xué)校，若每分鐘走50米，則要遲到8分鐘，也就是到上課時(shí)間時(shí)，他離學(xué)校還有50×8＝400（米）；若每分鐘多走10米，即每分鐘走60米，則到達(dá)學(xué)校時(shí)離上課還有5分鐘，如果一直走到上課時(shí)間，那么他將多走（50＋10）×5＝300（米）。所以盈虧總額，即總的路程相差

　　400＋300＝700（米）。

　　兩種走法每分鐘相差10米，因此所用時(shí)間為

　　700÷10＝70（分），

　　也就是說(shuō)，從樂(lè)樂(lè)改變速度起到上課時(shí)間有70分鐘。所以樂(lè)樂(lè)家到學(xué)校的距離為

　　50×（2＋70＋8）＝4000（米），

　　或 50×2＋60×（70—5）＝4000（米）。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友？多少粒糖？

　　2．一個(gè)汽車隊(duì)運(yùn)輸一批貨物，如果每輛汽車運(yùn)3500千克，那么貨物還剩下5000千克；如果每輛汽車運(yùn)4000千克，那么貨物還剩下500千克。問(wèn)：這個(gè)汽車隊(duì)有多少輛汽車？要運(yùn)的貨物有多少千克？

　　3．學(xué)校買來(lái)一批圖書。若每人發(fā)9本，則少25本；若每人發(fā)6本，則少7本。問(wèn)：有多少個(gè)學(xué)生？買了多少本圖書？

　　4.小紅家買來(lái)一籃桔子，分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。問(wèn)：小紅家買來(lái)多少只桔子？小紅家共有幾人？

　　5.食堂采購(gòu)員小李去買肉，如果買牛肉18千克，那么差4元；如果買豬肉20千克，那么多2元。已知牛肉、豬肉每千克差價(jià)8角，求牛肉、豬肉每千克各多少錢。

　　第四講

　　加法原理

　　例1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問(wèn)：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

　　分析與解：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（種）不同走法。

　　例2旗桿上最多可以掛兩面信號(hào)旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號(hào)旗各一面，如果用掛信號(hào)旗表示信號(hào)，最多能表示出多少種不同的信號(hào)？ 分析與解：根據(jù)掛信號(hào)旗的面數(shù)可以將信號(hào)分為兩類。第一類是只掛一面信號(hào)旗，有紅、黃、藍(lán)3種；第二類是掛兩面信號(hào)旗，有紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)、黃紅、藍(lán)紅、藍(lán)黃6種。所以一共可以表示出不同的信號(hào)

　　3＋6=9（種）。

　　以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。

　　加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 ??在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有 N=m1+m2+?+mn 種不同的方法。

　　乘法原理和加法原理是兩個(gè)重要而常用的計(jì)數(shù)法則，在應(yīng)用時(shí)一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和。

　　例3兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？

　　分析與解：兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。

　　因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€(gè)奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3×3=9（種）情況；同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9＋9＝18（種）。

　　例4用五種顏色給右圖的五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問(wèn)：共有多少種不同的染色方法？

　　分析與解：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因?yàn)樯弦恢v例4中，區(qū)域A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒(méi)有一個(gè)區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩種情況。

　　當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時(shí)，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3種顏色可選；D也有3種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有

　　5×4×3×3＝180（種）。

　　當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時(shí)，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B有3種顏色可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有

　　5×4×3×2×2＝240（種）。

　　再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有

　　180＋240=420（種）。 例5小明要登上10級(jí)臺(tái)階，他每一步只能登1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，他登上10級(jí)臺(tái)階共有多少種不同的登法？ 分析與解：登上第1級(jí)臺(tái)階只有1種登法。登上第2級(jí)臺(tái)階可由第1級(jí)臺(tái)階上去，或者從平地跨2級(jí)上去，故有2種登法。登上第3級(jí)臺(tái)階可從第1級(jí)臺(tái)階跨2級(jí)上去，或者從第2級(jí)臺(tái)階上去，所以登上第3級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)是登上第1級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)與登上第2級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)之和，共有1+2＝3（種）??一般地，登上第n級(jí)臺(tái)階，或者從第（n—1）級(jí)臺(tái)階跨一級(jí)上去，或者從第（n—2）級(jí)臺(tái)階跨兩級(jí)上去。根據(jù)加法原理，如果登上第（n—1）級(jí)和第（n—2）級(jí)分別有a種和b種方法，則登上第n級(jí)有（a＋b）種方法。因此只要知道登上第1級(jí)和第2級(jí)臺(tái)階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級(jí)的方法數(shù)。由登上第1級(jí)有1種方法，登上第2級(jí)有2種方法，可得出下面一串?dāng)?shù)：

　　1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。

　　其中從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和。登上第10級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)對(duì)應(yīng)這串?dāng)?shù)的第10個(gè)，即89。也可以在圖上直接寫出計(jì)算得出的登上各級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)（見下圖）。

　　例6沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法？

　　分析與解：如右上圖所示，先標(biāo)出到C點(diǎn)的走法數(shù)，再標(biāo)出到D點(diǎn)和E點(diǎn)的走法數(shù)，然后標(biāo)出到F點(diǎn)的走法數(shù)，最后標(biāo)出到B點(diǎn)的走法數(shù)。共有8種不同的走法。 例7有15根火柴，如果規(guī)定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？

　　分析與解：為了便于理解，可以將本題轉(zhuǎn)變?yōu)椤吧?5級(jí)臺(tái)階，每次上2級(jí)或3級(jí)，共有多少種上法？”所以本題的解題方法與例1類似（見下表）。

　　注意，因?yàn)槊看稳?或3根，所以取1根的方法數(shù)是0，取2根和取3根的方法數(shù)都是1。取4根的方法數(shù)是取1根與取2根的方法數(shù)之和，即0＋1＝1。依此類推，取n根火柴的方法數(shù)是取（n-3）根與?。╪-2）根的方法數(shù)之和。所以，這串?dāng)?shù)（取法數(shù)）中，從第4個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面第3個(gè)數(shù)與前面第2個(gè)數(shù)之和。取完15根火柴共有28種不同取法。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.南京去上海可以乘火車、乘飛機(jī)、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機(jī)、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？

　　2.光明小學(xué)

　　四、

　　五、六年級(jí)共訂300份報(bào)紙，每個(gè)年級(jí)至少訂99份報(bào)紙。問(wèn)：共有多少種不同的訂法？

　　3.將10顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法？

　　4.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法，

　　5.在下圖中，從A點(diǎn)沿最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同的路線？

　　第五講 還原問(wèn)題

　　有一位老人說(shuō)：“把我的年齡加上12，再用4除，再減去15后乘以10，恰好是100歲?！边@位老人有多少歲呢？解這個(gè)題目要從所敘述的最后結(jié)果出發(fā)，利用已給條件一步步倒著推算，同學(xué)們不難看出，這位老人的年齡是

　?。?00÷10＋15）×4—12＝88（歲）。

　　從這一例子可以看出，對(duì)于有些問(wèn)題，當(dāng)順著題目條件的敘述去尋找解法時(shí)，往往有一定的困難，但是，如果改變思考順序，從問(wèn)題敘述的最后結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著思考，一步一步往回算，原來(lái)加的用減，減的用加，原來(lái)乘的用除，除的用乘，那么問(wèn)題便容易解決。這種解題方法叫做還原法或逆推法，用還原法解題的問(wèn)題叫做還原問(wèn)題。

　　例1有一個(gè)數(shù)，把它乘以4以后減去46，再把所得的差除以3，然后減去10，最后得4。問(wèn)：這個(gè)數(shù)是幾？

　　分析：這個(gè)問(wèn)題是由

　?。ā酢?—46）÷3—10＝4，

　　求出□。我們倒著看，如果除以3以后不減去10，那么商應(yīng)該是4＋10＝14；如果在減去46以后不除以3，那么差該是14×3＝42；可知這個(gè)數(shù)乘以4后的積為42＋46＝88，因此這個(gè)數(shù)是88÷4=22。 解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。

　　答：這個(gè)數(shù)是22。

　　例2小馬虎在做一道加法題目時(shí)，把個(gè)位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到的“和”是123。問(wèn)：正確的結(jié)果應(yīng)是多少？

　　分析：利用還原法。因?yàn)榘褌€(gè)位上的5看成9，所以多加了4；又因?yàn)榘咽簧系?看成3，所以少加了50。在用還原法做題時(shí)，多加了的4應(yīng)減去，多減了的50應(yīng)加上。

　　解：123-4＋50＝169。

　　答：正確的結(jié)果應(yīng)是169。

　　例3學(xué)校運(yùn)來(lái)36棵樹苗，樂(lè)樂(lè)與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂(lè)樂(lè)先拿了若干樹苗，歡歡看到樂(lè)樂(lè)拿得太多，就搶了10棵，樂(lè)樂(lè)不肯，又從歡歡那里搶回來(lái)6棵，這時(shí)樂(lè)樂(lè)拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問(wèn)：最初樂(lè)樂(lè)拿了多少棵樹苗？

　　分析：先求樂(lè)樂(lè)與歡歡現(xiàn)在各拿了多少棵樹苗。學(xué)校共有樹苗36棵，樂(lè)樂(lè)拿的樹苗數(shù)是歡歡的2倍，所以歡歡現(xiàn)在拿了36÷（2＋1）=12（棵）樹苗，而樂(lè)樂(lè)現(xiàn)在拿了12×2＝24（棵）樹苗，樂(lè)樂(lè)從歡歡那里搶走了6棵后是24棵，如果不搶，那么樂(lè)樂(lè)有樹苗24-6＝18（棵），歡歡看樂(lè)樂(lè)拿得太多，去搶了10棵，如果歡歡不搶，那么樂(lè)樂(lè)就有18＋10＝28（棵）。 解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。

　　答：樂(lè)樂(lè)最初拿了28棵樹苗。

　　例4甲、乙、丙三組共有圖書90本，乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，結(jié)果三個(gè)組擁有相等數(shù)目的圖書。問(wèn)：甲、乙、丙三個(gè)組原來(lái)各有多少本圖書？ 分析與解：盡管甲、乙、丙三個(gè)組之間將圖書借來(lái)借去，但圖書的總數(shù)90本沒(méi)有變，由最后三個(gè)組擁有相同數(shù)目的圖書知道，每個(gè)組都有圖書90÷3＝30（本）。根據(jù)題目條件，原來(lái)各組的圖書為

　　甲組有30＋3＝33（本），

　　乙組有30—3＋5＝32（本），

　　丙組有30—5＝25（本）。 上一講我們講了還原問(wèn)題的基本思想和解法，下面再講一些較復(fù)雜的還原問(wèn)題和列表逆推法。

　　例5有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。問(wèn)：原來(lái)至少有多少枚棋子？

　　分析與解：棋子最少的情況是最后一次四等分時(shí)每份為1枚。由此逆推，得到

　　第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），

　　第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），

　　第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。

　　所以原來(lái)至少有85枚棋子。

　　例6袋里有若干個(gè)球，小明每次拿出其中的一半再放回一個(gè)球，這樣共操作了5次，袋中還有3個(gè)球。問(wèn)：袋中原有多少個(gè)球？

　　分析與解：利用逆推法從第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3個(gè)，第4次操作后有（3—1）×2＝4（個(gè)），第3次??為了簡(jiǎn)潔清楚，可以列表逆推如下：

　　所以原來(lái)袋中有34個(gè)球。 例7一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？

　　分析：由逆推法知，第二次用完還剩下15＋7=22（米），第一次用完還剩下（22—10）×2＝24（米），原來(lái)電線長(zhǎng)（24＋3）×2＝54（米）。 解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。

　　答：這捆電線原有54米。

　　課后作業(yè)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.某數(shù)加上11，減去12，乘以13，除以14，其結(jié)果等于26，這個(gè)數(shù)是多少？

　　2.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，其結(jié)果等于36，求這個(gè)數(shù)。

　　3.在125×□÷3×8—1=1999中，□內(nèi)應(yīng)填入什么數(shù)？

　　4.小樂(lè)爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，除以4，再減去6之后，乘以10，恰好是100。問(wèn)：小樂(lè)爺爺今年多少歲？

　　5.糧庫(kù)內(nèi)有一批面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問(wèn)：糧庫(kù)里原有面粉多少噸？

　　6.有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半個(gè)，第二只猴又拿走剩下的一半加半個(gè)，第

　　三、

　　四、五只猴照此方式辦理，最后還剩下一個(gè)桃。問(wèn)：原來(lái)有多少個(gè)桃？

　　第六講

　　智取火柴

　　在數(shù)學(xué)游戲中有一類取火柴游戲，它有很多種玩法，由于游戲的規(guī)則不同，取勝的方法也就不同。但不論哪種玩法，要想取勝，一定離不開用數(shù)學(xué)思想去推算。

　　例1桌子上放著60根火柴，甲、乙二人輪流每次取走1～3根。規(guī)定誰(shuí)取走最后一根火柴誰(shuí)獲勝。如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰(shuí)將獲勝？

　　分析與解：本題采用逆推法分析。獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時(shí)，必須留給對(duì)方4根，此時(shí)無(wú)論對(duì)方取1，2或3根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，獲勝方要想留給對(duì)方4根，在倒數(shù)第三次取時(shí)，必須留給對(duì)方8根??由此可知，獲勝方只要每次留給對(duì)方的都是4的倍數(shù)根，則必勝。現(xiàn)在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留給乙4的倍數(shù)根，而甲每次取完后，乙再取都可以留給甲4的倍數(shù)根，所以在雙方都采用最佳策略的情況下，乙必勝。

　　在例1中為什么一定要留給對(duì)方4的倍數(shù)根，而不是5的倍數(shù)根或其它倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在于規(guī)定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在兩人緊接著的兩次取火柴中，后取的總能保證兩人取的總數(shù)是4。利用這一特點(diǎn)，就能分析出誰(shuí)采用最佳方法必勝，最佳方法是什么。由此出發(fā)，對(duì)于例1的各種變化，都能分析出誰(shuí)能獲勝及獲勝的方法。

　　例2在例1中將“每次取走1～3根”改為“每次取走1～6根”，其余不變，情形會(huì)怎樣？

　　分析與解：由例1的分析知，只要始終留給對(duì)方（1+6=）7的倍數(shù)根火柴，就一定獲勝。因?yàn)?0÷7＝8??4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍數(shù)，以后總留給乙7的倍數(shù)根火柴，甲必勝。

　　由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者獲勝的規(guī)定下，誰(shuí)能做到總給對(duì)方留下（1+n）的倍數(shù)根火柴，誰(shuí)將獲勝。

　　例3將例1中“誰(shuí)取走最后一根火柴誰(shuí)獲勝”改為“誰(shuí)取走最后一根火柴誰(shuí)輸”，其余不變，情形又將如何？

　　分析與解：最后留給對(duì)方1根火柴者必勝。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留給對(duì)方4的倍數(shù)加1根火柴必勝。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都將除以4余1的根數(shù)留給乙，甲必勝。

　　由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者為負(fù)的規(guī)定下，誰(shuí)能做到總給對(duì)方留下（1＋n）的倍數(shù)加1根火柴，誰(shuí)將獲勝。

　　有許多游戲雖然不是取火柴的形式，但游戲取勝的方法及分析思路與取火柴游戲完全相同。

　　例4兩人從1開始按自然數(shù)順序輪流依次報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)1～5個(gè)數(shù)，誰(shuí)先報(bào)到50誰(shuí)勝。你選擇先報(bào)數(shù)還是后報(bào)數(shù)？怎樣才能獲勝？

　　分析與解：對(duì)照例

　　1、例2可以看出，本例是取火柴游戲的變形。因?yàn)?0÷（1＋5）＝8??2，所以要想獲勝，應(yīng)選擇先報(bào)，第一次報(bào)2個(gè)數(shù)，剩下48個(gè)數(shù)是（1＋5＝）6的倍數(shù)，以后總把6的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方，必勝。 例個(gè)空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后輪流向右移動(dòng)棋子，每次移動(dòng)1～7格。規(guī)定將棋子移到最后一格者輸。甲為了獲勝，第一步必須向右移多少格？ 分析與解：本例是例3的變形，但應(yīng)注意，一開始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（個(gè)）空格。由例3知，只要甲始終留給乙（1+7=）8的倍數(shù)加1格，就可獲勝。

　?。?11-1）÷（1＋7）＝138??6，

　　所以甲第一步必須移5格，還剩下1105格，1105是8的倍數(shù)加1。以后無(wú)論乙移幾格，甲下次移的格數(shù)與乙移的格數(shù)之和是8，甲就必勝。因?yàn)榧滓仆旰?，給乙留下的空格數(shù)永遠(yuǎn)是8的倍數(shù)加1。

　　例6今有兩堆火柴，一堆35根，另一堆24根。兩人輪流在其中任一堆中拿取，取的根數(shù)不限，但不能不取。規(guī)定取得最后一根者為贏。問(wèn)：先取者有何策略能獲勝？

　　分析與解：本題雖然也是取火柴問(wèn)題，但由于火柴的堆數(shù)多于一堆，故本題的獲勝策略與前面的例題完全不同。

　　先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下兩堆的火柴數(shù)相同。以后無(wú)論對(duì)手在某一堆取幾根火柴，你只須在另一堆也取同樣多根火柴。只要對(duì)手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是說(shuō)，最后一根火柴總會(huì)被你拿到。這樣先取者總可獲勝。

　　請(qǐng)同學(xué)們想一想，如果在上面玩法中，兩堆火柴數(shù)目一開始就相同，例如兩堆都是35根火柴，那么先取者還能獲勝嗎？

　　例7有3堆火柴，分別有1根、2根與3根火柴。甲先乙后輪流從任意一堆里取火柴，取的根數(shù)不限，規(guī)定誰(shuí)能取到最后一根或最后幾根火柴就獲勝。如果采用最佳方法，那么誰(shuí)將獲勝？

　　分析與解：根據(jù)例6的解法，誰(shuí)在某次取過(guò)火柴之后，恰好留下兩堆數(shù)目相等的火柴，誰(shuí)就能取勝。

　　甲先取，共有六種取法：從第1堆里取1根，從第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。無(wú)論哪種取法，乙采取正確的取法，都可以留下兩堆數(shù)目相等的火柴（同學(xué)們不妨自己試試），所以乙采用最佳方法一定獲勝。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.桌上有30根火柴，兩人輪流從中拿取，規(guī)定每人每次可取1～3根，且取最后一根者為贏。問(wèn)：先取者如何拿才能保證獲勝？

　　2.有1999個(gè)球，甲、乙兩人輪流取球，每人每次至少取一個(gè)，最多取5個(gè)，取到最后一個(gè)球的人為輸。如果甲先取，那么誰(shuí)將獲勝？

　　3.甲、乙二人輪流報(bào)數(shù)，甲先乙后，每次每人報(bào)1～4個(gè)數(shù)，誰(shuí)報(bào)到第888個(gè)數(shù)誰(shuí)勝。誰(shuí)將獲勝？怎樣獲勝？

　　4.有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取，取的枚數(shù)不限，但不能不取，誰(shuí)取到最后一枚棋子誰(shuí)獲勝。如果甲后取，那么他一定能獲勝嗎？

　　第七講 邏輯問(wèn)題

　　在日常生活中，有些問(wèn)題常常要求我們主要通過(guò)分析和推理，而不是計(jì)算得出正確的結(jié)論。這類判斷、推理問(wèn)題，就叫做邏輯推理問(wèn)題，簡(jiǎn)稱邏輯問(wèn)題。這類題目與我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)題目有很大不同，題中往往沒(méi)有數(shù)字和圖形，也不用我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，而是根據(jù)已知條件，分析推理，得到答案。

　　本講介紹利用列表法求解邏輯問(wèn)題。

　　例1小王、小張和小李一位是工人，一位是農(nóng)民，一位是教師，現(xiàn)在只知道：小李比教師年齡大；小王與農(nóng)民不同歲；農(nóng)民比小張年齡小。問(wèn)：誰(shuí)是工人？誰(shuí)是農(nóng)民？誰(shuí)是教師？ 分析與解：由題目條件可以知道：小李不是教師，小王不是農(nóng)民，小張不是農(nóng)民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

　　因?yàn)樽笊媳碇校我恍?、任一列只能有一個(gè)“√”，其余是“×”，所以小李是農(nóng)民，于是得到右上表。

　　因?yàn)檗r(nóng)民小李比小張年齡小，又小李比教師年齡大，所以小張比教師年齡大，即小張不是教師。因此得到左下表，從而得到右下表，即小張是工人，小李是農(nóng)民，小王是教師。

　　例1中采用列表法，使得各種關(guān)系更明確。為了講解清楚，例題中畫了幾個(gè)表，實(shí)際解題時(shí)，不用畫這么多表，只在一個(gè)表中先后畫出各種關(guān)系即可。需要注意的是：①第一步應(yīng)將題目條件給出的關(guān)系畫在表上，然后再依次將分析推理出的關(guān)系畫在表上；②每行每列只能有一個(gè)“√”，如果出現(xiàn)了一個(gè)“√”，它所在的行和列的其余格中都應(yīng)畫“×”。

　　在下面的例題中，“√”和“×”的含義是很明顯的，不再單獨(dú)解釋。 例2劉剛、馬輝、李強(qiáng)三個(gè)男孩各有一個(gè)妹妹，六個(gè)人進(jìn)行乒乓球混合雙打比賽。事先規(guī)定：兄妹二人不許搭伴。

　　第一盤：劉剛和小麗對(duì)李強(qiáng)和小英；

　　第二盤：李強(qiáng)和小紅對(duì)劉剛和馬輝的妹妹。問(wèn)：三個(gè)男孩的妹妹分別是誰(shuí)？ 分析與解：因?yàn)樾置枚瞬辉S搭伴，所以題目條件表明：劉剛與小麗、李強(qiáng)與小英、李強(qiáng)與小紅都不是兄妹。由第二盤看出，小紅不是馬輝的妹妹。將這些關(guān)系畫在左下表中，由左下表可得右下表。

　　劉剛與小紅、馬輝與小英、李強(qiáng)與小麗分別是兄妹。 例3甲、乙、丙每人有兩個(gè)外號(hào)，人們有時(shí)以“數(shù)學(xué)博士”、“短跑健將”、“跳高冠軍”、“小畫家”、“大作家”和“歌唱家”稱呼他們。此外：

　　（1）數(shù)學(xué)博士夸跳高冠軍跳得高；

　?。?）跳高冠軍和大作家常與甲一起去看電影；

　?。?）短跑健將請(qǐng)小畫家畫賀年卡；

　　（4）數(shù)學(xué)博士和小畫家很要好；

　?。?）乙向大作家借過(guò)書；

　?。?）丙下象棋常贏乙和小畫家。

　　你知道甲、乙、丙各有哪兩個(gè)外號(hào)嗎？

　　分析與解：由（2）知，甲不是跳高冠軍和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小畫家。由此可得到下表：

　　因?yàn)榧资切‘嫾?，所以由?）（4）知甲不是短跑健將和數(shù)學(xué)博士，推知甲是歌唱家。因?yàn)楸谴笞骷遥杂桑?）知丙不是跳高冠軍，推知乙是跳高冠軍。因?yàn)橐沂翘吖谲?，所以由?）知乙不是數(shù)學(xué)博士。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表：

　　所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，例1四個(gè)小朋友寶寶、星星、強(qiáng)強(qiáng)和樂(lè)樂(lè)在院子里踢足球，一陣響聲，驚動(dòng)了正在讀書的陸老師，陸老師跑出來(lái)查看，發(fā)現(xiàn)一塊窗戶玻璃被打破了。陸老師問(wèn)：“是誰(shuí)打破了玻璃？”

　　寶寶說(shuō)：“是星星無(wú)意打破的。”

　　星星說(shuō)：“是樂(lè)樂(lè)打破的。”

　　樂(lè)樂(lè)說(shuō)：“星星說(shuō)謊?！?/p>

　　強(qiáng)強(qiáng)說(shuō)：“反正不是我打破的。”

　　如果只有一個(gè)孩子說(shuō)了實(shí)話，那么這個(gè)孩子是誰(shuí)？是誰(shuí)打破了玻璃？

　　分析與解：因?yàn)樾切呛蜆?lè)樂(lè)說(shuō)的正好相反，所以必是一對(duì)一錯(cuò)，我們可以逐一假設(shè)檢驗(yàn)。

　　假設(shè)星星說(shuō)得對(duì)，即玻璃窗是樂(lè)樂(lè)打破的，那么強(qiáng)強(qiáng)也說(shuō)對(duì)了，這與“只有一個(gè)孩子說(shuō)了實(shí)話”矛盾，所以星星說(shuō)錯(cuò)了。

　　假設(shè)樂(lè)樂(lè)說(shuō)對(duì)了，按題意其他孩子就都說(shuō)錯(cuò)了。由強(qiáng)強(qiáng)說(shuō)錯(cuò)了，推知玻璃是強(qiáng)強(qiáng)打破的。寶寶、星星確實(shí)都說(shuō)錯(cuò)了。符合題意。

　　所以是強(qiáng)強(qiáng)打破了玻璃。

　　由例1看出，用假設(shè)法解邏輯問(wèn)題，就是根據(jù)題目的幾種可能情況，逐一假設(shè)。如果推出矛盾，那么假設(shè)不成立；如果推不出矛盾，那么符合題意，假設(shè)成立。

　　例4甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參加全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)。賽前甲、乙、丙分別做了預(yù)測(cè)。

　　甲說(shuō)：“丙第1名，我第3名。”

　　乙說(shuō)：“我第1名，丁第4名?！?/p>

　　丙說(shuō)：“丁第2名，我第3名。”

　　成績(jī)揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們每人只說(shuō)對(duì)了一半，你能說(shuō)出他們的名次嗎？ 分析與解：我們以“他們每人只說(shuō)對(duì)了一半”作為前提，進(jìn)行邏輯推理。

　　假設(shè)甲說(shuō)的第一句話“丙第1名”是對(duì)的，第二句話“我第3名”是錯(cuò)的。由此推知乙說(shuō)的“我第1名”是錯(cuò)的，“丁第4名”是對(duì)的；丙說(shuō)的“丁第2名”是錯(cuò)的，“丙第3名”是對(duì)的。這與假設(shè)“丙第1名是對(duì)的”矛盾，所以假設(shè)不成立。

　　再假設(shè)甲的第二句“我第3名”是對(duì)的，那么丙說(shuō)的第二句“我第3名”是錯(cuò)的，從而丙說(shuō)的第一句話“丁第2名”是對(duì)的；由此推出乙說(shuō)的“丁第4名”是錯(cuò)的，“我第1名”是對(duì)的。至此可以排出名次順序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

　　例5甲、乙、丙、丁在談?wù)撍麄兗八麄兊耐瑢W(xué)何偉的居住地。

　　甲說(shuō)：“我和乙都住在北京，丙住在天津?！?/p>

　　乙說(shuō)：“我和丁都住在上海，丙住在天津。”

　　丙說(shuō)：“我和甲都不住在北京，何偉住在南京。”

　　丁說(shuō)：“甲和乙都住在北京，我住在廣州?！?/p>

　　假定他們每個(gè)人都說(shuō)了兩句真話，一句假話。問(wèn)：不在場(chǎng)的何偉住在哪兒？ 分析與解：因?yàn)榧?、乙都說(shuō)“丙住在天津，”我們可以假設(shè)這句話是假話，那么甲、乙的前兩句應(yīng)當(dāng)都是真話，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假設(shè)不成立，即“丙住在天津”是真話。

　　因?yàn)榧椎那皟删湓捴杏幸痪浼僭?，而甲、丁兩人的前兩句話相同，所以丁的第三句話“我住在廣州”是真的。由此知乙的第二句話“丁住在上海”是假話，第一句“我住在上海”是真話；進(jìn)而推知甲的第二句是假話，第一句“我住在北京”是真話；最后推知丙的第二句話是假話，第三句“何偉住在南京”是真話。

　　所以，何偉住在南京。

　　在解答邏輯問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要將列表法與假設(shè)法結(jié)合起來(lái)。一般是在使用列表法中，出現(xiàn)不可確定的幾種選擇時(shí)，結(jié)合假設(shè)法，分別假設(shè)檢驗(yàn)，以確定正確的結(jié)果。

　　例6一天，老師讓小馬虎把甲、乙、丙、丁、戊的作業(yè)本帶回去，小馬虎見到這五人后就一人給了一本，結(jié)果全發(fā)錯(cuò)了?，F(xiàn)在知道：

　　（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；

　?。?）乙拿的不是丙的，也不是丁的；

　?。?）丙拿的不是乙的，也不是戊的；

　?。?）丁拿的不是丙的，也不是戊的；

　?。?）戊拿的不是丁的，也不是甲的。另外，沒(méi)有兩人相互拿錯(cuò)（例如甲拿乙的，乙拿甲的）。

　　問(wèn)：丙拿的是誰(shuí)的本？丙的本被誰(shuí)拿走了？ 分析與解：根據(jù)“全發(fā)錯(cuò)了”及條件（1）～（5），可以得到表1：

　　由表1看出，丁的本被丙拿了。此時(shí)，再繼續(xù)推理分析不大好下手，我們可用假設(shè)法。由表1知，甲拿的本不是丙的就是戊的。

　　先假設(shè)甲拿了丙的本。于是得到表2，表2中乙拿戊的本，戊拿乙的本。兩人相互拿錯(cuò)，不合題意。

　　再假設(shè)甲拿戊的本。于是可得表3，經(jīng)檢驗(yàn)，表3符合題意。

　　所以丙拿了丁的本，丙的本被戊拿去了。

　　丙是數(shù)學(xué)博士和大作家。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.甲、乙、丙分別是來(lái)自中國(guó)、日本和英國(guó)的小朋友。甲不會(huì)英文，乙不懂日語(yǔ)卻與英國(guó)小朋友熱烈交談。問(wèn)：甲、乙、丙分別是哪國(guó)的小朋友？

　　2.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。

　?。?）電工只和車工下棋；

　　（2）王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋； （3）徐師傅與電工下棋互有勝負(fù)； （4）陳師傅比鉗工下得好。

　　問(wèn)：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？

　　3.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，A，B，C，D，E五位同學(xué)分別得了前五名（沒(méi)有并列同一名次的），關(guān)于各人的名次大家作出了下面的猜測(cè)：

　　A說(shuō)：“第二名是D，第三名是B?！?/p>

　　B說(shuō)：“第二名是C，第四名是E?！?/p>

　　C說(shuō)：“第一名是E，第五名是A?！?/p>

　　D說(shuō)：“第三名是C，第四名是A?！?/p>

　　E說(shuō)：“第二名是B，第五名是D。”結(jié)果每人都只猜對(duì)了一半，他們的名次如何？

　　第八講 抽屜原理

　　如果將5個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。道理很簡(jiǎn)單，如果每個(gè)抽屜中放的蘋果都少于2個(gè)，即放1個(gè)或不放，那么3個(gè)抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個(gè)蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。

　　同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿籠里，那么一定有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。

　　以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。

　　抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。

　　說(shuō)明這個(gè)原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個(gè)抽屜中的物品或者是一件，或者沒(méi)有。這樣，n個(gè)抽屜中所放物品的總數(shù)就不會(huì)超過(guò)n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。

　　從最不利原則也可以說(shuō)明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入1件物品，共放入n件物品，此時(shí)再放入1件物品，無(wú)論放入哪個(gè)抽屜，都至少有1個(gè)抽屜不少于2件物品。這就說(shuō)明了抽屜原理1。

　　例1某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？ 分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個(gè)抽屜，將367名小朋友看作367個(gè)物品。這樣，把367個(gè)物品放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

　　例2在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？ 分析與解：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜”。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里。

　　將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除。

　　例3在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？

　　分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2。現(xiàn)在，對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來(lái)加以討論。

　　第一種情形。有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。

　　第二種情形。至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。

　　綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。 例4在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米？

　　分析與解：把長(zhǎng)度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長(zhǎng)度是1厘米（見下圖）。

　　將每段線段看成是一個(gè)“抽屜”，一共有10個(gè)抽屜。現(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）。由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會(huì)大于1厘米。

　　所以，在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米。

　　例5有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？ 分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來(lái)考慮抽屜的設(shè)計(jì)。

　　對(duì)于每堆水果中的蘋果、桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有4種情形：

　?。ㄆ妫妫?，（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

　　其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性。

　　將這4種情形看成4個(gè)抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。

　　先看一個(gè)例子：如果將13只鴿子放進(jìn)6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡(jiǎn)單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無(wú)論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

　　抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

　　說(shuō)明這一原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個(gè)抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個(gè)抽屜中可放物品的總數(shù)就不會(huì)超過(guò)m×n件。這與多于m×n件物品的假設(shè)相矛盾。這說(shuō)明一開始的假定不能成立。所以至少有一個(gè)抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。

　　從最不利原則也可以說(shuō)明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時(shí)再放入1件物品，無(wú)論放入哪個(gè)抽屜，都至少有一個(gè)抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說(shuō)明了抽屜原理2。

　　不難看出，當(dāng)m＝1時(shí)，抽屜原理2就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。

　　例6某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會(huì)有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

　　分析與解：將40名小朋友看成40個(gè)抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應(yīng)用抽屜原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個(gè)抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說(shuō)，至少會(huì)有一個(gè)小朋友得到4件或4件以上的玩具。 例7一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問(wèn)：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？ 分析與解：將1，2，3，4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號(hào)碼相同的木塊。

　　例8六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問(wèn)：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

　　分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

　　訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

　　訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

　　訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

　　總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?00＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到兩個(gè)生日是在同一天的小朋友？

　　2.班上有50名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書？

　　3.在任意三個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的和為偶數(shù)？

　　4.幼兒園買來(lái)不少玩具小汽車、小火車、小飛機(jī)，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么至少要有幾個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？

　　5.一興趣小組有10名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙兩種雜志中的一種或兩種。問(wèn)：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

　　第九講 高斯求和

　　德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過(guò)人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：

　　1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？

　　老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來(lái)小高斯通過(guò)細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

　?。?+100）×100÷2＝5050。

　　小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問(wèn)題。

　　若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：

　?。?）1，2，3，4，5，?，100；

　　（2）1，3，5，7，9，?，99；

　　（3）8，15，22，29，36，?，71。

　　其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。 例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？

　　分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）×1999÷2＝。

　　注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。

　　例2 11＋12＋13＋?＋31＝？

　　分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。

　　原式=（11+31）×21÷2=441。

　　在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1， 末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。 例3 3＋7＋11＋?＋99＝？

　　分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，

　　項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，

　　原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

　　例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。 解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，

　　和=（25＋142）×40÷2＝3340。

　　利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問(wèn)題。 例5 在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。問(wèn)：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？

　　分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：

　　由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。 解：（1）最大三角形面積為

　　（1＋3＋5＋?＋15）×1

　　2 ＝［（1＋15）×8÷2］×12

　?。?68（厘米2）。

　　（2）火柴棍的數(shù)目為

　　3＋6＋9+?+24

　?。剑?＋24）×8÷2=108（根）。

　　答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。

　　例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？

　　分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

　　2×1＋2×2＋?＋2×10

　　＝2×（1＋2＋?＋10）

　?。?×55＝110（只）。

　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

　　綜合列式為：

　?。?-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

　　課后練習(xí)

　　姓名：

　　分?jǐn)?shù)：

　　1.計(jì)算下列各題： （1）2＋4＋6＋?＋200；

　　（2）17＋19＋21＋?＋39；

　　（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；

　?。?）3＋10＋17＋24＋?＋101。

　　2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。

　　3.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。

　　4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問(wèn)：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？

　　第十講 雞兔同籠問(wèn)題與假設(shè)法

　　雞兔同籠問(wèn)題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國(guó)古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問(wèn)題來(lái)加以計(jì)算。 例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問(wèn)：小梅家的雞與兔各有多少只？

　　分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2，就可以求出兔的只數(shù)。 解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），

　　有雞16-6＝10（只）。

　　答：有6只兔，10只雞。

　　當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個(gè)2，就可以求出雞的只數(shù)。

　　有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），

　　有兔16——10＝6（只）。

　　由例1看出，解答雞兔同籠問(wèn)題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。 例2 100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃。問(wèn)：大、小和尚各有多少人？

　　分析與解：本題由中國(guó)古算名題“百僧分饃問(wèn)題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問(wèn)題，可以用假設(shè)法來(lái)解。

　　假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300－140＝160（個(gè)）。現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個(gè)），因?yàn)?60÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

　　100－80＝20（人）。

　　同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。

　　在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

　　例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問(wèn)：兩種文化用品各買了多少套？

　　分析與解：我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問(wèn)題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問(wèn)題了。

　　假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實(shí)際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

　　買普通文化用品 24÷8=3（套），

　　買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

　　例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問(wèn)：雞、兔各多少只？

　　分析：假設(shè)100只都是雞，沒(méi)有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說(shuō)明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200——20=180（只）。

　　現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。 解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），

　　有雞100——30=70（只）。

　　答：有雞70只，兔30只。

　　例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問(wèn)：大、小瓶各有多少個(gè)？

　　分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個(gè)），

　　大瓶有50-30＝20（個(gè)）。

　　答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。

　　例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

　　分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

　　利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來(lái)裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。

　　解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

　　答：這批鋼材有720噸。

　　例7 樂(lè)樂(lè)百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)元。問(wèn)：搬運(yùn)過(guò)程中共打破了幾只花瓶？

　　分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過(guò)程中一只也沒(méi)有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)×500=120（元）。實(shí)際上只得到元，少得=（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失＋＝（元）。因此共打破花瓶÷＝3（只）。 解：（×500－）÷（＋）＝3（只）。

　　答：共打破3只花瓶。

　　例8 小樂(lè)與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂(lè)每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂(lè)共多跳了多少下？

　　分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂(lè)一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

　　12×（2＋3）＝60（下）。

　　可求出小樂(lè)每分鐘跳

　?。?80——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），

　　小樂(lè)一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂(lè)共多跳

　　780——270×2＝240（下）。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1．雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？

　　2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。問(wèn)：象棋與跳棋各有多少副？

　　3．班級(jí)購(gòu)買活頁(yè)簿與日記本合計(jì)32本，花錢74元?；铐?yè)簿每本元，日記本每本元。問(wèn)：買活頁(yè)簿、日記本各幾本？

　　4．龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問(wèn)：龜、鶴各幾只？

　　第十一講 定義新運(yùn)算

　　我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒(méi)有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對(duì)于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。

　　例1 對(duì)于任意數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”： a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。

　　分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

　　根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6的值。

　　3，x>=2，求x的值。 分析與解：按照定義的運(yùn)算，

　　=2，

　　x=6。

　　由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運(yùn)算符號(hào)使用“*”，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來(lái)表示。

　　分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)“⊙”表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

　　四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)行小括號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號(hào)外面的運(yùn)算。

　　按通常的規(guī)則從左至右進(jìn)行運(yùn)算。

　　例5已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

　　分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把a(bǔ)=9，b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“※”化簡(jiǎn)，再求結(jié)果。

　　a※b=（a+b）-（a-b）

　　=a+b-a+b=2b。

　　所以，9※2=2×2=4。

　　由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。

　　例6定義運(yùn)算：a⊙b=3a+5ab+kb，

　　其中a，b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

　?。?）已知5⊙2=73。問(wèn)：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

　?。?）當(dāng)k取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a(bǔ)，

　　即新運(yùn)算“⊙”符合交換律？

　　分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?⊙2=3×5+5×5×2+k×

　　2 =65+2k，

　　所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運(yùn)算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

　　8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，

　　5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

　　因?yàn)?44≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

　?。?）要使a⊙b=b⊙a(bǔ)，由新運(yùn)算的定義，有

　　3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，

　　3a+kb-3b-ka=0，

　　3×(a-b)-k(a-b)=0，

　　(3-k)(a-b)=0。

　　對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

　　當(dāng)新運(yùn)算是a⊙b=3a+5ab+3b時(shí)，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a(bǔ)。

　　例7 對(duì)兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

　　比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68。

　?。?）求12☆21的值；

　?。?）已知6☆x=27，求x的值。

　　分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

　?。?）因?yàn)槎x的新運(yùn)算“☆”沒(méi)有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式求x，只能用推理的方法。

　　因?yàn)?☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28， 29， 30， 33。這四個(gè)數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍×b=[a，b]×（a，b），

　　所以6×x=30×3，由此求得x=15。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。

　　2.已知a

　　3.已知a

　　4.規(guī)定a◎b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值。

　　5.假定m◇n表示m的3倍減去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。 b表示（a-b）÷（a+b），試計(jì)算：（

　　53）

　?。?0

　　6）。 b表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求1

　　34的值。

　?。?）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

　　第十二講 奇偶性

　　整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：

　?。?）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

　　0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，?

　?。?）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

　　1，3，5，7，9，11，13，15，17，?

　　整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。

　　每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：

　?。?）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。

　?。?）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。

　?。?）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。

　　（4）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。

　?。?）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

　?。?）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

　　因?yàn)椋?n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；

　　因?yàn)椋?n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。

　?。?）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

　?。?）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括1和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。

　　整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問(wèn)題。有些問(wèn)題表面看來(lái)似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒(méi)有，例如染色問(wèn)題、覆蓋問(wèn)題、棋類問(wèn)題等，但只要想辦法編上號(hào)碼，成為整數(shù)問(wèn)題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。 例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

　　1+2+3+4+?+1997+1998。

　　分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來(lái)判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡(jiǎn)潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無(wú)關(guān)。1～1998中共有999個(gè)奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。

　　例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

　　分析與解：等號(hào)左端共有9個(gè)數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)。5個(gè)奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)椤捌鏀?shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。

　　例3 任意給出一個(gè)五位數(shù)，將組成這個(gè)五位數(shù)的5個(gè)數(shù)碼的順序任意改變，得到一個(gè)新的五位數(shù)。那么，這兩個(gè)五位數(shù)的和能不能等于？

　　分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于，則有下式：

　　其中組成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€(gè)個(gè)位數(shù)相加，和不會(huì)大于 9+9=18，豎式中和的個(gè)位數(shù)是9，所以個(gè)位相加沒(méi)有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬(wàn)位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。

　　另一方面，因?yàn)榻M成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同，所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和，等于組成第一個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。

　　奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于，所以假設(shè)不成立，即這兩個(gè)數(shù)的和不能等于。 例4 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？

　　分析與解：盲目的試驗(yàn)，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因?yàn)橹荒芊D(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無(wú)論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說(shuō)，不可能使7只杯子全部杯口朝下。 例5 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？

　　分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會(huì)改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無(wú)論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能全部朝上。

　　當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動(dòng)的杯子用*號(hào)標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：

　　由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動(dòng)，就可達(dá)到要求。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對(duì)于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)椋╩-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點(diǎn)，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動(dòng)，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒(méi)有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。

　　綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，無(wú)論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　1.能否從四個(gè)

　　3、三個(gè)

　　5、兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22？

　　2.任意交換一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字，得一個(gè)新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒(méi)有錯(cuò)？

　　3.一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?

　　第十三講

　　列方程解應(yīng)用題

　　有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用算術(shù)方法求解比較困難。此時(shí)，如果能恰當(dāng)?shù)丶僭O(shè)一個(gè)未知量為x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個(gè)量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個(gè)含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系清晰、解法簡(jiǎn)潔，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。 例1商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙元，布鞋每雙元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問(wèn)：膠鞋有多少雙？

　　分析：此題幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來(lái)，用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達(dá)出來(lái)。

　　設(shè)膠鞋有x雙，則布鞋有（46-x）雙。膠鞋銷售收入為元，布鞋銷售收入為（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。

　　解：設(shè)有膠鞋x雙，則有布鞋（46-x）雙。

　　（46-x）=10，

　　 +=10，

　　 =，

　　 x=21。

　　答：膠鞋有21雙。

　　分析：因?yàn)轭}目條件中黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)都是與紅球個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，所以

　　答：袋中共有74個(gè)球。

　　在例1中，求膠鞋有多少雙，我們?cè)O(shè)膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個(gè)球，我們?cè)O(shè)紅球有x個(gè)，求出紅球個(gè)數(shù)后，再求共有多少個(gè)球。像例1那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)什么，這種方法叫直接設(shè)元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個(gè)未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡(jiǎn)便。在小學(xué)階段，大多數(shù)題目可以使用直接設(shè)元法。

　　例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計(jì)劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問(wèn)：計(jì)劃修建住宅多少座？

　　分析與解一：用直接設(shè)元法。設(shè)計(jì)劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程

　　80x-40=（30x+40）×2，

　　80x-40=60x+80，

　　20x=120，

　　x=6（座）。

　　分析與解二：用間接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。

　?。▁-40）×80=（2x+40）×30，

　　80x-3200=60x+1200，

　　20x=4400，

　　x=220（米3）。

　　由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

　　同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們做練習(xí)。

　　例4教室里有若干學(xué)生，走了10個(gè)女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問(wèn)：最初有多少個(gè)女生？

　　分析與解：設(shè)最初有x個(gè)女生，則男生最初有（x-10）×2個(gè)。根據(jù)走了10個(gè)女生、9個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程

　　x-10=[（x-10）×2-9]×5，

　　x-10=（2x-29）×5，

　　x-10=10x-145，

　　9x=135，

　　x=15（個(gè)）。

　　例5一群學(xué)生進(jìn)行籃球投籃測(cè)驗(yàn)，每人投10次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表：

　　還知道至少投進(jìn)3個(gè)球的人平均投進(jìn)6個(gè)球，投進(jìn)不到8個(gè)球的人平均投進(jìn)3個(gè)球。問(wèn)：共有多少人參加測(cè)驗(yàn)？

　　分析與解：設(shè)有x人參加測(cè)驗(yàn)。由上表看出，至少投進(jìn)3個(gè)球的有（x-7-5-4）人，投進(jìn)不到8個(gè)球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，

　　0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）

　　= 5+8+6×（x-16）

　　= 6x-83，

　　也等于進(jìn)球數(shù)不到8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，

　　3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，

　　= 3×（x-8）+24+36+10

　　= 3x+46。

　　由此可得方程

　　6x-83=3x+46，

　　3x=129，

　　x=43（人）。

　　例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過(guò)了可免費(fèi)攜帶行李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個(gè)人帶150千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi)8元。求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量。

　　分析與解：設(shè)每人可免費(fèi)攜帶x千克行李。一方面，三人可免費(fèi)攜帶3x千克行李，三人攜帶150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克應(yīng)付4÷（150-3x）元；另一方面，一人攜帶150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克應(yīng)付8÷（150-x）元。根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)，可列方程

　　4÷（150-3x）=8÷（150-x），

　　4×（150-x）=8×（150-3x），

　　600-4x=1200-24x，

　　20x=600，

　　x=30（千克）。

　　課后練習(xí)

　　姓名： 分?jǐn)?shù)：

　　還剩60元。問(wèn)：甲、乙二人各有存款多少元？

　　2.大、小兩個(gè)水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的倍，問(wèn)：兩池中共有多少噸水？

　　3.一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個(gè)男孩看來(lái)，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個(gè)女孩看來(lái)，黃帽子是紅帽子的2倍。問(wèn)：男孩、女孩各有多少人？

　　4.教室里有若干學(xué)生，走了10個(gè)女生后，男生人數(shù)是女生的倍，又走了10個(gè)女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問(wèn)：教室里原有多少個(gè)學(xué)生？

　　趣味數(shù)學(xué)教案模板

　　奧數(shù)--數(shù)學(xué)趣題

　　趣味數(shù)學(xué)題及答案

　　奧數(shù)題,,興趣數(shù)學(xué)題

　　幼教教案模板 趣味數(shù)字（共4篇）

趣味奧數(shù)教案模板共2

　　一年級(jí)趣味趣味奧數(shù)活動(dòng)總結(jié)

　　我們一年級(jí)段開展的趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)，是在數(shù)學(xué)課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)校開展的主題活動(dòng)有目的地安排一些數(shù)學(xué)繪本活動(dòng)內(nèi)容，讓學(xué)生學(xué)習(xí)。經(jīng)過(guò)一年的趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勯_展以來(lái)的一些收獲：

　　一、趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容符合學(xué)生的年齡特點(diǎn) 數(shù)學(xué)一向以枯燥乏味、深?yuàn)W難懂的面目示人，很多孩子因此喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。一年級(jí)的孩子剛剛?cè)雽W(xué)，如果我們單純地從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維入手，讓他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考方法，勢(shì)必把學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣扼殺在萌芽狀態(tài)。由韓國(guó)的劉永昭先生主編的數(shù)學(xué)繪本以有趣的故事情境、淺顯的內(nèi)容呈現(xiàn)，講述了數(shù)的起源、量的守恒、比較等一系列數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。由于真正貼近了兒童，大大激發(fā)了孩子的學(xué)習(xí)興趣，他們像聽故事一樣興致勃勃地聆聽著老師的講解，時(shí)不時(shí)地發(fā)表著自己的意見，在興趣盎然的講解中學(xué)習(xí)著數(shù)學(xué)知識(shí)。

　　二、趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理

　　1、課堂內(nèi)——讓孩子喜歡上數(shù)學(xué)

　　為了能讓孩子喜歡上一周兩節(jié)的趣味數(shù)學(xué)課，我通常會(huì)給孩子講一些有趣的數(shù)學(xué)故事，邊講邊提一些有趣的問(wèn)題，如：在上“古時(shí)候的人是怎么數(shù)數(shù)的”一課時(shí)，當(dāng)我問(wèn)孩子“你猜一猜，古時(shí)候的人會(huì)怎么數(shù)數(shù)呢？”孩子提出的想法千奇百怪、當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)古人居然能借用身體上的鼻子、手臂計(jì)數(shù)時(shí)，都瞪大了雙眼。然后，我們就學(xué)著古人的樣子借助身體上的一些器官開始數(shù)數(shù)。我們還要求孩子晚上回家能把古人的數(shù)數(shù)方法教給家長(zhǎng)，讓家長(zhǎng)也和我們一起體驗(yàn)數(shù)學(xué)的神奇。

　　在趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，我們還經(jīng)常與孩子們一起做一些數(shù)學(xué)游戲，如“正話反做”游戲、“數(shù)學(xué)手指操”游戲、“故事問(wèn)答”游戲，甚至讓學(xué)生根據(jù)繪本情境自己編一些小故事。孩子的參與熱情被極大地激發(fā)了，課堂成了孩子向往的地方。

　　2、課堂外——讓數(shù)學(xué)的觸角延伸

　　數(shù)學(xué)與生活是緊密相連的，生活中很多地方都需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)。從小培養(yǎng)這樣意識(shí)，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也能逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法、思考問(wèn)題的方式來(lái)解決生活中的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力。課后，我經(jīng)常要求學(xué)生回家找找“數(shù)學(xué)”，進(jìn)行適度的課外延伸。如在學(xué)習(xí)了“數(shù)的產(chǎn)生”之后，讓學(xué)生找找自己生活中要用到的數(shù)學(xué)。

　　三、激勵(lì)促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展

　　通過(guò)趣味數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，我對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既關(guān)注他們對(duì)知識(shí)與技能的理解和掌握，更關(guān)注他們情感與態(tài)度的形成和發(fā)展，有利于樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。這樣可以調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性。具體表現(xiàn)在： 1.培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

　　參加興趣小組的同學(xué)都有這么一個(gè)感受：就是以前做數(shù)學(xué)或許只是應(yīng)付老師的作業(yè)，有時(shí)甚至是為了向爸爸媽媽交差。但通過(guò)學(xué)習(xí)他們意識(shí)到他們不再是被動(dòng)的而是變成主動(dòng)的學(xué)習(xí)，他們的學(xué)習(xí)能夠自覺(jué)完成了，而且還能頭頭是道地向同學(xué)介紹他所學(xué)習(xí)到的知識(shí)。在他們的指引下更多的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。 2.拓展學(xué)生知識(shí)提高學(xué)生能力。

　　在趣味奧數(shù)社團(tuán)活動(dòng)，很多同學(xué)在有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò) 中豐富了語(yǔ)文的功底，對(duì)其他學(xué)科的知識(shí)也有不同程度的理解，使他們的知識(shí)面得到很大的拓展，同時(shí)我們也培養(yǎng)他們的解題能力。 3.給老師一個(gè)學(xué)習(xí)的一機(jī)會(huì)。

　　在輔導(dǎo)的工作中我發(fā)現(xiàn)：趣味數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)的輔導(dǎo)要我們老師投入的一定的時(shí)間精力進(jìn)行專研，一個(gè)學(xué)期來(lái)我們老師的解題能力也有不同程度的提高，同時(shí)也加大了老師的知識(shí)面。

　　四、問(wèn)題與努力方向

　　在實(shí)際操作中，由于教學(xué)時(shí)間、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、學(xué)生基礎(chǔ)等因素，有時(shí)很難達(dá)到預(yù)期的效果。所以今后努力的方向是： 1.繼續(xù)加強(qiáng)專業(yè)理論和教法方面的學(xué)習(xí)； 2.繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣； 3.培養(yǎng)學(xué)生的自信心和進(jìn)取心，還有學(xué)習(xí)習(xí)慣。

　　總之，趣味奧數(shù)社團(tuán)活動(dòng)是教學(xué)活動(dòng)課程的一種組織形式，它是數(shù)學(xué)教學(xué)工作不可缺少的一部分。趣味數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自學(xué)能力，又提高了學(xué)生計(jì)算能力，拓寬他們的思維，培養(yǎng)了正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。提高課堂教學(xué)效率，使數(shù)學(xué)興趣的學(xué)生既打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又開拓視野、開發(fā)智力。一學(xué)期的實(shí)踐也讓我對(duì)校本課程有了更深的理解，雖然工作尚存在不足之處，但在學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的指導(dǎo)下，我有信心取得大的進(jìn)步，使工作扎實(shí)有效，更好的開展學(xué)生潛能，促進(jìn)自身的發(fā)展。

趣味奧數(shù)教案模板共3

　　小學(xué)奧數(shù)興趣班奧數(shù)教案

　　第一課時(shí)

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、掌握等差數(shù)列的定義，了解等差數(shù)列首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差。

　　2、學(xué)會(huì)等差數(shù)列的簡(jiǎn)單求和。 教學(xué)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 難點(diǎn)：公式的理解 教學(xué)過(guò)程：

　　一、引入：世界上有一名著名的數(shù)學(xué)家叫高斯，他在很小的時(shí)候，老師給同學(xué)們出了一道數(shù)學(xué)題，讓大家計(jì)算：1+2+3+4+5?+99+100=?

　　高斯仔細(xì)觀察后，很快就計(jì)算出了結(jié)果。你們能猜出他是怎么計(jì)算的嗎？

　　高斯解題過(guò)程：1+100=2+99=3+98=?=49+52=50+51=101，共有100÷2=50（個(gè)）。于是

　　1+2+3+4+5?+99+100 =（1+100）×100÷2 =5050

　　在這里，出現(xiàn)了一列數(shù)據(jù)。我們定義：按一定次序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。一個(gè)數(shù)列，如果從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它緊前邊的一項(xiàng)，所得的差都相等，就叫做等差數(shù)列。

　　等差數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)，其中從左起第一項(xiàng)叫做首項(xiàng)，最后一項(xiàng)叫做末項(xiàng)，項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。等差數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差叫做公差。

　　例如：上面高斯求解的問(wèn)題：首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是100，項(xiàng)數(shù)是100，公差是1.我們得出高斯求解方法更多的是告訴我們一個(gè)求解等差數(shù)列的公式：

　　等差數(shù)列的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 例一：找出下列算式當(dāng)中的首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)和公差。 （1）2 ，5 ，8 ，11 ，14 ，17 ，20 ，23 （2）0 ，4 ，8 ，12 ，16 ，20 ，24 ，28 （3）3 ，15 ，27 ，39 ，51 ，63 讓學(xué)生上黑板演示結(jié)果。

　?。?）首項(xiàng)2，末項(xiàng)23，項(xiàng)數(shù)8，公差3 （2）首項(xiàng)0，末項(xiàng)28，項(xiàng)數(shù)8，公差4 （3）首項(xiàng)3，末項(xiàng)63，項(xiàng)數(shù)6，公差12 知道在等差數(shù)列中如何準(zhǔn)備找出首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)及公差以后，更重要的是熟練運(yùn)用等差數(shù)列求和公式解決一般等差數(shù)列問(wèn)題。 例二：1+2+3+4+?+1998+1999.問(wèn)：算式當(dāng)中的首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)分別是什么？ 答：首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，項(xiàng)數(shù)是1999。 解析：原式=（1+1999）×1999÷2

　　=2000×1999÷2

　　= 小結(jié)：這是一道一般等差數(shù)列類型題，可以直接找到求解公式中需要的幾個(gè)量。在計(jì)算過(guò)程中，當(dāng)一個(gè)數(shù)乘另外一個(gè)數(shù)末尾有零時(shí)，先不看末尾的零，計(jì)算結(jié)束后，將零的相同個(gè)數(shù)添在積的末尾就行。 練習(xí)：（1）1+2+3+4+?+250

　?。?）1+2+3+4+?+200

　　（3）1+3+5+7+?+97+99

　　第二課時(shí)教案

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、靈活運(yùn)用等差數(shù)列公式求所有兩位數(shù)的和。

　　2、能夠運(yùn)用等差數(shù)列的公式求解現(xiàn)實(shí)生活中的等差問(wèn)題。 教學(xué)重難點(diǎn)： 公式的靈活應(yīng)用。 教學(xué)過(guò)程：

　　師：我們這節(jié)課利用高斯求和法計(jì)算所有兩位數(shù)的和以及求解生活中的等差問(wèn)題。

　　例一：求出所有兩位數(shù)的和。

　　問(wèn)：（1）兩位數(shù)是從哪個(gè)數(shù)開始，又是到哪個(gè)數(shù)為止？

　?。?）兩位數(shù)一共有多少個(gè)？ 解：原式=（10+99）×90÷2

　　=109×90÷2

　　=4905 注意：解上面這道題需要我們動(dòng)腦經(jīng)的是先要準(zhǔn)確的寫出這個(gè)數(shù)列，找出數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)。在解題過(guò)程中會(huì)用到我們剛學(xué)過(guò)的三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，計(jì)算一定要小心。 練習(xí)：（1）40+41+42+43+?+80+81

　?。?）10+11+12+?+49+50 例二：某單位的總務(wù)處主任，不小心把50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，最多要試多少次？ 問(wèn)：（1）“最多”應(yīng)該怎么樣理解？ （2）能否試著把數(shù)列寫出來(lái)？

　　分析：這是一道解決實(shí)際問(wèn)題的題，就要注意聯(lián)系生活實(shí)際來(lái)思考。如開第一把鎖時(shí)，試了49把鑰匙都不對(duì)，那所剩下的一把肯定能打開，不用試50次，試49次就可以了。同樣開第二把鎖，最多試48次，依次類推，試完49把鎖，剩下最后的一把不用試，一定能打開。 這道題，開鎖最多要試多少次，應(yīng)該是一個(gè)，49+48+47+?+1+0的等差數(shù)列的和。它的首項(xiàng)是49，末項(xiàng)是0，項(xiàng)數(shù)是50，公差是1。根據(jù)等差數(shù)列求和公式就可以求出最多要試多少次。 解：49+48+47+?+1+0 =（49+0）×50÷2 =1225 練習(xí)：（1）新年到了，10個(gè)好朋友聚會(huì)，每?jī)蓚€(gè)人之間要握一次手，他們一共要握多少次手？

　　（2）市里舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有16個(gè)小組，每?jī)山M之間都要賽一場(chǎng)，他們一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ 難度上升題： （1）437-1-2-3-4?-29 （2）2000-1-2-3-4?-60 （3）（1+3+5+?+1997+1999）－（2+4+6+?+1996+1998）

　?。?）盒子里放有1只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這只球拿出，變成了3只球后放回盒子里，第二次從盒子里拿出2只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里，如此繼續(xù)下去，最后第10次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只球？

　　解：（1）原式=437-（1+29）×29÷2

　　=2

　　（2）原式=2000-（1+60）×60÷2

　　=170 （3）法一：

　　原式=（1+1999）×1000÷2－（2+1998）×999÷2

　　=－

　　=1000 法二：

　　原式=1+（3－2）+（5－4）+?＋（1999－1998）

　　=1+1+1+?+1（ 共1000個(gè)） =1000 （4）解析：找出盒子球的變化規(guī)律，第一次增加2個(gè)球，第二次增加2×2個(gè)球，第三次增加2×3個(gè)球，如此下去，第10次增加10×2個(gè)球。即問(wèn)題變?yōu)榍蠼?+2+2×2+2×3+?+10×2 （a）式的和。 解：（a）式=1+2+4+6+?+20

　　=1+（2+20）×10÷2

　　=111(只) 總結(jié)：今天學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是等差數(shù)列求和，即簡(jiǎn)單高斯求和。學(xué)習(xí)高斯求和最關(guān)鍵的是要掌握等差數(shù)列的主要特征，明確高斯求和中的首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)及公差。在求解現(xiàn)實(shí)生活中的等差問(wèn)題，關(guān)鍵是找到等差數(shù)列，寫出完整的數(shù)列，是求解實(shí)際問(wèn)題的著手點(diǎn)。

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