高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計 篇1
高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計——函數(shù)的奇偶性
函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對函數(shù)概念的深化．它把自變量取相反數(shù)時函數(shù)值間的關(guān)系定量地聯(lián)系在一起，反映在圖像上為：偶函數(shù)的圖像關(guān)于ｙ軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱．這樣，就從數(shù)、形兩個角度對函數(shù)的奇偶性進行了定量和定性的分析．教材首先通過對具體函數(shù)的圖像及函數(shù)值對應(yīng)表歸納和抽象，概括出了函數(shù)奇偶性的準確定義．然后，為深化對概念的理解，舉出了奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)和非奇非偶函數(shù)的實例．最后，為加強前后聯(lián)系，從各個角度研究函數(shù)的性質(zhì)，講清了奇偶性和單調(diào)性的聯(lián)系．這節(jié)課的重點是函數(shù)奇偶性的定義，難點是根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性． 教學(xué)目標
1.通過具體函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的討論，體驗數(shù)學(xué)概念的建立過程，培養(yǎng)其抽象的概括能力．
2.理解、掌握函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的特征，并能初步應(yīng)用定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性．
3.在經(jīng)歷概念形成的過程中，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象概括能力，體驗數(shù)學(xué)既是抽象的又是具體的． 任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中雖沒學(xué)過，但已經(jīng)學(xué)習(xí)過具有奇偶性的具體的函數(shù)：正比例函數(shù)y＝kx，反比例函數(shù)，（k≠0），二次函數(shù)y＝ax，（a≠0），故可在此基礎(chǔ)上，引入奇、偶函數(shù)的概念，以便于學(xué)生理解．在引入概念時始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學(xué)生的認知規(guī)律，同時為闡述奇、偶函數(shù)的幾何特征埋下了伏筆．對于概念可從代數(shù)特征與幾何特征兩個角度去分析，讓學(xué)生理解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集；對于在有定義的奇函數(shù)y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)有f（x）＝0，x∈R．在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生了解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的矛盾概念———非奇非偶函數(shù)．關(guān)于單調(diào)性與奇偶性關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，可以取得理想效果． 教學(xué)設(shè)計
一、問題情景
1.觀察如下兩圖，思考并討論以下問題：
（1）這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征？
（2）相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？ 可以看到兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對稱．從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到，當自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相同．
對于函數(shù)f（x）＝x，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事實上，對于R內(nèi)任意的一個x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此時，稱函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)．
2.觀察函數(shù)f（x）＝x和f（x）＝ 的圖像，并完成下面的兩個函數(shù)值對應(yīng)表，然后說出這兩個函數(shù)有什么共同特征．
22可以看到兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于原點對稱．函數(shù)圖像的這個特征，反映在解析式上就是：當自變量ｘ取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）也是一對相反數(shù)，即對任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此時，稱函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)．
二、建立模型
由上面的分析討論引導(dǎo)學(xué)生建立奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義 1.奇、偶函數(shù)的定義
如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（－x）＝－f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作奇函數(shù)．如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作偶函數(shù)．
2.提出問題，組織學(xué)生討論
（1）如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函數(shù)嗎？（f（x）不一定是偶函數(shù)）
（2）奇、偶函數(shù)的圖像有什么特征？
（奇、偶函數(shù)的圖像分別關(guān)于原點、y軸對稱）（3）奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？（奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱）
三、解釋應(yīng)用 ［例 題］
1.判斷下列函數(shù)的奇偶性．
注：①規(guī)范解題格式；②對于（5）要注意定義域x∈（－1，1］．
2.已知：定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表達式．
解：（1）任取x＜0，則－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．
（2）當x＝0時，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．
3.已知：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（－∞，0）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解：先結(jié)合圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，證明如下：
任取x1＞x2＞0，則－x1＜－x2＜0．
∵f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)，∴f（－x1）＞f（－x2）． 又f（x）是偶函數(shù)，∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)．
思考：奇函數(shù)或偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性有何關(guān)系？
［練習(xí)］
1.已知：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在［a，b］上是增函數(shù)（b＞a＞0），問f（x）在［－b，－a］上的單調(diào)性如何．
（x）＝－x3｜x｜的大致圖像可能是（）
3.函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），當a，b，c滿足什么條件時，（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)． 4.設(shè)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．
四、拓展延伸
1.有既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎？若有，有多少個？ 2.設(shè)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，試研究：（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．
3.已知a∈R，f（x）＝a－ ，試確定a的值，使f（x）是奇函數(shù)．
4.一個定義在Ｒ上的函數(shù)，是否都可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式？
高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計 篇2
函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對函數(shù)概念的深化。它把自變量取相反數(shù)時函數(shù)值間的關(guān)系定量地聯(lián)系在一起，反映在圖像上為：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱。這樣，就從數(shù)、形兩個角度對函數(shù)的奇偶性進行了定量和定性的分析。
教材首先通過對具體函數(shù)的圖像及函數(shù)值對應(yīng)表歸納和抽象，概括出了函數(shù)奇偶性的準確定義。然后，為深化對概念的理解，舉出了奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)和非奇非偶函數(shù)的實例。最后，為加強前后聯(lián)系，從各個角度研究函數(shù)的性質(zhì)，講清了奇偶性和單調(diào)性的聯(lián)系。這節(jié)課的重點是函數(shù)奇偶性的定義，難點是根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性。
教學(xué)目標
1、通過具體函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的討論，體驗數(shù)學(xué)概念的建立過程，培養(yǎng)其抽象的概括能力。
2、理解、掌握函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的特征，并能初步應(yīng)用定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性。
3、在經(jīng)歷概念形成的過程中，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象概括能力，體驗數(shù)學(xué)既是抽象的又是具體的。
任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中雖沒學(xué)過，但已經(jīng)學(xué)習(xí)過具有奇偶性的具體的函數(shù)：正比例函數(shù)y=kx，反比例函數(shù) ，k≠0，二次函數(shù)y=ax，a≠0，故可在此基礎(chǔ)上，引入奇、偶函數(shù)的概念，以便于學(xué)生理解。在引入概念時始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學(xué)生的認知規(guī)律，同時為闡述奇、偶函數(shù)的幾何特征埋下了伏筆。
對于概念可從代數(shù)特征與幾何特征兩個角度去分析，讓學(xué)生理解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集；對于在有定義的奇函數(shù)y=fx，一定有f0=0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)有fx=0，x∈R在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生了解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的矛盾概念———非奇非偶函數(shù)。關(guān)于單調(diào)性與奇偶性關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，可以取得理想效果。
教學(xué)設(shè)計
一、問題情景
1、觀察如下兩圖，思考并討論以下問題：
（1）這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征？
（2）相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？
可以看到兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對稱。
從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到，當自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相同。
對于函數(shù)fx=x，有f3=9=f3，f2=4=f2，f1=1=f1。事實上，對于R內(nèi)任意的一個x，都有fx=x2=x2=fx。此時，稱函數(shù)y=x2為偶函數(shù)。
2、觀察函數(shù)fx=x和fx= 的圖像，并完成下面的兩個函數(shù)值對應(yīng)表，然后說出這兩個函數(shù)有什么共同特征。
可以看到兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于原點對稱。函數(shù)圖像的這個特征，反映在解析式上就是：當自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值fx也是一對相反數(shù)，即對任一x∈R都有fx=fx。此時，稱函數(shù)y=fx為奇函數(shù)。
二、建立模型
由上面的分析討論引導(dǎo)學(xué)生建立奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義
1奇、偶函數(shù)的定義
如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個x，都有fx=fx，那么函數(shù)fx就叫作奇函數(shù)。如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個x，都有fx=fx，那么函數(shù)fx就叫作偶函數(shù)。
2、提出問題，組織學(xué)生討論
（1）如果定義在R上的函數(shù)fx滿足f2=f2，那么fx是偶函數(shù)嗎？ fx不一定是偶函數(shù)
（2）奇、偶函數(shù)的圖像有什么特征？
（奇、偶函數(shù)的圖像分別關(guān)于原點、y軸對稱）
3奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？ （奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱）
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1、判斷下列函數(shù)的奇偶性。
注：①規(guī)范解題格式；
②對于5要注意定義域x∈1，1]。
2、已知：定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，當x>0時，fx=x1+x，求fx的表達式。
解：1任取x<0，則x>0，∴fx=x1x，
而fx是奇函數(shù)，∴fx=fx。∴fx=x1x。
（2）當x=0時，f0=f0，∴f0=f0，故f0=0
3、已知：函數(shù)f（x是偶函數(shù)，且在∞，0上是減函數(shù)，判斷fx在0，+∞）上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。
解：先結(jié)合圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，猜想f（x在0，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下：
任取x1>x2>0，則x1 ∵fx在∞，0上是減函數(shù)，∴fx1>fx2。 又fx是偶函數(shù)，∴fx1>fx2。 ∴f（x在0，+∞）上是增函數(shù)。 思考：奇函數(shù)或偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性有何關(guān)系？ [練習(xí)] 1、已知：函數(shù)fx是奇函數(shù)，在[a，b]上是增函數(shù)b>a>0，問fx在[b，a]上的單調(diào)性如何。 2fx=x3|x|的大致圖像可能是 3、函數(shù)fx=ax2+bx+c，a，b，c∈R，當a，b，c滿足什么條件時，1函數(shù)fx是偶函數(shù)。2函數(shù)fx是奇函數(shù)。 4設(shè)fx，gx分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且fx+gx=xx+1，求fx，gx的解析式。 四、拓展延伸 1、有既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎？若有，有多少個？ 2設(shè)fx，gx分別是R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，試研究： 1Fx=fx·gx的奇偶性。 2Gx=|fx|+gx的奇偶性。 3、已知a∈R，fx=a ，試確定a的值，使fx是奇函數(shù)。 4、一個定義在R上的函數(shù)，是否都可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式？ 2011年陜西師范大學(xué)家教資格考試 教學(xué)設(shè)計 題目：《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計 考生姓名：趙春麗 設(shè)計科目：數(shù)學(xué) 學(xué) 號： 專業(yè)班級：數(shù)學(xué)四班 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計 學(xué)科：數(shù)學(xué) 年級：高二 課題名稱：等差數(shù)列 一、課程說明 (一)教材分析：此次一對一家教所使用教材為北師大版高中數(shù)學(xué)必修5。輔導(dǎo)內(nèi)容為第一章第二節(jié)等差數(shù)列。前一節(jié)的內(nèi)容為數(shù)列，學(xué)生已初步了解到數(shù)列的概念，知道什么是首項，什么是通項等等。以及了解到什么是遞增數(shù)列，什么是遞減數(shù)列。通過第一節(jié)的學(xué)習(xí)的鋪墊，可以讓學(xué)生更自主的探究，學(xué)習(xí)等差數(shù)列。而我也是在這些基礎(chǔ)上為她講解第二節(jié)等差數(shù)列。(二)學(xué)生分析:此次所帶學(xué)生是一名高二的學(xué)生。聰明但是不踏實，做題浮躁?；A(chǔ)知識掌握不夠牢靠，知識的運用能力較差，分析能力較弱，解題思路不清。每次她遇到會的題，就快快的草率做完，總會有因馬虎而犯的錯誤。遇到稍不會的，總是很浮躁，不能冷靜下來慢慢思考。就由略不會變成不會。但她也是個虛心聽教的孩子，給她講課，她也會很認真地聽講。(三)教學(xué)目標： 1.通過教與學(xué)的配合，讓她能夠懂得什么是等差數(shù)列，以及等差數(shù)列的通項公式。 2.通過對公式的推導(dǎo)，讓她加深對內(nèi)容的理解，以及學(xué)會自己對公式的推導(dǎo)。并且能夠靈活運用。 3.在教學(xué)中讓她通過對公式的推導(dǎo)來明白推理的藝術(shù)，并且培養(yǎng)她學(xué)習(xí)，做題條理清晰，思路縝密的好習(xí)慣。 4.讓她在學(xué)習(xí)，做題中一步步抽絲剝繭，尋找解決問題的方法，培養(yǎng)她敢于面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并培養(yǎng)她對克服困難和運用知識。耐心地解決問題。 5.讓她在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的獨特的美，能夠愛上數(shù)學(xué)這門課。并且認真對待，自主學(xué)習(xí)。(四)教學(xué)重點: 1.讓學(xué)生正確掌握等差數(shù)列及其通項公式，以及其性質(zhì)。并能獨立的推導(dǎo)。 2.能夠靈活運用公式并且能把相應(yīng)公式與題相結(jié)合。 (五)教學(xué)難點： 1.讓學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)及其意義。 2.如何把所學(xué)知識運用到相應(yīng)的題中。 二、課前準備 (一)教學(xué)器材 對于一對一教教采用傳統(tǒng)講課。一張掛歷。 (二)教學(xué)方法 通過對生活中的有規(guī)律數(shù)據(jù)的觀察來提出問題，讓學(xué)生結(jié)合前一節(jié)所學(xué)，思考有什么規(guī)律。從生活中著手有利于激發(fā)學(xué)生的興趣愛好，并能更積極地學(xué)習(xí)。讓學(xué)生先獨立的思考，不僅能讓她對所學(xué)知識映像更為深刻，并且培養(yǎng)她的縝密思維。讓她回答后，我再幫助她糾正，并且讓她提出心中所慮。經(jīng)過我給她講完課后，讓她回答自己先前的疑慮。并且讓她自己總結(jié)，得出結(jié)論。最后讓她勤加練習(xí)。以一種“提出問題—探究問題—學(xué)習(xí)知識—解答問題—得出結(jié)論—強加訓(xùn)練”的模式方法展開教學(xué)。 (三)課時安排 課時大致分為五部分： 1.聯(lián)系實際提出相關(guān)問題，進行思考。 2.以我教她學(xué)的模式講授相關(guān)章節(jié)知識。 3.讓學(xué)生練習(xí)相關(guān)習(xí)題，從所學(xué)知識中找其相應(yīng)解題方案。 4.學(xué)生對知識總結(jié)概括，我再對其進行補充說明。5.布置作業(yè)，讓她課后多做練習(xí)。 三、課程設(shè)計 (一)提出問題 【引入】根據(jù)我們的掛歷上，一個月的日期數(shù)。通過觀察每一行日期和每一列日期它們有什么規(guī)律？ 思考 1)2)3)1,3,5,7,9.......2,4,6,8,10.......6,6,6,6,6......這些每一行有什么規(guī)律？ (二)分析問題并講解 1.通過觀察每一個數(shù)與前一個數(shù)相差為同一個常數(shù)。再結(jié)合前一節(jié)所學(xué)數(shù)列的定義總結(jié)出“每一項與前一項的差為同一個常數(shù)，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列?！辈⑶业贸觥斑@個常數(shù)為等差數(shù)列的公差。” 2.設(shè)首項為 a1，公差為d。由思考題 1）2）3）可觀察出什么？由學(xué)生通過她的發(fā)現(xiàn)來推導(dǎo)總結(jié)出 an?a1?(n?1)d?nd?(a1?d 3.通過分析通項公式的特點，做下題（學(xué)生自己分析，思考來做。）例：已知在等差數(shù)列{an}中，a5??20,a20??35，試求出數(shù)列的通項公式？ 通過學(xué)生做題再分析總結(jié)，用詳細的語言講解總結(jié)等差數(shù)列的性質(zhì)： 等差數(shù)列{an}，{bn} 1) an?a1an?amd??(n?m?1,n,m?N?)。 n?1n?m2)若m?n?p?q(m,n,p,q?N?) p?q則2an?ap?aq。則am?an?ap?aq（反之不真）。3)若m?n,2m?4)am,am?k,am?2k,am?3k,??,am?nk也構(gòu)成等差數(shù)列，公差為kd。 5)a1?a2???am,am?1?am?2???a2m,a2m?1?a2m?2???a3m,?也構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為md。 26)數(shù)列{can差數(shù)列。7) ?d}為等差數(shù)列，{an?bn},{?an??bn??}為等a1?an?a2?an?1?a3?an?2???ak?an?1?k 讓學(xué)生根據(jù)所講性質(zhì)做練習(xí)題 練習(xí)： 1)a1?a4?a7?15，a2a4a6?45 {an}為等差數(shù)列，求an？ 2)已知等差數(shù)列{an}，a1?33，a7?75 求a2，a3，a4，a5，a6及an？ 4.由以上公式，性質(zhì)，讓學(xué)生總結(jié)。講解等差數(shù)列的定義。并且掌握數(shù)列的遞增，遞減與公差d的關(guān)系。5.總結(jié)，串講當日所學(xué) 給出題目：1?2?3?4??98?99?100 讓她求其和Sn，并思考如何快速計算？ (三)布置作業(yè) 1.總結(jié)當日所學(xué)。 2.做練習(xí)冊上章節(jié)習(xí)題。 3.根據(jù)當日所學(xué)以及課上所講求 的思考題，找出快速運算方法，并引導(dǎo)預(yù)習(xí)等差數(shù)列前n項和。 四、設(shè)計理念 以一種最簡便，易懂的方式讓學(xué)生來學(xué)習(xí)，一切以讓學(xué)生正確掌握知識，并能正確運用為理念。并能充分調(diào)動學(xué)生和家教老師的積極性為理念來設(shè)計。 五、教學(xué)設(shè)計反思 本節(jié)課教程內(nèi)容較難，是下一節(jié)等差數(shù)列前n項和的鋪墊。此節(jié)課學(xué)習(xí)通過聯(lián)系實際，把數(shù)學(xué)融入到生活中，從生活中探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。并提出問題，分析問題。把主動權(quán)交給學(xué)生，由她先獨立思考總結(jié)，再由我給她正確講解總結(jié)，然后再讓她做相應(yīng)練習(xí)題，課后再認真總結(jié)。這樣可以加強她學(xué)習(xí)的主動性，更有利于她對知識的消化，吸收。這種方法同時可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓她從自主學(xué)習(xí)中探索適合自己的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)她獨立思考的能力。讓她更深刻的了解知識內(nèi)涵，鞏固所學(xué)。使她能靈活運用所學(xué)。 教學(xué)設(shè)計要符合學(xué)生特點，才能更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。 等比數(shù)列的前n 項和 （第一課時） 一． 教材分析。 （1）教材的地位與作用：《等比數(shù)列的前 n 項和》選自《普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué) （5），是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思 想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 （2）從知識的體系來看：“等比數(shù)列的前 n 項和”是“等差數(shù)列及其前 n 項和”與“等比數(shù)列” 。內(nèi)容的延續(xù)、不僅加深對函數(shù)思想的理解，也為以后學(xué)數(shù)列的求和，數(shù)學(xué)歸納法等做好鋪墊 二．學(xué)情分析。 （1）學(xué)生的已有的知識結(jié)構(gòu)：掌握了等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式和求和公式與方法，等比數(shù)列的概念與通項公式。 （2）教學(xué)對象：高二理科班的學(xué)生，學(xué)習(xí)興趣比較濃 , 表現(xiàn)欲較強 , 邏輯思維能力也初步形成，具有一定的分析問題和解決問題的能力，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深 刻，因而片面、不夠嚴謹。 （3）從學(xué)生的認知角度來看： 學(xué)生很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前 n 項和從公式的形成、特點等方 面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于 q = 1 這一特殊情況，學(xué)生往往 容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。 三．教學(xué)目標。 根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)教材的特點和本班學(xué)生的認知規(guī)律，本節(jié)課的教學(xué)目標確定為：（1）知識技能目標————理解并掌握等比數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點，在此 基礎(chǔ)上，并能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。 （2）過程與方法目標————通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類 比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的--- 能力． （3）情感，態(tài)度與價值觀————培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，從探索中獲得成功的體驗，感受數(shù)學(xué)的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美。 四．重點 , 難點分析。 教學(xué)重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的運用。 教學(xué)難點：公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用中 q 與 1 的關(guān)系。 五．教法與學(xué)法分析.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢？建構(gòu)主義認為： “知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學(xué)的角度來理解就是： 知識不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而 獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。因此，本節(jié)課采用了啟發(fā)式和探究式相結(jié)合的教學(xué)方法，讓老師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性有機結(jié)合，使學(xué)生能夠愉快地自覺學(xué)習(xí)，通過學(xué)生自己觀察、分析、探索等步驟，自己發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，比較論證后得到一般性結(jié)論，形成完整的數(shù)學(xué)模型，再運用所得理論和方法去解決問題。一句話： 還課堂以生命力，還學(xué)生以活力。 六．課堂設(shè)計 （一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。（時間設(shè)定： 3 分鐘） [ 利用投影展示 ] 在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64 個方格上，第一格放 1 粒小麥，第二 格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64 格。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？ [設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié) 課的主題與重點 ] --- 提出問題 1：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù) 1 222 326 3（二）師生互動，探究問題 [5 分鐘 ] 提出問題 2：1+ 2+ 2 + 2 + +2 究竟等于多少呢 ?）有學(xué)生會說：用計算器來求（老師當然肯定這種做法，但學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)比較難求。提出問題 3：同學(xué)們，我們來分析一下這個和式有什么特征？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的 2 倍） 提出問題 4：如果我們把每一項都乘以 2，就變成了它的后一項，那么我們?nèi)粼诖说仁絻蛇呁?/p> 得到另一式： [ [ 利用投影展示 ] ...S6463 1 2 2 2.........(1) 2S64 22 2 42.......(2) 比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項） 提出問題 5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)： S 64 [ 這五個問題的設(shè)計意圖：層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學(xué)生容易接受為什么要錯 位相減，經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學(xué)生感受到這種方法的神奇 ] 這時，老師向同學(xué)們介紹錯位相減法，并 提出問題 6：同學(xué)們反思一下我們錯位相減法求此題的過程，為什 么（1）式兩邊要同乘以 2 呢？ [這個問題的設(shè)計意圖 :讓學(xué)生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo) 做好鋪墊 ] （三）類比聯(lián)想，解決問題。 [ 時間設(shè)定： 10 分鐘 ] 提出問題 7： 設(shè)等比數(shù)列 a a n 的首項為1, 公比為 q, 求它的前項和 Sn 即 S n a1 a2 a3 a n 學(xué)生開展合作學(xué)習(xí), 討論交流，老師巡視課堂，發(fā)現(xiàn)有典型解法的，叫同 學(xué)板書在黑板上。 [ 設(shè)計意圖：從特殊到一般 ,從模仿到創(chuàng)新 , 有利于學(xué)生的知識遷移和能力提高，讓學(xué)生在探索過程 中，充分感受到成功的情感體驗 ] --- 2，（四）分析比較，開拓思維。 [ 時間設(shè)定： 5 分鐘 ] 將不同的的方法進等行比分析數(shù)評列價。{根an據(jù)},學(xué)公生比的為認識q狀,況它，的可前能有n如下項幾和種方法： 錯位相減法 1： S n aa1 q a q a q n 2 a q n 1 qSn a1 q a1q (1 q)Sn a1等比數(shù)列 a1 q a1q a1 qna1q n2n1n 錯位相減法2{ an },公比為 a2 a2 q,它的前 n 項和 Sn a1 qS n a3 a3 a n 1a an an n 1 an q (1 q)Sna1 an q 等比數(shù)列 {an },公比為,它的前 n 項和 提出公比 q qSn a 1a2 a3 2S a a q a q n aa1 n 1n a q n2 a q 1 1 n1 1 1 a q(a a q 1a q n 1n n 3a q) n2 aq (Sn a1q) (1 q)Sn a1 a1 q累加法 等比數(shù)列 { an },公比為 ,它的前 n 項和 q aa n 1 Sn a1 a2 a3 n a2 a3 a4 an a2 a3 a1 q a2 q a3 q an 1q an q(a1 a2 a3 an 1) Sn a1 q(Sn an) (1 q)Sn a1anq 可能也有同學(xué)會想到由等比定理得 --- Sn a1 a2 a3 a2 a3 a1 a2 a2 a3 an aaan an n 1 q q 即 a1 a2 San n 1 1 an q Sn (1 q)Sn a1 anq 【設(shè)計意圖：共享學(xué)習(xí)成果，開拓了思維，感受數(shù)學(xué)的奇異美（五）．歸納提煉，構(gòu)建新知。[ 時間設(shè)定： 3 分鐘 ] 提出問題 8: 由 】 (1-q)s = aq 1？ q 1 時是什么數(shù)列？此時 Sn ？ 【設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認識，完善知識結(jié)構(gòu)，增強思維的嚴謹性】 ． 提出問題 9: 等比數(shù)列的前 n項和公式怎樣 ? a1(1 q) n, q 1 a1 an q Sn1 學(xué)生歸納出 Sn, q 1 1 q na1, q 1 q na1 , q 1 【設(shè)計意圖：向?qū)W生滲透分類討論數(shù)學(xué)思想，加深對公式特征的了解（六）層層深入，掌握新知。[ 時間設(shè)定： 15 分鐘 ] 】 基礎(chǔ)練習(xí)1已知 an 是等比數(shù)列 , 公比為 q (1)若a=,q=,則S 1 3 3n(2).則a1 2, q 1,則Sn 練習(xí)2 判斷是非 n 2 1 1(1 2) n(1).1-2+4-8+16- +-2 2 3 n 1(2) n 1(1 2) (2).1 2 1 2 8a(1 a) 1 a (3).a a a a 【設(shè)計意圖：通過兩道簡單題來剖析公式中的基本量．進行正反兩方面的“短、淺、快” 練習(xí)．通 --- 過總結(jié)、辨析和反思，強化公式的結(jié)構(gòu)特征． 】 例 1 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 , 完成下表 題號 a1（1）1/2（2）27 q 1/2 2/3 n an Sn （）-2-96 33【設(shè)計意圖：滲透方程思想.通過公式的正用和逆用進一步提高學(xué)生運用知識的能力 三求二 ”的題型 】 .掌握公式中 ”知 練習(xí)3：求等比數(shù)列 1, 1 , 1 , ，2 4 8 16 1 1 1 11前 8 項和； 變式 1、等比數(shù)列 2 , 4 , 8 ,16，前多少項的和是 64 ； 111變式 2、等比數(shù)列, , 1 , , 求第 5 項到第 10 項的和； 2 4 8 16 變式 3、等比數(shù)列 a,a,a，2 3a, 求前 2n 項中所有偶數(shù)項的和。 n （先由學(xué)生獨立求解，然后抽學(xué)生板演，教師巡視、指導(dǎo)，講評學(xué)生完成情況，尋找學(xué)生中的閃光 點，給予熱情表揚。) 【設(shè)計意圖：變式訓(xùn)練 ,深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學(xué)生的模式識別能力，滲透轉(zhuǎn)化思 想】． 練習(xí)4 有一位大學(xué)生畢業(yè)后到一家私營企業(yè)去工作，試用期過后，老板對這位大學(xué)生很欣賞，有意留下他，就讓這位大學(xué)生提出待遇方面的要求，這位學(xué)生提出了兩種方案讓老板選擇，其一： 工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一個月的工資為 20 元，以后每個月的工資是上月工資的 2 倍，此時，老板不假思索就選擇了第二種方案，于是他們之間就訂了一個勞動待遇合同。請你分析一下，老板的選擇是否正確？ 【設(shè)計意圖： 讓學(xué)生進一步認識到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)． 】 （七）總結(jié)歸納，加深理解。 [ 時間設(shè)定： 2 分鐘 ] （1）等比數(shù)列的求和公式是什么？應(yīng)用時要注意什么？（2）用什么方法可以推導(dǎo)了等比數(shù)列的求和公式？ 【設(shè)計意圖：形成知識模塊，從知識的歸納延伸到思想方法的提煉，優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)】 （八）課后作業(yè)，鞏固提高。 [ 時間設(shè)定： 1 分鐘 ] 必做：（1）P66練習(xí)1 --- 研究性作業(yè)：請上網(wǎng)查閱“芝諾悖論” 選做：求和： 1 2 2 22 3 23 4 24 n 2n 【設(shè)計意圖：為了使所有學(xué)生鞏固所學(xué)知識，布置了“必做題” ；“選做題”又為學(xué)有余力者留有自 ．】 由發(fā)展的空間，布置了“探究題”以利于學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生的視野 七、教學(xué)反思： 本節(jié)課立足課本，著力挖掘，設(shè)計合理，層次分明。充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括和探究能力，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學(xué)原則，通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，使學(xué)生在問題解決的探索過程中，由學(xué)會走向會學(xué)，由被動答題走向主動探究。在教學(xué)思想上既注重知識形成過程的教學(xué)，還特別突出學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，探究 能力的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體驗求知的樂趣。 --- 1、集合與函數(shù)概念實習(xí)作業(yè) 一、教學(xué)內(nèi)容分析 《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)（1）》（人教A版）第44頁。——《實習(xí)作業(yè)》。本節(jié)課程體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的特色，學(xué)生通過了解函數(shù)的發(fā)展歷史進一步感受數(shù)學(xué)的魅力。學(xué)生在自己動手收集、整理資料信息的過程中，對函數(shù)的概念有更深刻的理解；感受新的學(xué)習(xí)方式帶給他們的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。 二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 該內(nèi)容在《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)（1）》（人教A版）第44頁。學(xué)生第一次完成《實習(xí)作業(yè)》，積極性高，有熱情和新鮮感，但缺乏經(jīng)驗，所以需要教師精心設(shè)計，做好準備工作，充分體現(xiàn)教師的“導(dǎo)演”角色。特別在分組時注意學(xué)生的合理搭配（成績的好壞、家庭有無電腦、男女生比例、口頭表達能力等），選題時，各組之間盡量不要重復(fù)，盡量多地選不同的題目，可以讓所有的學(xué)生在學(xué)習(xí)共享的過程中受到更多的數(shù)學(xué)文化的熏陶。 三、設(shè)計思想 《標準》強調(diào)數(shù)學(xué)文化的重要作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化的價值。數(shù)學(xué)教育不僅應(yīng)該幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識和技能，還應(yīng)該有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價值。讓學(xué)生逐步了解數(shù)學(xué)的思想方法、理性精神，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，以及數(shù)學(xué)文明的深刻內(nèi)涵。 四、教學(xué)目標 1、了解函數(shù)概念的形成、發(fā)展的歷史以及在這個過程中起重大作用的歷史事件和人物； 2、體驗合作學(xué)習(xí)的方式，通過合作學(xué)習(xí)品嘗分享獲得知識的快樂； 3、在合作形式的小組學(xué)習(xí)活動中培養(yǎng)學(xué)生的領(lǐng)導(dǎo)意識、社會實踐技能和民主價值觀。 五、教學(xué)重點和難點 重點：了解函數(shù)在數(shù)學(xué)中的核心地位，以及在生活里的廣泛應(yīng)用； 難點：培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力以及收集和處理信息的能力。 六、教學(xué)過程設(shè)計 【課堂準備】 1、分組：4～6人為一個實習(xí)小組，確定一人為組長。教師需要做好協(xié)調(diào)工作，確保每位學(xué)生都參加。 2、選題：根據(jù)個人興趣初步確定實習(xí)作業(yè)的題目。教師應(yīng)該到各組中去了解選題情況，盡量多地選擇不同的題目。 教學(xué)目標： 1、了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系。 2、會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。 3、在嘗試、探索求反函數(shù)的過程中，深化對概念的認識，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法的認識。 4、進一步完善學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，用辯證的觀點分析問題，培養(yǎng)抽象、概括的能力。 教學(xué)重點： 求反函數(shù)的方法。 教學(xué)難點： 反函數(shù)的概念。 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 1、復(fù)習(xí)提問 ?、俸瘮?shù)的概念 ?、趛=f（x）中各變量的意義 2、同學(xué)們在物理課學(xué)過勻速直線運動的位移和時間的函數(shù)關(guān)系，即S=vt和t=（其中速度v是常量），在S=vt中位移S是時間t的函數(shù)；在t=中，時間t是位移S的函數(shù)。在這種情況下，我們說t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù)。什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。 3、板書課題 由實際問題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，展示了教學(xué)目標。這樣既可以撥去"反函數(shù)"這一概念的神秘面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性。 二、實例分析，組織探究 1、問題組一： ?。?）這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？這兩組函數(shù)有什么關(guān)系？ （2）由，已知y能否求x？ （3）是否是一個函數(shù)？它與有何關(guān)系？ ?。?）與有何聯(lián)系？ 2、問題組二： （1）函數(shù)y=2x1（x是自變量）與函數(shù)x=2y1（y是自變量）是否是同一函數(shù)？ ?。?）函數(shù)（x是自變量）與函數(shù)x=2y1（y是自變量）是否是同一函數(shù)？ ?。?）函數(shù)（）的定義域與函數(shù)（）的值域有什么關(guān)系？ 3、滲透反函數(shù)的概念。 ?。ń處燑c明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點） 從學(xué)生熟知的函數(shù)出發(fā)，抽象出反函數(shù)的概念，符合學(xué)生的認知特點，有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力。 通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在"最近發(fā)展區(qū)"設(shè)計問題，使學(xué)生對反函數(shù)有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)。 三、師生互動，歸納定義 1、（根據(jù)上述實例，教師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義） 函數(shù)y=f（x）（x∈A）中，設(shè)它的值域為C。我們根據(jù)這個函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=j（y）。如果對于y在C中的任何一個值，通過x=j（y），x在A中都有的值和它對應(yīng)，那么，x=j（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)。這樣的函數(shù)x=j（y）（y∈C）叫做函數(shù)y=f（x）（x∈A）的反函數(shù)。記作：。考慮到"用x表示自變量，y表示函數(shù)"的習(xí)慣，將中的x與y對調(diào)寫成。 2、引導(dǎo)分析： 1）反函數(shù)也是函數(shù)； 2）對應(yīng)法則為互逆運算； 3）定義中的"如果"意味著對于一個任意的函數(shù)y=f（x）來說不一定有反函數(shù)； 4）函數(shù)y=f（x）的定義域、值域分別是函數(shù)x=f（y）的值域、定義域； 5）函數(shù)y=f（x）與x=f（y）互為反函數(shù)； 6）要理解好符號f； 7）交換變量x、y的原因。 3、兩次轉(zhuǎn)換x、y的對應(yīng)關(guān)系 ?。ㄔ瘮?shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y是等價的，原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價的） 四、應(yīng)用解題，總結(jié)步驟 1、（投影例題） 【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù) ?。?）y=3x—1（2）y=x1 【例2】求函數(shù)的反函數(shù)。 ?。ń處煱鍟}過程后，由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟。） 2、總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟： 1、由y=f（x）反解出x=f（y）。 2、把x=f（y）中x與y互換得。 3、寫出反函數(shù)的定義域。 【例3】（1）有沒有反函數(shù)？ ?。?）的反函數(shù)是。 （3）（x<0）的反函數(shù)是。 在上述探究的基礎(chǔ)上，揭示反函數(shù)的定義，學(xué)生有針對性地體會定義的特點，進而對定義有更深刻的認識，與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生矛盾沖突，體會反函數(shù)。在剖析定義的過程中，讓學(xué)生體會函數(shù)與方程、一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，并對數(shù)學(xué)的符號語言有更好的把握。 通過動畫演示，表格對照，使學(xué)生對反函數(shù)定義從感性認識上升到理性認識，從而消化理解。 通過對具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用，并及時歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生分析、思考的習(xí)慣，以及歸納總結(jié)的能力。 題目的設(shè)計遵循了從了解到理解，從掌握到應(yīng)用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進。并體現(xiàn)了對定義的反思理解。學(xué)生思考練習(xí)，師生共同分析糾正。 五、鞏固強化，評價反饋 1、已知函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)，求它的反函數(shù)y=f（x） ?。?）y=—2x3（xR）（2）y=—（xR，且x） ?。?）y=（xR，且x） 2、已知函數(shù)f（x）=（xR，且x）存在反函數(shù)，求f（7）的值。 六、反思小結(jié)，再度設(shè)疑 本節(jié)課主要研究了反函數(shù)的定義，以及反函數(shù)的求解步驟?；榉春瘮?shù)的兩個函數(shù)的圖象到底有什么特點呢？為什么具有這樣的特點呢？我們將在下節(jié)研究。 進一步強化反函數(shù)的概念，并能正確求出反函數(shù)。反饋學(xué)生對知識的掌握情況，評價學(xué)生對學(xué)習(xí)目標的落實程度。具體實踐中可采取同學(xué)板演、分組競賽等多種形式調(diào)動學(xué)生的積極性。"問題是數(shù)學(xué)的心臟"學(xué)生帶著問題走進課堂又帶著新的問題走出課堂。 七、作業(yè) 習(xí)題第1題，第2題 進一步鞏固所學(xué)的知識。 教學(xué)設(shè)計說明 "問題是數(shù)學(xué)的心臟"。一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過具體到抽象，感性到理性的過程。本節(jié)教案通過一個物理學(xué)中的具體實例引入反函數(shù)，進而又通過若干函數(shù)的圖象進一步加以誘導(dǎo)剖析，最終形成概念。 反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點，原因是其本身較為抽象，經(jīng)過兩次代換，又采用了抽象的符號。由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念。為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示，進而探究原因，尋找規(guī)律，程序是從問題出發(fā)，研究性質(zhì)，進而得出概念，這正是數(shù)學(xué)研究的順序，符合學(xué)生認知規(guī)律，有助于概念的建立與形成。另外，對概念的剖析以及習(xí)題的配備也很精當，通過不同層次的問題，滿足學(xué)生多層次需要，起到評價反饋的作用。通過對函數(shù)與方程的分析，互逆探索，動畫演示，表格對照、學(xué)生討論等多種形式的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分調(diào)動了學(xué)生的探求欲，在探究與剖析的過程中，完善學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。使學(xué)生自然成為學(xué)習(xí)的主人。 一、目標 1.知識與技能 (1)理解流程圖的順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)。 (2)能用字語言表示算法，并能將算法用順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)表示簡單的流程圖 2.過程與方法 學(xué)生通過模仿、操作、探索、經(jīng)歷設(shè)計流程圖表達解決問題的過程，理解流程圖的結(jié)構(gòu)。 3情感、態(tài)度與價值觀 學(xué)生通過動手作圖，.用自然語言表示算法，用圖表示算法。進一步體會算法的基本思想——程序化思想，在歸納概括中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。 二、重點、難點 重點：算法的順序結(jié)構(gòu)與選擇結(jié)構(gòu)。 難點：用含有選擇結(jié)構(gòu)的流程圖表示算法。 三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：學(xué)生通過動手作圖，.用自然語言表示算法，用圖表示算法，體會到用流程圖表示算法，簡潔、清晰、直觀、便于檢查，經(jīng)歷設(shè)計流程圖表達解決問題的過程。進而學(xué)習(xí)順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)表示簡單的流程圖。 教學(xué)用具：尺規(guī)作圖工具，多媒體。 四、教學(xué)思路 ?。ㄒ唬栴}引入 揭示題 例1 尺規(guī)作圖，確定線段的一個5等分點。 要求：同桌一人作圖，一人寫算法，并請學(xué)生說出答案。 提問：用字語言寫出算法有何感受？ 引導(dǎo)學(xué)生體驗到：顯得冗長，不方便、不簡潔。 教師說明：為了使算法的表述簡潔、清晰、直觀、便于檢查，我們今天學(xué)習(xí)用一些通用圖型符號構(gòu)成一張圖即流程圖表示算法。 本節(jié)要學(xué)習(xí)的是順序結(jié)構(gòu)與選擇結(jié)構(gòu)。 右圖即是同流程圖表示的算法。 ?。ǘ?、觀察類比 理解題 1、 投影介紹流程圖的符號、名稱及功能說明。 符號 符號名稱 功能說明 終端框 算法開始與結(jié)束 處理框 算法的各種處理操作 判斷框 算法的各種轉(zhuǎn)移 輸入輸出框 輸入輸出操作 指向線 指向另一操作 2、講授順序結(jié)構(gòu)及選擇結(jié)構(gòu)的概念及流程圖 (1)順序結(jié)構(gòu) 依照步驟依次執(zhí)行的一個算法 流程圖： (2)選擇結(jié)構(gòu) 對條進行判斷決定后面的步驟的結(jié)構(gòu) 流程圖： 3.用自然語言表示算法與用流程圖表示算法的比較 ?。?）半徑為r的圓的面積公式 當r=10時寫出計算圓的面積的算法，并畫出流程圖。 解： 算法(自然語言) ①把10賦與r ?、谟霉?求s ?、圯敵鰏 流程圖 （2） 已知函數(shù) 對于每輸入一個X值都得到相應(yīng)的函數(shù)值，寫出算法并畫流程圖。 算法：（語言表示） ?、?輸入X值 ?、谂袛郮的范圍，若 ，用函數(shù)Y=x+1求函數(shù)值；否則用Y=2-x求函數(shù)值 ?、圯敵鯵的值 流程圖 小結(jié)：含有數(shù)學(xué)中需要分類討論的或與分段函數(shù)有關(guān)的問題，均要用到選擇結(jié)構(gòu)。 學(xué)生觀察、類比、說出流程圖與自然語言對比有何特點？（直觀、清楚、便于檢查和交流） ?。ㄈ┠７虏僮?經(jīng)歷題 1.用流程圖表示確定線段的一個16等分點 2.分析講解例2； 分析： 思考：有多少個選擇結(jié)構(gòu)？相應(yīng)的流程圖應(yīng)如何表示？ 流程圖： ?。ㄋ模w納小結(jié) 鞏固題 1.順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)的模式是怎樣的？ 2.怎樣用流程圖表示算法。 （五）練習(xí)Ｐ99 2 ?。┳鳂I(yè)P99 1 教學(xué)目標 1.明確等差數(shù)列的定義. 2.掌握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題 3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力. 教學(xué)重點 1. 等差數(shù)列的概念; 2. 等差數(shù)列的通項公式 教學(xué)難點 等差數(shù)列“等差”特點的理解、把握和應(yīng)用 教具準備 投影片1張 教學(xué)過程 (I)復(fù)習(xí)回顧 師：上兩節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面看一些例子。(放投影片) (Ⅱ)講授新課 師：看這些數(shù)列有什么共同的特點? 1，2，3，4，5，6; ① 10，8，6，4，2，…; ② 生：積極思考，找上述數(shù)列共同特點。 對于數(shù)列①(1≤n≤6);(2≤n≤6) 對于數(shù)列②-2n(n≥1)(n≥2) 對于數(shù)列③(n≥1)(n≥2) 共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)。 師：也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)。 一、定義： 等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與空的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3個數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是1，-2， 。 二、等差數(shù)列的`通項公式 師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得。若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得： 若將這n-1個等式相加，則可得： 即：即：即：…… 由此可得：師：看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。 如數(shù)列①(1≤n≤6) 數(shù)列②：(n≥1) 數(shù)列③：(n≥1) 由上述關(guān)系還可得：即：則：=如：三、例題講解 例1：(1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項 (2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項?如果是，是第幾項? 解：(1)由n=20，得(2)由得數(shù)列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。 (Ⅲ)課堂練習(xí) 生：(口答)課本P118練習(xí)3 (書面練習(xí))課本P117練習(xí)1 師：組織學(xué)生自評練習(xí)(同桌討論) (Ⅳ)課時小結(jié) 師：本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義。 即(n≥2) ?、诘炔顢?shù)列通項公式 (n≥1) 推導(dǎo)出公式：(V)課后作業(yè) 一、課本P118習(xí)題 1，2 二、1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P116例2P117例4 2.預(yù)習(xí)提綱： ?、偃绾螒?yīng)用等差數(shù)列的定義及通項公式解決一些相關(guān)問題? ②等差數(shù)列有哪些性質(zhì)? 教學(xué)目標： 1、使學(xué)生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各種表示法； 2、通過觀察、操作培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和動手操作能力。 3、使學(xué)生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化 4、采用自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法，培養(yǎng)學(xué)生主動參與、勇于探究的精神。 教學(xué)重點： 理解角的概念，掌握角的三種表示方法 教學(xué)難點： 掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化 教學(xué)手段： 教具：電腦課件、實物投影、量角器 學(xué)具：量角器需測量的角 教學(xué)過程： 一、建立角的概念 （一）引入角（利用課件演示） 1、從生活中引入 提問： A、以前我們曾經(jīng)認識過角，那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎？ B、在我們的生活當中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角？ 2、從射線引入 提問： A、昨天我們認識了射線，想從一點可以引出多少條射線？ B、如果從一點出發(fā)任意取兩條射線，那出現(xiàn)的是什么圖形？ C、哪兩條射線可以組成一個角？誰來指一指。 ?。ǘ┱J識角，總結(jié)角的定義 3、 過渡：角是怎么形成的呢？一起看 ?。?）、演示：老師在這畫上一個點，現(xiàn)在從這點出發(fā)引出一條射線，再從這點出發(fā)引出第二條射線。 提問：觀察從這點引出了幾條射線？此時所組成的圖形是什么圖形？ （2）、判斷下列哪些圖形是角。 （√） （×） （√） （×） （√） 為何第二幅和第四幅圖形不是角？（學(xué)生回答） 誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角？ 總結(jié)：有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角（angle） 角的第二定義：角也可以看做由一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.如下圖中的角，可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊，OB叫做角的終邊. B 0 A 4、認識角的各部分名稱，明確頂點、邊的作用 ?。?）觀看角的圖形提問：這個點叫什么？這兩條射線叫什么？（學(xué)生邊說師邊標名稱） ?。?）角可以畫在本上、黑板上，那角的位置是由誰決定的? ?。?）頂點可以確定角的位置，從頂點引出的兩條邊可以組成一個角。 5、學(xué)會用符號表示角 提問：那么,角的符號是什么?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示) ?。?）可以標上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA. ?。?）觀察這兩種方法,有什么特點?(字母B都在中間) ?。?）所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B （4）為了方便,有時我們還可以標上數(shù)字,寫作∠1,讀作:角1 ?。?）注:區(qū)別 “∠”和“<”的不同。請同學(xué)們指著用學(xué)具折出的一個角,訓(xùn)練一下這三種讀法。 6、強調(diào)角的大小與兩邊張開的程度有關(guān)，與兩條邊的長短無關(guān)。 二、 角的度量 1、學(xué)習(xí)角的度量 ?。?）教學(xué)生認識量角器 (2) 認識了量角器，那怎樣使用它去測量角的度數(shù)呢？這部分知識請同學(xué)們合作學(xué)習(xí)。 提出要求：小組合作邊學(xué)習(xí)測量方法邊嘗試測量 第一個角，想想有幾種方法？ 1、要求合作學(xué)習(xí)探究、測量。 2、反饋匯報：學(xué)生邊演示邊復(fù)述過程 3、教師利用課件演示正確的操作過程，糾正學(xué)生中存在的.問題。 4、歸納概括測量方法（兩重合一對） （1）用量角器的中心點與角的頂點重合 ?。?）零刻度線與角的一邊重合（可與內(nèi)零度刻度線重合；也可與外零度刻度線重合） ?。?）另一條邊所對的角的度數(shù)，就是這個角的度數(shù)。 5、小結(jié)：同一個角無論是用內(nèi)刻度量角，還是用外刻度量角，結(jié)果都一樣。 6、獨立練習(xí)測量角的度數(shù)（書做一做中第一題1，3與第二題） ?。?） 獨立測量，師注意查看學(xué)生中存在的問題。 ?。?） 課件演示糾正問題 三、度、分、秒的進位制及這些單位間的互化 為了更精細地度量角，我們引入更小的角度單位：分、秒.把1°的角等分成60份，每份叫做1分記作1′；把1′的角再等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒記作1″. 1°=60′，1′=60″； 1′=（ ）°，1″=（ ）′. 例1 將°用度、分、秒表示. 解：先把°化為分， °=60′×=′. 再把′化為秒， ′=60″×=12″. 所以 ″=57°19′12″. 例2 把10°6′36″用度表示. 解：先把36″化為分， 36″=（ ）′×36=′ 6′+′=′. 再把′化為度， ′=（ ）°×=°. 所以 10°6′36″=1°. 四、鞏固練習(xí) 課本P122練習(xí) 五、總結(jié)：請大家回憶一下，今天都學(xué)了那些知識，通過學(xué)習(xí)你想說些什么？ 六、作業(yè)：課本P123 3、4.（1）（3）、5.（2）（4） 教學(xué)目標： 1.了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系. 2.會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù). 3.在嘗試、探索求反函數(shù)的過程中，深化對概念的認識，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法的認識. 4.進一步完善學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，用辯證的觀點分析問題，培養(yǎng)抽象、概括的能力. 教學(xué)重點：求反函數(shù)的方法. 教學(xué)難點：反函數(shù)的概念. 教學(xué)過程： 教學(xué)活動 設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 1.復(fù)習(xí)提問 ?、俸瘮?shù)的概念 ②y=f(x)中各變量的意義 2.同學(xué)們在物理課學(xué)過勻速直線運動的位移和時間的函數(shù)關(guān)系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt 中位移S是時間t的函數(shù);在t=中，時間t是位移S的函數(shù).在這種情況下，我們說t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù).什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 3.板書課題 由實際問題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，展示了教學(xué)目標.這樣既可以撥去"反函數(shù)"這一概念的神秘面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性. 二、實例分析，組織探究 1.問題組一： (用投影給出函數(shù)與;與()的圖象) (1)這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數(shù)有什么關(guān)系?(生答：與的圖像關(guān)于直線y=x對稱;與()的圖象也關(guān)于直線y=x對稱.是求一個數(shù)立方的運算，而是求一個數(shù)立方根的運算，它們互為逆運算.同樣，與()也互為逆運算.) (2)由，已知y能否求x? (3)是否是一個函數(shù)?它與有何關(guān)系? (4)與有何聯(lián)系? 2.問題組二： (1)函數(shù)y=2x 1(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)? (2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)? (3)函數(shù) ()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關(guān)系? 3.滲透反函數(shù)的概念. (教師點明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點) 從學(xué)生熟知的函數(shù)出發(fā)，抽象出反函數(shù)的概念，符合學(xué)生的認知特點，有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力. 通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在"最近發(fā)展區(qū)"設(shè)計問題，使學(xué)生對反函數(shù)有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ). 三、師生互動，歸納定義 1.(根據(jù)上述實例，教師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義) 函數(shù)y=f(x)(x∈A) 中，設(shè)它的值域為 C.我們根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來，得到 x = j (y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過x = j (y)，x在A中都有的值和它對應(yīng)，那么, x = j (y)就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數(shù).這樣的函數(shù) x = j (y)(y ∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù).記作: .考慮到"用 x表示自變量, y表示函數(shù)"的習(xí)慣，將中的x與y對調(diào)寫成. 2.引導(dǎo)分析： 1)反函數(shù)也是函數(shù); 2)對應(yīng)法則為互逆運算; 3)定義中的"如果"意味著對于一個任意的函數(shù)y=f(x)來說不一定有反函數(shù); 4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域; 5)函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù); 6)要理解好符號f; 7)交換變量x、y的原因. 3.兩次轉(zhuǎn)換x、y的對應(yīng)關(guān)系 (原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y 是等價的，原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價的) 4.函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系 函數(shù)y=f(x) 函數(shù) 定義域 A C 值 域 C A 四、應(yīng)用解題，總結(jié)步驟 1.(投影例題) 【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y=3x-1 (2)y=x 1 【例2】求函數(shù)的反函數(shù). (教師板書例題過程后，由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟.) 2.總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟: 1° 由y=f(x)反解出x=f(y). 2° 把x=f(y)中 x與y互換得. 3° 寫出反函數(shù)的定義域. (簡記為：反解、互換、寫出反函數(shù)的定義域)【例3】(1)有沒有反函數(shù)? (2)的反函數(shù)是. (3)(x<0)的反函數(shù)是. 在上述探究的基礎(chǔ)上，揭示反函數(shù)的定義，學(xué)生有針對性地體會定義的特點，進而對定義有更深刻的`認識，與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生矛盾沖突，體會反函數(shù).在剖析定義的過程中，讓學(xué)生體會函數(shù)與方程、一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，并對數(shù)學(xué)的符號語言有更好的把握. 通過動畫演示，表格對照，使學(xué)生對反函數(shù)定義從感性認識上升到理性認識，從而消化理解. 通過對具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用，并及時歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生分析、思考的習(xí)慣，以及歸納總結(jié)的能力. 題目的設(shè)計遵循了從了解到理解，從掌握到應(yīng)用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進.并體現(xiàn)了對定義的反思理解.學(xué)生思考練習(xí)，師生共同分析糾正. 五、鞏固強化，評價反饋 1.已知函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù)，求它的反函數(shù) y =f( x) (1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x) ( 3 ) y=(xR,且x) 2.已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù)，求f(7)的值. 五、反思小結(jié)，再度設(shè)疑 本節(jié)課主要研究了反函數(shù)的定義，以及反函數(shù)的求解步驟.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象到底有什么特點呢?為什么具有這樣的特點呢?我們將在下節(jié)研究. (讓學(xué)生談一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會，教師適時點撥) 進一步強化反函數(shù)的概念，并能正確求出反函數(shù).反饋學(xué)生對知識的掌握情況，評價學(xué)生對學(xué)習(xí)目標的落實程度.具體實踐中可采取同學(xué)板演、分組競賽等多種形式調(diào)動學(xué)生的積極性."問題是數(shù)學(xué)的心臟"學(xué)生帶著問題走進課堂又帶著新的問題走出課堂. 六、作業(yè) 習(xí)題第1題，第2題 進一步鞏固所學(xué)的知識. 教學(xué)設(shè)計說明 "問題是數(shù)學(xué)的心臟".一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過具體到抽象，感性到理性的過程.本節(jié)教案通過一個物理學(xué)中的具體實例引入反函數(shù)，進而又通過若干函數(shù)的圖象進一步加以誘導(dǎo)剖析，最終形成概念. 反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點，原因是其本身較為抽象，經(jīng)過兩次代換，又采用了抽象的符號.由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念.為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示，進而探究原因，尋找規(guī)律，程序是從問題出發(fā)，研究性質(zhì)，進而得出概念，這正是數(shù)學(xué)研究的順序，符合學(xué)生認知規(guī)律，有助于概念的建立與形成.另外，對概念的剖析以及習(xí)題的配備也很精當，通過不同層次的問題，滿足學(xué)生多層次需要，起到評價反饋的作用.通過對函數(shù)與方程的分析，互逆探索，動畫演示，表格對照、學(xué)生討論等多種形式的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分調(diào)動了學(xué)生的探求欲，在探究與剖析的過程中，完善學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.使學(xué)生自然成為學(xué)習(xí)的主人。 一、什么是教學(xué)案例 教學(xué)案例是真實而又典型且含有問題的事件。簡單地說，一個教學(xué)案例就是一個包含有疑難問題的實際情境的描述，是一個教學(xué)實踐過程中的故事，描述的是教學(xué)過程中“意料之外，情理之中的事”。 這可以從以下幾個層次來理解： 教學(xué)案例是事件：教學(xué)案例是對教學(xué)過程中的一個實際情境的描述。它講述的是一個故事，敘述的是這個教學(xué)故事的產(chǎn)生、發(fā)展的歷程，它是對教學(xué)現(xiàn)象的動態(tài)性的把握。 教學(xué)案例是含有問題的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教學(xué)事件都可以成為案例。能夠成為案例的事件，必須包含有問題或疑難情境在內(nèi)，并且也可能包含有解決問題的方法在內(nèi)。正因為這一點，案例才成為一種獨特的研究成果的表現(xiàn)形式。 案例是真實而又典型的事件：案例必須是有典型意義的，它必須能給讀者帶來一定的啟示和體會。案例與故事之間的根本區(qū)別是：故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰和抄襲的，它所反映的是真是發(fā)生的事件，是教學(xué)事件的真實再現(xiàn)。是對“當前”課堂中真實發(fā)生的實踐情景的描述。它不能用“搖擺椅子上杜撰的事實來替代”，也不能從抽象的、概括化的理論中演繹的事實來替代。 二、如何進行教學(xué)案例研究 教學(xué)案例是教師教學(xué)行為真實、典型的記錄，也是教師教學(xué)理念和教學(xué)思想的真實體現(xiàn)。因此它是教育教學(xué)研究的寶貴資源，也是教師之間交流的重要媒介。進行教學(xué)案例的研究是教師不斷反思、改進自己教學(xué)的一種方法，能促使教師更為深刻地認識到自己工作中的重點和難點。這個過程就是教師自我教育和成長的過程。 那么如何進行教學(xué)案例研究呢?一般情況下，案例研究的程序基本有以下兩個環(huán)節(jié)：案例研究的準備及實施、案例研究報告的撰寫與反思。 (一)案例研究的準備與實施 1.研究主題的選擇 案例研究都要有研究的重點和主題，這個主題常與教學(xué)改革的核心理念、常見的疑難問題和困惑事件相關(guān)，一般來說可以從教學(xué)的各個方面確定研究的主題，如從教師教學(xué)行為確定主題——教學(xué)材料的選擇、教學(xué)中的提問、教學(xué)媒體的使用、教學(xué)評價語言、課堂教學(xué)調(diào)控行為等;也可以從學(xué)生的學(xué)習(xí)方式確定主題——探究性學(xué)習(xí)、問題解決學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、實踐性活動等。另外從學(xué)科特點、教學(xué)內(nèi)容等都可以確定研究的主題。 研究者要了解當前教學(xué)的大背景，教改的大方向，要熟悉相關(guān)的《課程標準》和有針對性地作一些理論準備。還要通過有關(guān)的調(diào)查，搜集詳盡的材料(如閱讀教師的教學(xué)設(shè)計，進行訪談等)，同時初步確定案例研究的方向、研究任務(wù)，即初步確定案例的內(nèi)容是關(guān)于教學(xué)策略、學(xué)生行為或是教學(xué)技能的研究。 一般來說，案例研究主題的確定往往需要思考下面一些問題：即研究的事件是否對于自我發(fā)現(xiàn)更有潛力?選擇的事件對學(xué)生是否有較大的情感影響(心靈是否受到震撼)?關(guān)鍵事件再現(xiàn)了前人(或自己)過去成功的行為嗎?事件呈現(xiàn)的是一個你不能確定怎樣解決的問題?事件需要你做出困難的選擇嗎?事件使得你必須以一種感覺不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答嗎?事件暗示一個與道德或道義上相關(guān)的問題嗎?研究的主題如果反映以上的一些內(nèi)容，那么這樣的案例研究在自我學(xué)習(xí)、內(nèi)省和深層次理解方面就可能更加富有成效。 高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究的主題內(nèi)容主要集中在三方面：(1)學(xué)科特點的體現(xiàn)：如數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)、本質(zhì)屬性的抽象、數(shù)學(xué)結(jié)論的推廣等;(2)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的探究：如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、解決問題的思維方式、獨立思考與合作學(xué)習(xí)等;(3)教師專業(yè)知識的提升：如數(shù)學(xué)板書與電子屏幕的展示對學(xué)生思維的影響、數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練對人們思維的影響、數(shù)學(xué)知識模式化教學(xué)的優(yōu)劣等。 2.案例研究的基本方法 (1)課堂觀察。觀察方法是指研究者按照一定的目的和計劃，在課堂教學(xué)活動的自然狀態(tài)下，用自己的感官和輔助工具對研究對象進行觀察研究的一種方法。它可以是教師自己對教學(xué)對象——學(xué)生，在課堂活動中的片斷進行觀察，也可以由其他教師來實施觀察，這兩種觀察的目的都是為了掌握課堂教學(xué)中的第一手資料。課堂觀察方法不限于用肉眼觀察、耳聽手記，還可利用各種工具如照相、錄音、攝像等作為輔助觀察的手段，以提高觀察的效果。對觀察的資料，可以逐字逐句整理成課堂教學(xué)實錄、教學(xué)程序表、提問技巧水平檢核表、提問行為類型頻次表、課堂教學(xué)時間分配表等，以便以后繼續(xù)分析案例提供翔實的原始材料。 (2)訪談與調(diào)查。對一些課堂教學(xué)不能觀察到的`師生內(nèi)心活動，如教師教學(xué)的目的、教學(xué)程序的意圖、教學(xué)手段的運用以及教學(xué)達標的成效等一些需要進一步了解的問題，可以通過與執(zhí)教教師的交談以及和學(xué)生的座談，以豐富和充實課堂教學(xué)觀察的材料;對學(xué)生在課堂教學(xué)活動中回答問題的心理狀態(tài)、解題思路等問題，也可以在課后做一些問卷調(diào)查;對學(xué)生達標的成度、效度，也可以作一些測試調(diào)查。從這些訪談、調(diào)查的材料中，再分析課堂教學(xué)的現(xiàn)象，不難發(fā)現(xiàn)造成各種課堂現(xiàn)象與教師教學(xué)行為之間的因果關(guān)系，然后再具體尋找在哪個教學(xué)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)問題，從中提煉出解決問題的對策。 (3)文獻分析。文獻分析是通過查閱文獻資料，從過去和現(xiàn)在的有關(guān)研究成果中受到啟發(fā)，從中找到課堂教學(xué)現(xiàn)象的理論依據(jù)，從而增強案例分析的說服力。當然，對廣大第一線教師而言，這里所運用的文獻分析方法，并不是為了論證新教育理論，也不是去歸納教育的宏觀現(xiàn)象，而是通過有關(guān)教育理論文獻的查閱，去進一步解讀課堂教學(xué)的活動，挖掘案例中的教育思想。如在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常通過學(xué)生的動手操作來獲得有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、法則與公式，那么，為什么要這樣做呢?就可以帶著問題，查閱、分析有關(guān)文獻資料，從學(xué)習(xí)中提高研究者自身的理論水平。 (二)案例研究報告的撰寫 1.常見的案例報告格式 撰寫教學(xué)案例，結(jié)構(gòu)可以靈活多樣，并非要千篇一律、一個模式，而是可以有不同的表現(xiàn)形式，如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例過程——案例反思”、“課例——問題——分析”、“主題與背景——情景描述——問題討論——詮釋與研究”等。當前，國內(nèi)外課堂教學(xué)案例編寫的格式有多種多樣。但不管何種編寫格式，它們都有兩個共同的特點：一是對案例的客觀描述;二是對案例中所述問題、關(guān)鍵教學(xué)事件等的分析。 下面介紹兩種常用的案例編寫的格式： (1)“描述+分析”式 此格式的特點是將整個案例分為兩大部分，前半部分主要為描述課堂教學(xué)活動的情景，后半部分主要針對情景中的一個問題進行理論分析并獲得結(jié)論。案例的描述一般是把課堂教學(xué)活動中的某一片斷像講故事一樣原原本本地、具體生動地描繪出來。描述的形式可以是一串問答式的課堂對話，也可以概括式地敘述，主要是提供一個或一連串課堂教學(xué)疑難的問題，并把教育理論、教育思想隱藏在描述之中。案例的分析部分是針對描述的情景發(fā)表個人或多人的感受，同時加以理論的分析與說明。分析方法可以是對描述中提出的一個問題，從幾個方面加以分析：也可以是對描述中的幾個問題，集中從一個方面加以分析。分析的目的是要從描述的情景中提煉問題的本質(zhì)，講述理論的解釋，明確正確的方法，最終獲得對關(guān)鍵教學(xué)事件的正確把握。 (2)“背景+描述+問題+詮釋”式 此格式是一種要求比較高的編寫格式，而且，它在實際教學(xué)中的作用也更大。通常它將整個案例分為四個部分： A.主題與背景 主題是關(guān)鍵教學(xué)事件中所反映的案例主要觀點，也是整篇案例的核心思想。背景主要敘述案例發(fā)生的地點、時間、人物的一些基本情況。當然，這部分的內(nèi)容不宜很長，只需提綱挈領(lǐng)敘述清楚即可。 B.情景描述 與“描述+分析”式中的描述相同，主要突出主題所反映的課堂教學(xué)活動。 C.問題討論 這是根據(jù)主題要求與情景描述，進行的分析、歸納、總結(jié)與提煉，包括學(xué)科知識的要點、教學(xué)法和情景特點以及案例的說明與注意事項。這部分內(nèi)容主要是為案例教學(xué)服務(wù)的，目的是提高教師的認識水平與學(xué)生主動學(xué)習(xí)的能力。不同的教學(xué)觀念，不同的教學(xué)手段，所提出的問題也不同。對案例中所提出的主題以及情景描述中提出的問題闡述自己的見解。 D.詮釋與研究 這部分主要是用教育理論對案例情景作多角度的解讀。它包括對課堂教學(xué)行為的技術(shù)資料、課堂教學(xué)實錄以及教學(xué)活動背后的故事等作理論上的分析。例如，在課堂教學(xué)中，我們常看到這樣的現(xiàn)象，課堂教學(xué)的效果高于預(yù)期的目標，反之教師期望的目標學(xué)生沒有達到或有所偏離，教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的先后與學(xué)生理解的程度、教學(xué)方法運用與學(xué)生內(nèi)在動機的激發(fā)等環(huán)節(jié)存在著矛盾，這些事件的背后，必然隱含著豐富的教育思想。所以，通過詮釋，挖掘這些事件背后的內(nèi)在思想，揭示其教育規(guī)律就顯得十分的必要。 2.案例報告撰寫的關(guān)鍵 (1)掌握四個原則。要寫好教學(xué)案例，除了平時多積累素材，學(xué)習(xí)他人的案例作品以提高寫作技巧外，還應(yīng)把握以下四點： A.主題性原則：要有捕捉關(guān)鍵教學(xué)事件的意識，以此確定案例研究的主題。為此要注意了解新的課程改革的動向、把握適合時代要求的數(shù)學(xué)教育方式、明確學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點和重點，尋找數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的途徑與規(guī)律。報告圍繞主題進行情景描述和獲得解決問題的策略。這種描述不是簡單的教學(xué)活動實錄，要反映事件發(fā)生的過程，重點描述反映關(guān)鍵教學(xué)事件的變化和戲劇化的情境，猶如記敘文寫作，突出主題，詳寫重點，雕刻高潮。 案例鮮明的主題通常關(guān)系到教學(xué)的核心理念、常見問題、處理方法等等，可以說，主題就是案例的靈魂。而主題的最佳表現(xiàn)形式就是文題直接體現(xiàn)主題。因此，設(shè)計主題就要有新意、有時代感，通俗地說就是與眾不同，要有獨特見解、獨家發(fā)現(xiàn)。來源于實踐的教學(xué)案例并非都有同等價值，關(guān)鍵要看撰寫者對實踐的發(fā)展與理論的升華程度，包括對題目的推敲。如有的教學(xué)案例重點描述了有戲劇性的情節(jié)，用了“細節(jié)決定成敗”的題目，給人耳目一新，一下子揪住了讀者的心。再如，一些有創(chuàng)意的題目《“導(dǎo)之有方”方能“導(dǎo)之有效”》、《跳出數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)》、《在數(shù)學(xué)的疑難處悟成長》、《捕捉資源因勢利導(dǎo)》等等，讓人一看題目就有閱讀的欲望。實踐證明，在寫作案例時，選擇有感悟、有新意的內(nèi)容，在明確主題，恰當擬題后再動筆，才能寫出高質(zhì)量的案例。 B.理論性原則：解決問題的策略中應(yīng)當蘊含一定的教育基本原理和教育思想。實際是將自己對教育理念以及教育基本原理的理解滲透于描述的字里行間，比如學(xué)生做了什么，參與程度，投入程度如何，教師如何引導(dǎo)點撥，師生心理、行為變化情況等，無不體現(xiàn)教師的教學(xué)思想和教育基本原理。 C.敘事性原則：案例報告的書寫方式是敘事式，它不同于論述式。敘事方式必須以課堂教學(xué)生動的事實為主要情節(jié)，可以夾敘夾議，也可以選擇情景片段，可以是一節(jié)課中的情景，也可以是圍繞一個主題的幾節(jié)課的情景片段。 D.學(xué)科性原則：數(shù)學(xué)案例報告一定要體現(xiàn)學(xué)科的特征，要有較深刻的理性思考，要反映數(shù)學(xué)的基本思想與方法，要符合課程標準，滿足教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方法，積極培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。就是撰寫者的教育思想和教育理念在教學(xué)實踐中具體體現(xiàn)。 (2)用好四種表述。教學(xué)案例的表述方法很多，可以歸納為以下四種方法： A.故事式陳述法：就是教學(xué)全程或某一精彩教學(xué)片段實錄，包括教師和學(xué)生的一言一行。陳述時，根據(jù)操作程序作一點“簡評”，最后作“總評”。 B.以案說理：對教學(xué)過程進行陳述時，舍去與文題不相關(guān)或不重要的部分，并強化與主題相關(guān)的重要情節(jié)，尤其是引發(fā)高潮的關(guān)鍵行為，然后有較長篇幅的理性思考。 C.圖表展示法：用圖表進行統(tǒng)計的形式體現(xiàn)撰寫者的教育思想，給人以一目了然的感覺，幫助讀者迅速了解撰寫者的寫作意圖，是常用的一種案例撰寫方法。比如，描述學(xué)生的參與人數(shù)，投入程度，解決問題的質(zhì)量等多個問題，都可以在一張或數(shù)張圖表上用百分比或個(次)數(shù)進行統(tǒng)計。在每一張圖表后，應(yīng)有一段“分析”或“結(jié)論”，將撰寫者的教學(xué)理念進行理性闡述，亦可在圖表展示后，總的提出自己對案例的分析和建議。 D.分析討論法：在撰寫時，應(yīng)汲取分析討論中最精彩的部分做深入、細致的全面記錄，最后撰寫者還必須對討論情況做一分析，或提出一些值得今后進一步思考的問題。 3.優(yōu)秀案例的特征 (1)時代性：一個好的案例描述的是現(xiàn)實生活場景——案例的敘述要把事件置于一個時空框架之中，應(yīng)該以關(guān)注今天所面臨的疑難問題為著眼點，至少應(yīng)該是近年發(fā)生的事情，展示的整個事實材料應(yīng)該與整個時代及教學(xué)背景相照應(yīng)，這樣的案例讀者更愿意接觸。一個好的案例可以使讀者有身臨其境的感覺，并對案例所涉及的人產(chǎn)生移情作用。 (2)真實性：一個好的案例應(yīng)該包括從案例所反映的對象那里引述的材料——案例寫作必須持一種客觀的態(tài)度，因此可引述一些口頭的或書面的、正式的或非正式的材料，如對話、筆記、信函等，以增強案例的真實感和可讀性。重要的事實性材料應(yīng)注明資料來源。 (3)適用性：一個好的案例需要針對面臨的疑難問題提出解決辦法——案例不能只是提出問題，它必須提出解決問題的主要思路、具體措施，并包含著解決問題的詳細過程，這應(yīng)該是案例寫作的重點。如果一個問題可以提出多種解決辦法的話，那么最為適宜的方案，就應(yīng)該是與特定的背景材料相關(guān)最密切的那一個。如果有包治百病、普遍適用的解決問題的辦法，那么案例這種形式就不必要存在了。 (4)反思性：一個好的案例需要有對已經(jīng)做出的解決問題的決策的評價——評價是為了給新的決策提供參考點?？稍诎咐拈_頭或結(jié)尾寫下案例作者對自己解決問題策略的評論，以點明案例的基本論點及其價值。 三、案例研究過程中需注意的問題 1.選材面過窄。從內(nèi)容上看，多數(shù)案例是關(guān)于課堂教學(xué)甚至局限于一節(jié)課的研究，往往不能說明問題，或者在一節(jié)課中，也只會從簡單的對話分析問題，做不到全方位、多角度。這說明教師對教學(xué)情境的豐富性、復(fù)雜性和聯(lián)系性認識不夠。 2.缺乏典型性。有的案例對教學(xué)實踐沒有挖掘與反思，隨意摘取一些教學(xué)片段泛泛而談、人云亦云，沒有實用價值。不能夠通過對某一事件現(xiàn)象的分析、處理、詮釋，達到舉一反三的效果，這樣的案例對他人沒什么借鑒作用。 3.主題不明確。主要體現(xiàn)為： (1)主題渙散。有的案例象記流水帳，沒有根據(jù)需要進行恰當?shù)娜∩?，看不出作者要反映、探討什么問題，缺乏指導(dǎo)性、創(chuàng)新性和參考性。 (2)定題過于隨意。有的案例直接用案例研究依據(jù)的文題為題目，如《“三角函數(shù)”教學(xué)案例》、《“拋物線”教學(xué)案例》等，題目不鮮明、不形象，影響讀者的選讀和案例的傳播。 4.結(jié)構(gòu)不合理。案例作為一種文體，有它自己的寫作結(jié)構(gòu)，只有優(yōu)化案例的結(jié)構(gòu)，才能增強案例的可讀性和指導(dǎo)性。如寫成一般的教學(xué)設(shè)計，一般包括“備課思路、教學(xué)目標、教學(xué)重點、教學(xué)方法、課前準備、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程”等內(nèi)容;寫成教學(xué)實錄，把一堂課從頭到尾詳盡地記錄下來，再寫上作者的看法;重記錄輕分析，過程描述多，評析少等等。沒有創(chuàng)新，平淡無趣，看不出案例研究和反映的問題。 5.描述與分析脫節(jié)。有的案例描述與分析矛盾，讓人不知所云;有時反映的是一種觀點，分析闡明的是另一種觀點，雖然不矛盾，但聯(lián)系不緊密;有的分析中熱衷于抄錄教育理論的一些條條，脫離案例描述的事件而空談理論，顯得空泛無物。 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計錦集11篇相關(guān)文章： ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計【合集9篇】 ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計范本3篇(數(shù)學(xué)高中教學(xué)設(shè)計模板) ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計方案3篇 數(shù)學(xué)高中教學(xué)設(shè)計模板 ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計范例3篇 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計范例課件 ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計范本5篇 數(shù)學(xué)高中教學(xué)設(shè)計模板 ★ 2022高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計5篇(高三數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計) ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計題模板3篇(數(shù)學(xué)教案高中模板范文) ★ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計案例共3篇(高一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計案例) ★ 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