證明平行四邊形4篇(平行四邊形證明及答案)

時(shí)間：2022-12-18 10:05:10 綜合范文

　　下面是范文網(wǎng)小編收集的證明平行四邊形4篇(平行四邊形證明及答案)，以供借鑒。

證明平行四邊形1

　　證明平行四邊形

　　如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF。

　　求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

　　設(shè)BC=a,則依題意可得：AB=2a,AC=√3a，等邊△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四邊形ADFE是平行四邊形

　　1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

　　1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

　　2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

　　3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

　　4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

　　21.畫個(gè)圓，里面畫個(gè)矩形2.假設(shè)圓里面的是平行四邊形3.因?yàn)閷?duì)邊平行，所以4個(gè)角相等4.平行四邊四個(gè)角之和等于360，除以4等于906.所以圓內(nèi)平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內(nèi))(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對(duì)，如果對(duì)角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對(duì)邊平行，(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個(gè)四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(zhì)(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對(duì)邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分。(3)平行四邊形的對(duì)角相等，兩鄰角互補(bǔ)。(4)連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

　　性質(zhì)9(8)矩形菱形是軸對(duì)稱圖形。(9)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點(diǎn)，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點(diǎn)，則AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。(11)平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形。(13)平行四邊形中，兩條在不同對(duì)邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個(gè)角的頂點(diǎn)向他對(duì)角的兩邊所做的高，與這個(gè)角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法

　　一、連接對(duì)角線或平移對(duì)角線。

　　二、過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)成直角三角形。

　　三、連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成線段平行或中位線。

　　四、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造相似三角形或等積三角形。

　　五、過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長

　　1、(1)平行四邊形的面積公式：底×高(推導(dǎo)方法如圖);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sin@

　　2、平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長，則平行四邊的周長c=2(a+b)底×1X高

證明平行四邊形2

　　平行四邊形證明練習(xí)題

　　一．解答題

　　1．如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，BE=DF．求證：∠DAE=∠BCF．

　　2．在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．求證：AE=CF．

　　3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC．AD上的點(diǎn)，∠1=∠2 求證：△ABE≌△CDF．

　　4．如圖，已知：平行四邊形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于F點(diǎn)．求證：BC=DF．

　　5．如圖，在?ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段BE、DF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

　　6．已知：如圖，?ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AE=CF．求證：△ABE≌△CDF．

.7．如圖，已知在?ABCD中，過AC中點(diǎn)的直線交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：DE=BF．

　　8．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四邊形AECD是平行四邊形嗎？為什么？

　　9．如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF．求證：DE=BF．

　　10．如圖，四邊形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足為E、F，AE=CF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

　　11．如圖，在△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，連接BF．求證：四邊形AFBD是平行四邊形．

　　12．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求證：（1）DE=DC；

（2）△DEC是等邊三角形．

　　13．已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF．求證：（1）△ADF≌△CBE；

;..（2）連接DE、BF，試判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由．

　　14．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

　　15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AE=CF．（1）猜想探究：BE與DF之間的關(guān)系： _________

（2）請(qǐng)證明你的猜想．

　　16．如圖，E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE∥DF．求證：∠1=∠2．

　　17．如圖，已知E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)．求證：ED=BF．

　　18．如圖，BD是?ABCD的對(duì)角線，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．求證：四邊形DEBF為平行四邊形．

　　19．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn)，證明：四邊形BFDE是平行四邊形．

;..20．如圖所示，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE=CF，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，為什么？說明理由．

　　21．如圖，△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)．求證：EF=DG且EF∥DG．

　　22．已知如圖所示，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O，GH過點(diǎn)O，分別交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求證：四邊形EHFG是平行四邊形．

;..平行四邊形證明練習(xí)題

　　參考答案與試題解析

　　一．解答題（共22小題）

　　1．如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，BE=DF．求證：∠DAE=∠BCF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，證△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADE=∠CBF

　　又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出證出△ADE和△CBF全等的三個(gè)條件，主要考查學(xué)生的推理能力．

　　2．在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．求證：AE=CF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠B=∠D，根據(jù)SAS證出△ABE≌△CDF即可推出答案．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)證出△ABE≌△CDF是證此題的關(guān)鍵．

　　3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC．AD上的點(diǎn)，∠1=∠2;..求證：△ABE≌△CDF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定．

　　分析：利用平行四邊形的性質(zhì)和題目提供的相等的角可以為證明三角形全等提供足夠的條件．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=CD，∴在：△ABE與△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，根據(jù)平行四邊形找到證明全等三角形足夠的條件是解決本題的關(guān)鍵．

　　4．如圖，已知：平行四邊形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于F點(diǎn)．求證：BC=DF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD邊的中點(diǎn)，根據(jù)AAS即可求得△EBC≌△EFD，則問題得證．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（AAS），∴BC=DF．

　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

　　5．（2013?莒南縣二模）如圖，在?ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段BE、DF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

;..分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中點(diǎn)的意義得出OE=OF，從而利用平行四邊形的判定定理“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定BFDE是平行四邊形，從而得出BE=DF，BE∥DF．

　　解答：解：由題意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：

　　連接DE、BF．

∵ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，∴OE=OF，∴BFDE是平行四邊形，∴BE=DF，BE∥DF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和判定定理的運(yùn)用．性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．判定：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

　　6．已知：如圖，?ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AE=CF．求證：△ABE≌△CDF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定．

　　分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DC，AB=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠BAC=∠DCF，根據(jù)SAS證出即可．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出證△ABE≌△CDF的三個(gè)條件是解此題的關(guān)鍵．

　　7．如圖，已知在?ABCD中，過AC中點(diǎn)的直線交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：DE=BF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

;..分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DC=AB，DC∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可證出答案．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出△AOF和△COE全等．

　　8．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四邊形AECD是平行四邊形嗎？為什么？

　　考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定．

　　分析：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B=∠C，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．

　　解答：解：是平行四邊形，理由：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意推出AE∥CD，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目較好，綜合性比較強(qiáng)．

　　9．如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF．求證：DE=BF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．

　　分析：連接BE，DF，BD，BD交AC于O，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形BEDF是平行四邊形即可．

　　解答：證明：連接BE，DF，BD，BD交AC于O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OD=OB，;..∵AE=CF，∴OE=OF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE=BF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定等應(yīng)用，關(guān)鍵是能熟練地運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理，此題的證明方法二是證△AED≌△CFB，推出DE=BF．

　　10．如圖，四邊形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足為E、F，AE=CF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：求出∠AED=∠CFB=90°，根據(jù)HL證Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可．

　　解答：證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED和Rt△CFB中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出AD∥BC，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．

　　11．如圖，在△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，連接BF．求證：四邊形AFBD是平行四邊形．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．

　　分析：求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，證△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．

;..解答：證明：∵E為AD中點(diǎn)，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中

∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四邊形AFBD是平行四邊形．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是推出AF=DC=BD．

　　12．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求證：（1）DE=DC；

（2）△DEC是等邊三角形．

　　考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：（1）證出平行四邊形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；（2）根據(jù)BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可證出答案．

　　解答：證明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．

（2）證明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，∴DC=EC，由（1）知：DE=DC，∴DE=DC=EC，∴△DEC是等邊三角形．

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，證出平行四邊形ABED和DC=EC是解此題的關(guān)鍵．

　　13．已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF．求證：（1）△ADF≌△CBE；

（2）連接DE、BF，試判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由．

;..考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行且相等得到AD與BC平行且相等，由AD與BC平行得到內(nèi)錯(cuò)角∠DAF與∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根據(jù)“SAS”得到△ADF與△CBE全等；

（2）由（1）證出的全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF與EB相等且∠DFA與∠BEC相等，由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到DF與BE平行，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得到四邊形DEBF的形狀．

　　解答：證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC（1分）∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）∴△ADF≌△CBE（4分）

（2）四邊形DEBF是平行四邊形（5分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，∴DF∥BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形（6分）

　　點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，以及平行四邊形的判斷與性質(zhì)．其中第2問是一道先試驗(yàn)猜想，再探索證明的新型題，其目的是考查學(xué)生提出問題，解決問題的能力，這類幾何試題將成為今后中考的熱點(diǎn)試題．

　　14．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：易證得△AEH≌△CGF，從而證得對(duì)應(yīng)邊BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證．

　　解答：證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C（平行四邊形的對(duì)邊相等）；

　　又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

　　在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．

　　又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；

∴GH=EF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

∴四邊形EFGH是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用;..時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．

　　15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AE=CF．（1）猜想探究：BE與DF之間的關(guān)系：平行且相等

（2）請(qǐng)證明你的猜想．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：（1）BE平行且等于DF；

（2）連接BD交AC于O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四邊形BEDF即可．

　　解答：（1）解：BE和DF的關(guān)系是：BE=DF，BE∥DF，故答案為：平行且相等．

（2）證明：連接BD交AC于O，∵ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四邊形，∴BE=DF，BE∥DF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要檢查學(xué)生能否熟練地運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理，題型較好，通過此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和猜想能力．

　　16．如圖，E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE∥DF．求證：∠1=∠2．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角相等即可得證．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；

;..∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代換），∴△ABE≌△CDF（AAS）；

∴BE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴∠1=∠2（平行四邊形的對(duì)角相等）．

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．平行四邊形的判定定理：對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

　　17．如圖，已知E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)．求證：ED=BF．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD，根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四邊形EBFD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到答案．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，∴EB=AB，DF=CD，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴ED=BF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)和判定的理解和掌握，能靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．

　　18．如圖，BD是?ABCD的對(duì)角線，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．求證：四邊形DEBF為平行四邊形．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義．

　　分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線定義求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，;..∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)和判定等的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出DF∥BE，主要檢查學(xué)生能否運(yùn)用定理進(jìn)行推理，題型較好，難度適中．

　　19．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn)，證明：四邊形BFDE是平行四邊形．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

　　分析：利用“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)推知OA=OC，OB=OD；然后由已知條件“點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn)”可以證得OE=OF；最后根據(jù)平行四邊形的判定定理“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”即可證得結(jié)論．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）．又∵點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn)，∴OE=OF．

∴四邊形BFDE是平行四邊形（對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形）．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．

　　20．如圖所示，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE=CF，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，為什么？說明理由．

　　考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；垂線；直角三角形全等的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)．

　　分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，連接BE、DF，根據(jù)HL證Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四邊形DEBF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可．

　　解答：解：BD平分EF，理由是：

　　證法一、連接BE、DF． ∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中

;..，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BD平分EF；

　　證法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，垂線，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是得出平行四邊形DEBF，題目比較好，難度適中．

　　21．如圖，△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)．求證：EF=DG且EF∥DG．

　　考點(diǎn)：三角形中位線定理；三角形的角平分線、中線和高；平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)三角形的中位線推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四邊形DEFG，根據(jù)平行四邊形的性推出即可．

;..解答：證明：∵BD、CE是△ABC的中線，∴DE∥BC，DE=BC，同理：GF∥BC，GF=BC，∴GF=DE，GF∥DE，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∴EF=DG，EF∥DG．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，三角形的中線等知識(shí)點(diǎn)，主要檢查學(xué)生能否熟練的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，題目比較典型，難度適中，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

　　22．已知如圖所示，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O，GH過點(diǎn)O，分別交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求證：四邊形EHFG是平行四邊形．

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)．

　　分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根據(jù)AAS證△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．

　　解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO和△CHO中，∴△AGO≌△CHO（AAS），∴OG=OH，∵OE=OF，∴四邊形EHFG是平行四邊形．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，注意：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

證明平行四邊形3

　　證明

（三）平行四邊形導(dǎo)綱

　　一、引入：

　　平行四邊形的定義：

　　平行四邊形定義的應(yīng)用：B⑴∵AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABCD是⑵∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴

　　二、自主探究：

　　證明：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等。已知： □ABCD（如圖）

　　求證:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴

　　三、性質(zhì)應(yīng)用：

　　1.在□ABCD中，已知∠A =32。，求其余三個(gè)角的度數(shù) 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

　　2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周長。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

　　3.連結(jié)AC，已知□ABCD的周長等于20 cm，AC=7 cm，求△ABC的周長。

　　四、小組合作探究：

　　證明：平行四邊形的對(duì)角線互相平分

　　五．總結(jié)性質(zhì)：

　　A D

　　六、鞏固練習(xí)：

　　1.已知O是□ ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AC=10cm，BD=18cm，AD=?12cm，則△BOC?的周長是_______

　　2.如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn)，且AB≠BC，過O點(diǎn)作OE⊥AC，交BC于E，如果△ABE的周長為b，則平行四邊形ABCD的周長是（）。

　　BEC

　　七、學(xué)以致用：

　　證明:夾在兩條平行線間的平行線段相等。

　　八、鞏固練習(xí)：

　　1、已知：如圖平行四邊形ABCD，E,F是直線BD上的兩點(diǎn)，且∠E= ∠F。求證：AE=CFC

　　2、已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線與AD,BC分別相交

　　于點(diǎn)E, 求證:OE=

　　九、自我檢測(cè)：

　　1.在□ABCD中，∠A= 50 ?，則∠°

　　2.如果□ABCD中，∠A+∠C=240°，則∠°

　　3.如果□ABCD的周長為28cm，且AB：BC=2∶5，那么，cm，cm，．

　　3、已知:如圖,AC,BD是□ABCD的兩條對(duì)角線,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F,求證:AE=

　　十、能力提高：

　　4、已知:在□ABCD中,點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上,且AF=CE.

　　線段BE與DF之間有什么關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.A

　　若去掉題設(shè)中的AF=CE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使BE與DF有以上同樣的性質(zhì).B

證明平行四邊形4

　　怎么證明平行四邊形在平行四邊形ABCD中，AE，CF，分別是∠DAB、∠BCD的平分線，E、F點(diǎn)分別在DC、AB上，求證：四邊形AFCE是平行四邊形證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形;∴DC‖AB;∴∠EAF=∠DEA ∵AE，CF，分別是∠DAB、∠BCD的平分線;∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;∴∠EAF=∠CFB;∴AE‖CF;∵EC‖AF ∴四邊形AFCE是平行四邊形

　　1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 2 1.畫個(gè)圓，里面畫個(gè)矩形2.假設(shè)圓里面的是平行四邊形3.因?yàn)閷?duì)邊平行，所以4個(gè)角相等4.平行四邊四個(gè)角之和等于360，除以4等于906.所以圓內(nèi)平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內(nèi))(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對(duì)，如果對(duì)角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對(duì)邊平行，(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個(gè)四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(zhì)(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對(duì)邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分。(3)平行四邊形的對(duì)角相等，兩鄰角互補(bǔ)。(4)連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

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