二項式定理教學設計共6篇二項式定理教案

時間：2022-07-18 10:28:11 教案

　　下面是范文網小編收集的二項式定理教學設計共6篇二項式定理教案，以供參考。

二項式定理教學設計共6篇二項式定理教案

二項式定理教學設計共1

《二項式定理》教學設計

　　1．教學目標

　　知識技能：理解二項式定理，記憶二項展開式的有關特征，能對二項式定理進行簡單應用．

　　過程方法：通過從特殊到一般的探究活動，經歷“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學習和成功的體驗．

　　情感、態(tài)度和價值觀：通過對二項式定理的研究，掌握展開式的結構特點，體驗數學公式的對稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數學家做出的巨大貢獻．

2.教學過程

　　探索研究二項式定理的內容

　　從學生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想

　　02122(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b

　　三次方的讓學生按照多項式乘法進行運算在合并，不合并之前是幾項，為什么？

（分步乘法計數原理）

　　0(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b

　　每一項中字母a，b的指數和相同,項的個數有n?1項

　　00每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數是C4； 11恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數是C4； 22恰有2個取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數是C4； 33恰有3個取b的情況下有C4種，所以ab3的系數是C4； 444個都取b的情況下有C4種，所以b4的系數是C4； 0因此(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab3?C4b．

　　歸納、猜想(a?b)n?

　　0n1n?12n?22(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?kn?kk?Cnab?nnCnb(n?N?)

　　設問：

（1）將(a?b)n展開，有多少項？

（2）每一項中，字母a，b的指數有什么特點？（3）字母a，b指數和始終是多少？（4）如何確定an?kbk的系數？

　　教師引導學生觀察二項式定理，從以下幾方面強調：（1）項數規(guī)律：n?1項；

（2）次數規(guī)律：字母a，b的指數和為n，字母a的指數由n遞減至0，同

　　1 時，字母b的指數由0遞增至n；

（3）二項式系數規(guī)律：下標為n，上標由0遞增至n；

　　kn?kk（4）通項：Tk?1?Cnab指的是第k?1項，不是第k項，該項的二項式系k數是Cn

　　板書以上幾點 3.例題處理

　　51??例1：（1）在?2x??的展開式中

　　x??（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。

（3）請指出展開式的第4項的系數，二項式系數。

　　3（4）求展開式中含 x 的項。

　　課件展示解題過程

　　自主探究：在?1?2x?的展開式中，求第4項，并指出它的二項式系數和系數

　　7是什么？

　　獨立完成，爬黑板

　　01合作探究：設n為自然數，化簡Cn?2n?Cn?2n?1???????1?Cnk?2n?k???????1??Cnn?

　　分組討論，交流想法

4.歸納小結

　　學生的學習體會與感悟；教師強調：

（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習慣．

（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數和為n，a的指數從n遞減至0同時b的指數由0遞增至n，體現數學的對稱美、和諧美．二項式系數還有哪些規(guī)律呢？希望同學們在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現．

　　2 5.作業(yè) （1）鞏固型作業(yè)：

課本36頁習題 A組

1、

3、4（1）（2）5 （2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關資料）查閱有關楊輝一生的主要成就。

　　012探究二項式系數Cn,Cn,Cn,n 有何性質.,Cn3

二項式定理教學設計共2

　　二項式定理（第一課時）

一、教學目標： 1．知識技能：

（1）理解二項式定理的推導-------分步乘法計數原理的使用（2）掌握二項式定理極其簡單應用 2．過程與方法

　　培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納猜想的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式

二、教學重點、難點

　　重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別

三、教學方法：師生互動，講練結合

四、教 具：多媒體、電子白板

五、教學過程

(一)創(chuàng)設問題情境：

　　今天是星期二，8天后是星期幾?82天后是星期幾?8100天后是星期幾呢？前面兩個問題全班所有學生都能回答出來，最后一個問題大家都很迷惑，覺得很復雜，今天我們學習的這節(jié)課就是告訴我們如何快速準確知道答案，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾。解決這一問題我們應用的就是二項式定理。

(二)引出問題：二項式定理研究的是(a?b)n的展開式。

　　我們知道(a?b)2?a2?2ab?b2，那么：(a?b)3=? (a?b)4=?

(a?b)100=?

更進一步：(a?b)n=？ (1)對(a?b)2展開式的分析: (a?b)2?(a?b)(a?b) 展開后其項的形式為：a2,ab,b2

　　00考慮b，每個都不取b的情況有1種，即c2 ,則a2前的系數為c2 1恰有1個取b的情況有c12種，則ab前的系數為c2 22恰有2個取b的情況有c2 種，則b2前的系數為c2 0222所以 (a?b)2?a2?2ab?b2?c2a?c12ab?c2b

(2)探究1：推導(a?b)3的展開式

(a?b)3?(a?b)(a?b)(a?b)

　　1 ① 項：

　　a2b

　　ab2

　　013② 系數：C3

　　C32

C3 0③ 展開式(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

(3)探究2：仿照上述過程，推導(a?b)4的展開式

　　0(a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b 0與(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

　　0222和(a?b)2?c2a?c12ab?c2b

　　一起比較猜想：

　　0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1ab?cab?...cab?...cnnnnb(n?N?)

　　但這種歸納猜想是不完全歸納。

(4)探究3：請分析(a?b)n的展開過程，證明猜想

...

b ②系數：C

...

C ①項：

　　an?1b

　　0n1nn?kknknnn0nn?12n?22kn?kknn③展開式：(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?) na(三)二項式定理的分析

　　0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?) na①項數：共有n?1項；

②次數：各項的次數都是n；

　　k③二項式系數：Cn(k??0,1,2,...n?)

　　kn?kk④ 二項展開式的通項：Tk?1?Cnab,(k??0,1,2,...n?)

（四）課堂練習 1.寫出(1?x)n得展開式.2.寫出(a?b)n得展開式.

（五）例題 例1.求(2x?1x)6得展開式.

　　2 （1）強調：對于形式較復雜的二項式，應先化簡再展開.（2）針對(2x?1x)6得展開式，提出下列問題

　　思考1：展開式的第二項的系數是多少？

　　思考2：展開式的第二項的二項式系數是多少？思考3：你能否直接求出展開式的第二項？思考4：你能否直接求出展開式的常數項？引出例2 例2 （1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

　　1??

（2）?x??的展開式中x3的系數

　　x??

（六）小結

（七）作業(yè)（提前板書） ,5題

2.思考：8100天后星期幾？

二項式定理教學設計共3

　　二項式定理一、教學目標

　　1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用

　　2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

　　3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學重點、難點

　　重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別

三、教學過程

　　創(chuàng)設問題情境：

　　今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

　　前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

　　新課講解：

　　問題

　　1?a?b??c?d?的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

　　由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

　　問題

　　2?a?b??a?b?的?a?b?原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成的？有規(guī)律嗎？

　　學生根據乘法展開式也很快得出結論

　　問題

　　3?a?b??a?b??a?b?的?a?b?原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？

　　學生仍然根據乘法公式算出了答案

　　問題

　　4?a?b??a?b??a?b??a?b?的?a?b?的原始展開式有多少項？

　　問題

　　5你能準確快速地寫出?a?b?的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？

　　此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）

　　啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中

　　4423問題6

　　其個數，為何恰好應為該項的系數？問題7 ?a?b?在合并后的展開式中，annn?rbr的系數應該是多少？有理由嗎？

　　問題8

　　那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想學生們快速地說出

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?L?Cnab?L?Cnb?n?N*?

　　我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

　　思路：證明中主要運用了計數原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

?a?b?n是n個?a?b?相乘，展開式中的每一項都是從這n個?a?b?中各任取一個字母相

　　n?k乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數是怎么來的？

　　bk的形式，k?0,1,2,L,n

　　an?kbk是從n個?a?b?中取k個b，和余下n?k個a相乘得到的，有Cnk種情況可以得到an?kbk，因此，該項的系數為Cnk

　　定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?L?Cnab?L?Cnb?n?N*?

　　注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做?a?b?的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

　　例：把b換成?b，則

　　n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?L???1?Cnab?L???1?Cnb?n?N*?

　　kn練習：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx?L?Cnx?L?Cnx?n?N*?

　　問題9 二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性

　　公式特征：

（1）項數：共有n?1項

（2）指數規(guī)律：

① 各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）

② 字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

　　kn?kk（3）二項式展開式的通項：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,L,n

　　012knk（4）二項式系數：依次為Cn,Cn,Cn,LCnL,Cn。這里Cn（k?0,1,2,L,n）稱為二項式系數

　　現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

　　思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以

　　8100??7?1?展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cnn?1，故應為星期四。

??例

　　1求?2x??的展開式

　　x??方法一：直接展開

　　1???1技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成?2x2?x2?

??6方法二：先合并化簡，再展開

　　建議用第二種方法簡單些。

　　變式一：展開式中的常數項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？

　　變式三：展開式中的第3項的系數是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？

　　注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。

　　例

　　2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

　　1??

　　3（2）?x??的展開式中x的系數和中間項

　　x??例3

　　求(x?a)12的展開式中的倒數第4項小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區(qū)別二項式系數、項的系數

（3）掌握用通項公式求二項式系數、項的系數及項。作業(yè)：P37 4，5 教學反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。

1.知識與技能：

(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理.2.過程與方法：通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式． 3.情感、態(tài)度與價值觀：

　　培養(yǎng)學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現和創(chuàng)造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．二、教學重點、難點

　　重點：用計數原理分析的展開式，得到二項式定理．

　　難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發(fā)現二項式展開成單項式之和時各項系數的規(guī)律.

一、說教材

1、地位及作用：

　　二項式定理安排在高中數學選修2-3第三節(jié),是排列組合內容后的一部分內容，其形成過程是組合知識的應用，同時也為隨后學習的概率知識及概率與統(tǒng)計，作知識上的鋪墊。

　　二項展開式與多項式乘法有密切的聯系，本節(jié)知識的學習，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。 2、重點難點分析：

　　重點：

（1）使學生參與并深刻體會二項式定理形成過程，掌握二項式系數的規(guī)律。

（2）能夠應用二項式定理、對二項式進行展開。難點：

　　運用多項式乘法以及組合知識推導二項式定理的過程。 A.知識與技能

（1）使學生參與并探討二項式定理的形成過程，掌握二項式系數、字母的冪次、展開式項數的規(guī)律。

（2）能夠應用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開。 B.過程與方法

　　通過二項式定理的推導過程，培養(yǎng)學生觀察，猜想，歸納的能力。

　　C.情感態(tài)度與價值觀

（1）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生解決數學問題的興趣和信心。

（2）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，使學生體會到數學內在的和諧對稱美。

　　三﹑說教法和學法

1、教法

　　為了完成本節(jié)課的教學目標，讓學生主動探索展開式的由來是關鍵。本節(jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學原則，采用多媒體輔助教學方法，以“引導思考”為核心，設計課件展示，并引導學生沿著積極的思維方向，逐步達到即定的教學目標，發(fā)展學生的邏輯思維能力；同時，考慮到學生的個體差異，在教學的各個環(huán)節(jié)進行分層施教，實現“有差異”的發(fā)展。

2、學法

　　根據學生思維的特點，遵循“教必須以學為主”的教學理念，讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建。在教學的各個環(huán)節(jié)中引導學生進行類比遷移，對照學習。

3、教學手段

二項式定理教學設計共4

　　二項式定理

一、教學目標

　　1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用

　　2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

　　3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學重點、難點

　　重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別

三、教學過程

　　創(chuàng)設問題情境：

　　今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

　　新課講解：

　　問題

　　1?a?b?d??c?的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

　　由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

　　問題

　　2?a?b??b的?a?b?原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成??a的？有規(guī)律嗎？

　　學生根據乘法展開式也很快得出結論問題

　　3?a?b???b?a??a2b?a?b??的

　　3原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？

　　學生仍然根據乘法公式算出了答案問題

　　4?a?b???b?a??a??b?a?的b?a?b?的原始展開式有多少項？

　　44問題

　　5你能準確快速地寫出?a?b?的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？

　　此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）

　　啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中問題6

　　其個數，為何恰好應為該項的系數？

　　n?rr問題7 ?a?b?在合并后的展開式中，ab的系數應該是多少？有理由嗎？ n問題8

　　那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想學生們快速地說出

　　n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

　　我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

　　思路：證明中主要運用了計數原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

?a?b?n是n個?a?b?相乘，展開式中的每一項都是從這n個?a?b?中各任取一個字母相

　　n?k乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數是怎么來的？

　　bk的形式，k?0,1,2,?,n

　　kan?kbk是從n個?a?b?中取k個b，和余下n?k個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

　　kan?kbk，因此，該項的系數為Cn

　　定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

　　n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做?a?b?的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

　　例：把b換成?b，則

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?

　　kn練習：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?

　　問題9 二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性

　　公式特征：

（1）項數：共有n?1項

（2）指數規(guī)律：

① 各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）

② 字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

　　kn?kk（3）二項式展開式的通項：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n

　　012knk（4）二項式系數：依次為Cn。這里Cn（k?0,1,2,?,n）稱為二,Cn,Cn,?Cn?,Cn項式系數

　　現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

　　n8100??7?1?展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cn?1，故100應為星期四。

　　1??例

　　1求?2x??的展開式

　　x??方法一：直接展開

　　1???1技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成?2x2?x2?

??66方法二：先合并化簡，再展開

　　建議用第二種方法簡單些。

　　變式一：展開式中的常數項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？

　　變式三：展開式中的第3項的系數是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？

　　注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。

　　例

　　2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

　　1??

　　3（2）?x??的展開式中x的系數和中間項

　　x??例3

　　求(x?a)12的展開式中的倒數第4項小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區(qū)別二項式系數、項的系數

二項式定理教學設計共5

　　1．3．1二項式定理

一、教學目標

　　1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用

　　2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

　　3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學重點、難點

　　重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別

三、教學過程

　　創(chuàng)設問題情境：

　　今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

　　新課講解：

　　問題

　　1?a?b?d??c?的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

　　由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

　　問題

　　2?a?b??b的?a?b?原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成??a的？有規(guī)律嗎？

　　學生根據乘法展開式也很快得出結論問題

　　3?a?b???b?a??a2b?a?b??的

　　3原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？

　　學生仍然根據乘法公式算出了答案問題

　　4?a?b???b?a??a??b?a?的b?a?b?的原始展開式有多少項？

　　44問題

　　5你能準確快速地寫出?a?b?的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？

　　此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）

　　啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中

　　0（1）若每個括號都不取b，只有一種取法得到a，即C4種 1（2）若只有一個括號取b，共有C4種取法得到ab 2（3）若只有兩個括號取b，共有C4種取法得到ab 3（4）若只有三個括號取b，共有C4種取法得到ab 4（5）若每個括號都取b，共有C4種取法得到b

　　引導學生發(fā)現：原始展開式中確有同類項存在，且確實可省去“合并”

　　0因此?a?b??3C4a?C4ab?C4ab?C4ab?C4b 4問題6

　　其個數，為何恰好應為該項的系數？

　　n?rr問題7 ?a?b?在合并后的展開式中，ab的系數應該是多少？有理由嗎？ n問題8

　　那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想學生們快速地說出

　　n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

　　我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

　　思路：證明中主要運用了計數原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

?a?b?n是n個?a?b?相乘，展開式中的每一項都是從這n個?a?b?中各任取一個字母相

　　n?k乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數是怎么來的？

　　bk的形式，k?0,1,2,?,n

　　kan?kbk是從n個?a?b?中取k個b，和余下n?k個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

　　kan?kbk，因此，該項的系數為Cn

　　定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

　　n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做?a?b?的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

　　例：把b換成?b，則

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?

　　kn練習：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?

　　問題9 二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性

　　公式特征：

（1）項數：共有n?1項

（2）指數規(guī)律：

① 各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）

② 字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

　　kn?kk（3）二項式展開式的通項：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n

　　012knk（4）二項式系數：依次為Cn。這里Cn（k?0,1,2,?,n）稱為二,Cn,Cn,?Cn?,Cn項式系數

　　現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

　　n8100??7?1?展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cn?1，故100應為星期四。

　　1??例

　　1求?2x??的展開式

　　x??方法一：直接展開

　　1???12技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成?2x?x2?

??66方法二：先合并化簡，再展開

　　建議用第二種方法簡單些。

　　變式一：展開式中的常數項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？

　　變式三：展開式中的第3項的系數是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？

　　注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。

　　例

　　2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

　　1??

　　3（2）?x??的展開式中x的系數和中間項

　　x??例3

　　求(x?a)12的展開式中的倒數第4項 9小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區(qū)別二項式系數、項的系數

（3）掌握用通項公式求二項式系數、項的系數及項。作業(yè)：P37 4，5 教學反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到8100天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。