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證明平行四邊形4篇(平行四邊形證明及答案)

時(shí)間:2022-12-18 10:05:10 綜合范文

  下面是范文網(wǎng)小編收集的證明平行四邊形4篇(平行四邊形證明及答案),以供借鑒。

證明平行四邊形4篇(平行四邊形證明及答案)

證明平行四邊形1

  證明平行四邊形

  如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足為F,連結(jié)DF。

  求證:四邊形ADFE是平行四邊形。

  設(shè)BC=a,則依題意可得:AB=2a,AC=√3a,等邊△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四邊形ADFE是平行四邊形

  1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

  1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

  2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

  3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

  4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

  21.畫個(gè)圓,里面畫個(gè)矩形2.假設(shè)圓里面的是平行四邊形3.因?yàn)閷?duì)邊平行,所以4個(gè)角相等4.平行四邊四個(gè)角之和等于360,除以4等于906.所以圓內(nèi)平行四邊形為矩形..3判定(前提:在同一平面內(nèi))(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形(注:僅以上五條為平行四邊形的判定定理,并非所有真命題都為判定定理,希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對(duì),如果對(duì)角相等,那么鄰角之和的二倍等于360°,那么鄰角之和等與180°,那么對(duì)邊平行,(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個(gè)四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(zhì)(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對(duì)邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分。(3)平行四邊形的對(duì)角相等,兩鄰角互補(bǔ)。(4)連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

  性質(zhì)9(8)矩形菱形是軸對(duì)稱圖形。(9)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點(diǎn),則AC和DE互相三等分,一般地,若E為AB上靠近A的n等分點(diǎn),則AC和DE互相(n+1)等分。*注:正方形,矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形ABCD中,AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線,則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。(11)平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,但不是軸對(duì)稱圖形。(13)平行四邊形中,兩條在不同對(duì)邊上的高所組成的夾角,較小的角等于平行四邊形中較小的角,較大的角等于平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個(gè)角的頂點(diǎn)向他對(duì)角的兩邊所做的高,與這個(gè)角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法

  一、連接對(duì)角線或平移對(duì)角線。

  二、過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)成直角三角形。

  三、連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn),或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線,構(gòu)成線段平行或中位線。

  四、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段,構(gòu)造相似三角形或等積三角形。

  五、過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線,構(gòu)成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長

  1、(1)平行四邊形的面積公式:底×高(推導(dǎo)方法如圖);如用“h”表示高,“a”表示底,“S”表示平行四邊形面積,則S平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長,@表示兩邊的夾角,“S”表示平行四邊形的面積,則S平行四邊形=ab*sin@

  2、平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1,“b”表示底2,“c平”表示平行四邊形周長,則平行四邊的周長c=2(a+b)底×1X高

證明平行四邊形2

  平行四邊形證明練習(xí)題

  一.解答題

  1.如圖所示,已知在平行四邊形ABCD中,BE=DF.求證:∠DAE=∠BCF.

  2.在?ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF.求證:AE=CF.

  3.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,E、F分別是BC.AD上的點(diǎn),∠1=∠2 求證:△ABE≌△CDF.

  4.如圖,已知:平行四邊形ABCD中,E是CD邊的中點(diǎn),連接BE并延長與AD的延長線相交于F點(diǎn).求證:BC=DF.

  5.如圖,在?ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn),請(qǐng)判斷線段BE、DF的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

  6.已知:如圖,?ABCD中,E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn),且AE=CF.求證:△ABE≌△CDF.

.7.如圖,已知在?ABCD中,過AC中點(diǎn)的直線交CD,AB于點(diǎn)E,F(xiàn).求證:DE=BF.

  8.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AE.四邊形AECD是平行四邊形嗎?為什么?

  9.如圖,E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AE=CF.求證:DE=BF.

  10.如圖,四邊形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足為E、F,AE=CF,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

  11.如圖,在△ABC中,AD是中線,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,連接BF. 求證:四邊形AFBD是平行四邊形.

  12.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,DE∥AB,AD+DC=BC. 求證:(1)DE=DC;

(2)△DEC是等邊三角形.

  13.已知:如圖,E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AE=CF. 求證:(1)△ADF≌△CBE;

;..(2)連接DE、BF,試判斷四邊形DEBF的形狀,并說明理由.

  14.如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG,AH=CF. 求證:四邊形EFGH是平行四邊形.

  15.如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn),且AE=CF.(1)猜想探究:BE與DF之間的關(guān)系: _________

(2)請(qǐng)證明你的猜想.

  16.如圖,E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且BE∥DF.求證:∠1=∠2.

  17.如圖,已知E,F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn).求證:ED=BF.

  18.如圖,BD是?ABCD的對(duì)角線,∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E,∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F.求證:四邊形DEBF為平行四邊形.

  19.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,已知點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn),證明:四邊形BFDE是平行四邊形.

;..20.如圖所示,A,E,F(xiàn),C在一條直線上,AE=CF,過E,F(xiàn)分別作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,為什么?說明理由.

  21.如圖,△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O,F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn). 求證:EF=DG且EF∥DG.

  22.已知如圖所示,?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O,GH過點(diǎn)O,分別交AD、BC于G、H,E、F在AC上且AE=CF,求證:四邊形EHFG是平行四邊形.

;..平行四邊形證明練習(xí)題

  參考答案與試題解析

  一.解答題(共22小題)

  1.如圖所示,已知在平行四邊形ABCD中,BE=DF.求證:∠DAE=∠BCF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);平行線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出AD∥BC,且AD=BC,推出∠ADE=∠CBF,求出DE=BF,證△ADE≌△CBF,推出∠DAE=∠BCF即可.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADE=∠CBF

  又∵BE=DF,∴BF=DE,∵在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF,∴∠DAE=∠BCF.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形性質(zhì),平行線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出證出△ADE和△CBF全等的三個(gè)條件,主要考查學(xué)生的推理能力.

  2.在?ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF.求證:AE=CF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,∠B=∠D,根據(jù)SAS證出△ABE≌△CDF即可推出答案. 解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.

  點(diǎn)評(píng): 本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能根據(jù)性質(zhì)證出△ABE≌△CDF是證此題的關(guān)鍵.

  3.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,E、F分別是BC.AD上的點(diǎn),∠1=∠2;..求證:△ABE≌△CDF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定.

  分析: 利用平行四邊形的性質(zhì)和題目提供的相等的角可以為證明三角形全等提供足夠的條件. 解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠B=∠D,AB=CD,∴在:△ABE與△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA)

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定,根據(jù)平行四邊形找到證明全等三角形足夠的條件是解決本題的關(guān)鍵.

  4.如圖,已知:平行四邊形ABCD中,E是CD邊的中點(diǎn),連接BE并延長與AD的延長線相交于F點(diǎn).求證:BC=DF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 由四邊形ABCD是平行四邊形,可得AD∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠EBC=∠F,∠C=∠EDF,又由E是CD邊的中點(diǎn),根據(jù)AAS即可求得△EBC≌△EFD,則問題得證.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠EBC=∠F,∠C=∠EDF,又∵EC=ED,∴△EBC≌△EFD(AAS),∴BC=DF.

  點(diǎn)評(píng): 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大,解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

  5.(2013?莒南縣二模)如圖,在?ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn),請(qǐng)判斷線段BE、DF的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

;..分析: 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分得出OA=OC,OB=OD,利用中點(diǎn)的意義得出OE=OF,從而利用平行四邊形的判定定理“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定BFDE是平行四邊形,從而得出BE=DF,BE∥DF.

  解答: 解:由題意得:BE=DF,BE∥DF.理由如下:

  連接DE、BF.

∵ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵E,F(xiàn)分別是OA,OC的中點(diǎn),∴OE=OF,∴BFDE是平行四邊形,∴BE=DF,BE∥DF.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和判定定理的運(yùn)用.性質(zhì):①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行;②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等;③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等;④平行四邊形的對(duì)角線互相平分.判定:①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

  6.已知:如圖,?ABCD中,E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn),且AE=CF. 求證:△ABE≌△CDF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);平行線的性質(zhì);全等三角形的判定.

  分析: 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DC,AB=CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠BAC=∠DCF,根據(jù)SAS證出即可.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,AB=CD,∴∠BAC=∠DCF,∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.

  點(diǎn)評(píng): 本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定,平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能推出證△ABE≌△CDF的三個(gè)條件是解此題的關(guān)鍵.

  7.如圖,已知在?ABCD中,過AC中點(diǎn)的直線交CD,AB于點(diǎn)E,F(xiàn).求證:DE=BF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);平行線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

;..分析: 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DC=AB,DC∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ECA=∠BAC,∠CEO=∠AFO,能推出△AOF≌△COE,得到CE=AF,即可證出答案.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD 是平行四邊形,∴DC=AB,DC∥AB,∴∠ECA=∠BAC,∠CEO=∠AFO,∵OA=OC,∴△AOF≌△COE,∴CE=AF,∵DC=AB,∴DE=BF.

  點(diǎn)評(píng): 本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,解此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出△AOF和△COE全等.

  8.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AE.四邊形AECD是平行四邊形嗎?為什么?

  考點(diǎn): 等腰梯形的性質(zhì);平行線的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);平行四邊形的判定.

  分析: 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B=∠C,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠AEC=∠B=∠C,推出AE∥CD,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可.

  解答: 解:是平行四邊形,理由:∵四邊形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,∴AB=DC,∠B=∠C,∵AB=AE,∴∠AEB=∠B,∴∠AEB=∠C,∴AE∥DC,又∵AD∥BC,∴四邊形AECD是平行四邊形.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了等腰三角形的性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì),平行線的性質(zhì)和判定,平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)題意推出AE∥CD,培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,題目較好,綜合性比較強(qiáng).

  9.如圖,E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AE=CF.求證:DE=BF.

  考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定.

  分析: 連接BE,DF,BD,BD交AC于O,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=OC,OD=OB,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形BEDF是平行四邊形即可.

  解答: 證明:連接BE,DF,BD,BD交AC于O,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OD=OB,;..∵AE=CF,∴OE=OF,∴四邊形BEDF是平行四邊形,∴DE=BF.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定等應(yīng)用,關(guān)鍵是能熟練地運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理,此題的證明方法二是證△AED≌△CFB,推出DE=BF.

  10.如圖,四邊形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足為E、F,AE=CF,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定;平行線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 求出∠AED=∠CFB=90°,根據(jù)HL證Rt△AED≌Rt△CFB,推出∠ADE=∠CBD,得到AD∥BC,根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可.

  解答: 證明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°,在Rt△AED和Rt△CFB中,∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL),∴∠ADE=∠CBD,∴AD∥BC,∵AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的判定,平行線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,關(guān)鍵是推出AD∥BC,主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.

  11.如圖,在△ABC中,AD是中線,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,連接BF. 求證:四邊形AFBD是平行四邊形.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì). 專題: 證明題.

  分析: 求出AE=DE,∠AFE=∠DCE,證△AEF≌△CED,推出AF=DC,得出AF∥BD,AF=BD,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可.

;..解答: 證明:∵E為AD中點(diǎn),∴AE=DE,∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,在△AEF和△CED中

∵,∴△AEF≌△CED(AAS),∴AF=DC,∵AD是△ABC的中線,∴BD=DC,∴AF=BD,即AF∥BD,AF=BD,故四邊形AFBD是平行四邊形.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定,關(guān)鍵是推出AF=DC=BD.

  12.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,DE∥AB,AD+DC=BC. 求證:(1)DE=DC;

(2)△DEC是等邊三角形.

  考點(diǎn): 等腰梯形的性質(zhì);等邊三角形的判定;平行四邊形的判定與性質(zhì). 分析:(1)證出平行四邊形ABED,推出DE=AB,即可推出答案;(2)根據(jù)BE=AD,AD+DC=BC,BE+EC=BC,推出DC=EC即可證出答案.

  解答: 證明:(1)∵AD∥BC,DE∥AB,∴四邊形ABED是平行四邊形,∴DE=AB,∵AB=DC,∴DE=DC.

(2)證明:∵BE=AD,AD+DC=BC,BE+EC=BC,∴DC=EC,由(1)知:DE=DC,∴DE=DC=EC,∴△DEC是等邊三角形.

  點(diǎn)評(píng): 本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,證出平行四邊形ABED和DC=EC是解此題的關(guān)鍵.

  13.已知:如圖,E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AE=CF. 求證:(1)△ADF≌△CBE;

(2)連接DE、BF,試判斷四邊形DEBF的形狀,并說明理由.

;..考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì). 分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行且相等得到AD與BC平行且相等,由AD與BC平行得到內(nèi)錯(cuò)角∠DAF與∠BCA相等,再由已知的AE=CF,根據(jù)“SAS”得到△ADF與△CBE全等;

(2)由(1)證出的全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF與EB相等且∠DFA與∠BEC相等,由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到DF與BE平行,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得到四邊形DEBF的形狀.

  解答: 證明:(1)∵ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC(1分)∴∠DAF=∠BCA(2分),∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE(3分)∴△ADF≌△CBE(4分)

(2)四邊形DEBF是平行四邊形(5分)∵△ADF≌△CBE,∴∠DFA=∠BEC,DF=BE,∴DF∥BE,∴四邊形DEBF是平行四邊形(6分)

  點(diǎn)評(píng): 本題綜合考查了全等三角形的判斷與性質(zhì),以及平行四邊形的判斷與性質(zhì).其中第2問是一道先試驗(yàn)猜想,再探索證明的新型題,其目的是考查學(xué)生提出問題,解決問題的能力,這類幾何試題將成為今后中考的熱點(diǎn)試題.

  14.如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG,AH=CF. 求證:四邊形EFGH是平行四邊形.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 易證得△AEH≌△CGF,從而證得對(duì)應(yīng)邊BE=DG、DH=BF.故有△BEF≌△DGH,根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證.

  解答: 證明:在平行四邊形ABCD中,∠A=∠C(平行四邊形的對(duì)邊相等);

  又∵AE=CG,AH=CF(已知),∴△AEH≌△CGF(SAS),∴EH=GF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等);

  在平行四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC(平行四邊形的對(duì)邊相等),∴AB﹣AE=CD﹣CG,AD﹣AH=BC﹣CF,即BE=DG,DH=BF.

  又∵在平行四邊形ABCD中,∠B=∠D,∴△BEF≌△DGH;

∴GH=EF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等);

∴四邊形EFGH是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形).

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).平行四邊形的判定方法共有五種,應(yīng)用;..時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

  15.如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn),且AE=CF.(1)猜想探究:BE與DF之間的關(guān)系:平行且相等

(2)請(qǐng)證明你的猜想.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì). 分析:(1)BE平行且等于DF;

(2)連接BD交AC于O,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC,OD=OB,推出OE=OF,得出平行四邊形BEDF即可.

  解答:(1)解:BE和DF的關(guān)系是:BE=DF,BE∥DF,故答案為:平行且相等.

(2)證明:連接BD交AC于O,∵ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,∴BFDE是平行四邊形,∴BE=DF,BE∥DF.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要檢查學(xué)生能否熟練地運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理,題型較好,通過此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和猜想能力.

  16.如圖,E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且BE∥DF.求證:∠1=∠2.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 由三角形全等(△ABE≌△CDF)得到BE=DF,所以四邊形BFDE是平行四邊形,根據(jù)對(duì)角相等即可得證. 解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知),∴AB=CD,AB∥CD(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等),∴∠BAE=∠DCF(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等);

;..∵BE∥DF(已知),∴∠BEF=∠DFE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∴∠AEB=∠CFD(等量代換),∴△ABE≌△CDF(AAS);

∴BE=DF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),∵BE∥DF,∴四邊形BEDF是平行四邊形(對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),∴∠1=∠2(平行四邊形的對(duì)角相等).

  點(diǎn)評(píng): 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定,需要熟練掌握并靈活運(yùn)用.平行四邊形的判定定理:對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

  17.如圖,已知E,F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn).求證:ED=BF.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì). 分析: 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD,AB=CD,根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義得到EB=AB,DF=CD,即BE=DF,BE∥DF,得到平行四邊形EBFD,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到答案.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E,F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn),∴EB=AB,DF=CD,∴BE=DF,∵BE∥DF,∴四邊形EBFD是平行四邊形,∴ED=BF.

  點(diǎn)評(píng): 本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)和判定的理解和掌握,能靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵.

  18.如圖,BD是?ABCD的對(duì)角線,∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E,∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F.求證:四邊形DEBF為平行四邊形.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì);角平分線的定義.

  分析: 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線定義求出∠FDB=∠EBD,推出DF∥BE,根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可. 解答: 解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD,∵DF平分∠CDB,BE平分∠ABD,∴∠FDB=∠CDB,∠EBD=∠ABD,;..∴∠FDB=∠EBD,∴DF∥BE,∵AD∥BC,即ED∥BF,∴四邊形DEBF是平行四邊形.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了角平分線定義,平行四邊形的性質(zhì)和判定等的應(yīng)用,關(guān)鍵是推出DF∥BE,主要檢查學(xué)生能否運(yùn)用定理進(jìn)行推理,題型較好,難度適中.

  19.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,已知點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn),證明:四邊形BFDE是平行四邊形.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  分析: 利用“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)推知OA=OC,OB=OD;然后由已知條件“點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn)”可以證得OE=OF;最后根據(jù)平行四邊形的判定定理“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”即可證得結(jié)論.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD(平行四邊形的對(duì)角線互相平分). 又∵點(diǎn)E、F分別為AO、OC的中點(diǎn),∴OE=OF.

∴四邊形BFDE是平行四邊形(對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形).

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).平行四邊形的判定方法共有五種,應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

  20.如圖所示,A,E,F(xiàn),C在一條直線上,AE=CF,過E,F(xiàn)分別作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,為什么?說明理由.

  考點(diǎn): 全等三角形的判定與性質(zhì);垂線;直角三角形全等的判定;平行四邊形的判定與性質(zhì).

  分析: 求出∠AFB=∠CED=90°,DE∥BF,推出AF=CE,連接BE、DF,根據(jù)HL證Rt△ABF≌Rt△CDE,推出DE=BF,得出平行四邊形DEBF,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可.

  解答: 解:BD平分EF,理由是:

  證法一、連接BE、DF. ∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,DE∥BF,∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在Rt△ABF和Rt△CDE中

;..,∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴DE=BF,∵DE∥BF,∴四邊形DEBF是平行四邊形,∴BD平分EF;

  證法二、∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,DE∥BF,∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴DE=BF,∵在△BFG和△DEG中,∴△BFG≌△DEG(AAS),∴EG=FG,即BD平分EF.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,垂線,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用,關(guān)鍵是得出平行四邊形DEBF,題目比較好,難度適中.

  21.如圖,△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O,F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn). 求證:EF=DG且EF∥DG.

  考點(diǎn): 三角形中位線定理;三角形的角平分線、中線和高;平行四邊形的判定與性質(zhì). 分析: 根據(jù)三角形的中位線推出DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC,推出GF=DE,GF∥DE,得出平行四邊形DEFG,根據(jù)平行四邊形的性推出即可.

;..解答: 證明:∵BD、CE是△ABC的中線,∴DE∥BC,DE=BC,同理:GF∥BC,GF=BC,∴GF=DE,GF∥DE,∴四邊形DEFG是平行四邊形,∴EF=DG,EF∥DG.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,三角形的中位線,三角形的中線等知識(shí)點(diǎn),主要檢查學(xué)生能否熟練的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理,題目比較典型,難度適中,通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

  22.已知如圖所示,?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O,GH過點(diǎn)O,分別交AD、BC于G、H,E、F在AC上且AE=CF,求證:四邊形EHFG是平行四邊形.

  考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì).

  分析: 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出OA=OC,AD∥BC,推出OE=OF,∠GAO=∠HCO,∠AGO=∠CHO,根據(jù)AAS證△AGO≌△CHO,推出OG=OH,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可.

  解答: 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,AD∥BC,∵AE=CF,∴OE=OF,∵AD∥BC,∴∠GAO=∠HCO,∠AGO=∠CHO,在△AGO和△CHO中,∴△AGO≌△CHO(AAS),∴OG=OH,∵OE=OF,∴四邊形EHFG是平行四邊形.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),注意:平行四邊形的對(duì)角線互相平分,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

;.

證明平行四邊形3

  證明

(三)平行四邊形導(dǎo)綱

  一、引入:

  平行四邊形的定義:

  A

  平行四邊形定義的應(yīng)用:B⑴∵AB∥CD,AD∥BC

∴四邊形ABCD是⑵∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴

  二、自主探究:

  證明:平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等。已知: □ABCD(如圖)

  求證:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形

  D

  AB

  D

  三、性質(zhì)應(yīng)用:

  1.在□ABCD中,已知∠A =32。,求其余三個(gè)角的度數(shù) 解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

  D

  2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周長。解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

  3.連結(jié)AC,已知□ABCD的周長等于20 cm,AC=7 cm,求△ABC的周長。

  C

  B

  A

  四、小組合作探究:

  證明:平行四邊形的對(duì)角線互相平分

  五.總結(jié)性質(zhì):

  A D

  D

  B

  C

  六、鞏固練習(xí):

  1.已知O是□ ABCD的對(duì)角線交點(diǎn),AC=10cm,BD=18cm,AD=?12cm,則△BOC?的周長是_______

  2.如圖所示,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn),且AB≠BC,過O點(diǎn)作OE⊥AC,交BC于E,如果△ABE的周長為b,則平行四邊形ABCD的周長是()。

  AD

  BEC

  七、學(xué)以致用:

  證明:夾在兩條平行線間的平行線段相等。

  八、鞏固練習(xí):

  1、已知:如圖平行四邊形ABCD,E,F是直線BD上的兩點(diǎn),且∠E= ∠F。求證:AE=CFC

  2、已知:如圖,□ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線與AD,BC分別相交

  于點(diǎn)E, 求證:OE=

  F

  九、自我檢測(cè):

  1.在□ABCD中,∠A= 50 ?,則∠°

  2.如果□ABCD中,∠A+∠C=240°,則∠°

  3.如果□ABCD的周長為28cm,且AB:BC=2∶5,那么,cm,cm,.

  3、已知:如圖,AC,BD是□ABCD的兩條對(duì)角線,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F,求證:AE=

  十、能力提高:

  4、已知:在□ABCD中,點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上,且AF=CE.

  D

  線段BE與DF之間有什么關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.A

  若去掉題設(shè)中的AF=CE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使BE與DF有以上同樣的性質(zhì).B

證明平行四邊形4

  怎么證明平行四邊形在平行四邊形ABCD中,AE,CF,分別是∠DAB、∠BCD的平分線,E、F點(diǎn)分別在DC、AB上,求證:四邊形AFCE是平行四邊形 證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形;∴DC‖AB;∴∠EAF=∠DEA ∵AE,CF,分別是∠DAB、∠BCD的平分線;∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;∴∠EAF=∠CFB;∴AE‖CF;∵EC‖AF ∴四邊形AFCE是平行四邊形

  1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

  1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 2 1.畫個(gè)圓,里面畫個(gè)矩形2.假設(shè)圓里面的是平行四邊形3.因?yàn)閷?duì)邊平行,所以4個(gè)角相等4.平行四邊四個(gè)角之和等于360,除以4等于906.所以圓內(nèi)平行四邊形為矩形..3判定(前提:在同一平面內(nèi))(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形(注:僅以上五條為平行四邊形的判定定理,并非所有真命題都為判定定理,希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對(duì),如果對(duì)角相等,那么鄰角之和的二倍等于360°,那么鄰角之和等與180°,那么對(duì)邊平行,(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個(gè)四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(zhì)(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對(duì)邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分。(3)平行四邊形的對(duì)角相等,兩鄰角互補(bǔ)。(4)連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

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